高考数学 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率课件 文 新人教A版.ppt

11 1随机事件的概率 2 3 知识梳理 考点自测 1 事件的分类 可能发生也可能不发生 4 知识梳理 考点自测 2 频率与概率 1 频率的概念 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的 称事件a出现的比例为事件a出现的 2 随机事件概率的定义 在的条件下 大量重复进行同一试验时 随机事件a发生的会在某个附近摆动 即随机事件a发生的频率具有稳定性 这时这个叫做随机事件a的概率 记作p a 有0 p a 1 3 概率与频率的关系 对于给定的随机事件a 由于事件a发生的频率fn a 随着试验次数的增加稳定于概率p a 因此可以用 来估计概率p a 频数 频率 相同 频率 常数 常数 频率fn a 5 知识梳理 考点自测 3 事件的关系与运算 发生 一定发生 b a 或a b a b a b 当且仅当事件a发生或事件b发生 a b 或a b 当且仅当事件a发生且事件b发生 a b 或ab 6 知识梳理 考点自测 不可能 a b 不可能 必然事件 a b 且a b 7 知识梳理 考点自测 4 互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况 而互斥事件未必是对立事件 5 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率 p a 3 不可能事件的概率 p a 4 概率的加法公式 若事件a与事件b互斥 则p a b 5 对立事件的概率 若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b p a 0 p a 1 1 0 p a p b 1 1 p b 8 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 事件发生的频率与概率是相同的 2 随机事件和随机试验是一回事 3 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 4 两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 5 若a b为互斥事件 则p a p b 1 2 设甲 a1 a2是互斥事件 乙 a1 a2是对立事件 则 a 甲是乙的充分不必要条件b 甲是乙的必要不充分条件c 甲是乙的充要条件d 甲既不是乙的充分条件 也不是乙的必要条件 b 解析 互斥事件不一定是对立事件 但对立事件一定是互斥事件 9 知识梳理 考点自测 3 下列说法 频率反映事件发生的频繁程度 概率反映事件发生的可能性大小 做n次随机试验 事件a发生m次 则事件a发生的频率就是事件a发生的概率 百分率是频率 但不是概率 频率是不能脱离n次试验的试验值 而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 频率是概率的近似值 概率是频率的稳定值 其中正确的是 a b c d b 解析 由概率的相关定义知 正确 10 知识梳理 考点自测 a 11 知识梳理 考点自测 5 某射手在同一条件下进行射击 结果如下 这个射手射击一次 击中靶心的概率约是 0 90 解析 击中靶心的频率依次为0 8 0 95 0 88 0 92 0 89 0 91 易知击中靶心的频率在0 90附近摆动 故p a 0 90 12 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 随机事件的关系例1一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1 2 3 4 5 6 将这个玩具向上抛掷1次 设事件a表示向上的一面出现奇数 事件b表示向上的一面出现的数字不超过3 事件c表示向上的一面出现的数字不小于4 则 a a与b是互斥而非对立事件b a与b是对立事件c b与c是互斥而非对立事件d b与c是对立事件 d 解析 根据互斥事件与对立事件的定义作答 a b 出现点数1或3 事件a b不互斥更不对立 b c b c 为必然事件 故事件b c是对立事件 13 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考如何判断随机事件之间的关系 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法 1 紧扣事件的分类 结合互斥事件 对立事件的定义进行分析判断 2 类比集合进行判断 把所有试验结果写出来 看所求事件包含哪些试验结果 从而断定所给事件的关系 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 则事件互斥 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 14 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球 则互斥而不对立的事件有 填序号 至少有一个红球 都是红球 至少有一个红球 都是白球 至少有一个红球 至少有一个白球 恰有一个红球 恰有两个红球 解析 由互斥事件与对立事件的关系及定义知 不互斥 对立 不互斥 互斥不对立 15 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 16 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 3 求续保人本年度平均保费的估计值 17 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 18 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 3 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0 85a 0 30 a 0 25 1 25a 0 15 1 5a 0 15 1 75a 0 10 2a 0 05 1 1925a 因此 续保人本年度平均保费的估计值为1 1925a 19 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考随机事件的频率与概率有怎样的关系 如何求随机事件的概率 解题心得1 概率是频率的稳定值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时 频率越稳定于概率 2 求解随机事件的概率的常用方法有两种 1 可用频率来估计概率 2 利用随机事件a包含的基本事件数除以基本事件总数 计算的方法有 列表法 列举法 树状图法 20 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练2 2017浙江绍兴模拟 如图所示 a地到火车站共有两条路径l1和l2 现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查 调查结果如下 1 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率 3 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 21 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 1 由已知共调查了100人 其中40分钟内不能赶到火车站的有12 12 16 4 44人 故用频率估计相应的概率为 0 44 2 选择l1的有60人 选择l2的有40人 故由调查结果得频率如下表 3 a1 a2分别表示甲选择l1和l2时 在40分钟内赶到火车站 b1 b2分别表示乙选择l1和l2时 在50分钟内赶到火车站 由 2 得p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 故甲应选择l1 p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b2 p b1 故乙应选择l2 22 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 互斥事件 对立事件的概率例3 2017河南洛阳模拟 经统计 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下 求 1 至多2人排队等候的概率是多少 2 至少3人排队等候的概率是多少 23 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解记 0人排队等候 为事件a 1人排队等候 为事件b 2人排队等候 为事件c 3人排队等候 为事件d 4人排队等候 为事件e 5人及5人以上排队等候 为事件f 则事件a b c d e f彼此互斥 1 记 至多2人排队等候 为事件g 则g a b c 所以p g p a b c p a p b p c 0 1 0 16 0 3 0 56 2 方法一 记 至少3人排队等候 为事件h 则h d e f 所以p h p d e f p d p e p f 0 3 0 1 0 04 0 44 方法二 记 至少3人排队等候 为事件h 则其对立事件为事件g 所以p h 1 p g 0 44 24 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些 解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法 1 公式法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的求和公式计算 2 间接法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 求出所求概率 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法就较简便 25 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练3某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 p a p b p c 2 1张奖券的中奖概率 3 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 26 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 27 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 对于给定的随机事件a 由于事件a发生的频率fn a 随着试验次数的增加稳定于概率p a 因此可以用频率fn a 来估计概率p a 2 利用集合方法判断互斥事件与对立事件 1 若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 则事件互斥 2 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 3 若某一事件包含的基本事件较多 而它的对立事件包含的基本事件较少 则可用 正难则反 思想求解 28 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 正确认识互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件 是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 善于将事件转化为互斥事件的和或对立事件求解 2 注意概率加法公式的使用条件 概率的一般加法公式p a b p a p b p a b 中 易忽视只有当a b 即a b互斥时 p a b p a p b 此时p a b 0 29 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思想方法 正难则反 思想在概率中的应用 正难则反 的思想是一种常见的数学思想 如反证法 补集的思想都是 正难则反 思想的体现 在解决问题时 如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决 那么尝试采用 正难则反 思想往往会起到事半功倍的效果 大大降低题目的难度 在求对立事件的概率时 经常应用 正难则反 的思想 即若事件a与事件b互为对立事件 在求p a 或p b 时 利用公式p a 1 p b 先求容易的一个 再求另一个 30 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 典例某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 将频率视为概率 31 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 1 由已知得2