高中数学 第一单元 基本初等函数（Ⅱ）1.2.1 三角函数的定义课件 新人教B版必修4.ppt

1 2 1三角函数的定义 第一章 1 2任意角的三角函数 学习目标1 理解任意角的三角函数的定义 2 掌握三角函数在各个象限的符号 3 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一任意角的三角函数 角 的正弦 余弦 正切分别等于什么 答案 使锐角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在终边上任取一点p 作pm x轴于m 设p x y op r 思考2 对确定的锐角 sin cos tan 的值是否随p点在终边上的位置的改变而改变 答案 答案不会 因为三角函数值是比值 其大小与点p x y 在终边上的位置无关 只与角 的终边位置有关 即三角函数值的大小只与角有关 如图 设p x y 是 终边上不同于坐标原点的任意一点 设op r r 0 1 定义叫做角 的 记作 即cos 叫做角 的 记作 即sin 叫做角 的 记作 即tan 梳理 余弦 正弦 正切 cos sin tan 依照上述定义 对于每一个确定的角 都分别有唯一确定的余弦值 正弦值与之对应 当 2k k z 时 它有唯一的正切值与之对应 因此这三个对应法则都是以 为自变量的函数 分别叫做角 的余弦函数 正弦函数和正切函数 2 有时我们还用到下面三个函数角 的正割 sec 角 的余割 csc 角 的余切 cot 这就是说 sec csc cot 分别是 的余弦 正弦和正切的倒数 由上述定义可知 当 的终边在y轴上 即 k k z 时 tan sec 没有意义 当 的终边在x轴上 即 k k z 时 cot csc 没有意义 思考 知识点二正弦 余弦 正切函数的定义域 对于任意角 sin cos tan 都有意义吗 答案 答案由三角函数的定义可知 对于任意角 sin cos 都有意义 而当角 的终边在y轴上时 任取一点p 其横坐标x都为0 此时无意义 故tan 无意义 梳理 三角函数的定义域 思考 知识点三正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义 你能判断正弦 余弦 正切函数的值在各象限的符号吗 答案 答案三角函数的定义告诉我们 三角函数在各象限内的符号 取决于x y的符号 1 sin r 0 因此sin 的符号与y的符号相同 当 的终边在第一 二象限时 sin 0 当 的终边在第三 四象限时 sin 0 因此cos 的符号与x的符号相同 当 的终边在第一 四象限时 cos 0 当 的终边在第二 三象限时 cos 0 tan 0 当 终边在第二 四象限时 xy 0 tan 0 梳理 三角函数值在各象限内的符号 如图所示 记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 题型探究 类型一三角函数定义的应用 命题角度1已知角 终边上一点坐标求三角函数值例1已知 终边上一点p x 3 x 0 且cos 求sin tan x 0 x 1 当x 1时 p 1 3 当x 1时 p 1 3 解答 反思与感悟 1 已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应地三角函数值 在 的终边上任选一点p x y 设p到原点的距离为r r 0 则sin cos 当已知 的终边上一点求 的三角函数值时 用该方法更方便 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 跟踪训练1已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 解答 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 综上所述 2sin cos 1 命题角度2已知角 的终边所在直线求三角函数值例2已知角 的终边落在直线x y 0上 求sin cos tan sec csc cot 的值 解答 1 当k 0时 r 2k 是第四象限角 2 当k 0时 r 2k 是第二象限角 在解决有关角的终边在直线上的问题时 应注意到角的终边为射线 所以应分两种情况处理 取射线上异于原点的任意一点的坐标 a b 则对应角的三角函数值分别为 反思与感悟 跟踪训练2已知角 的终边在直线y 上 求sin cos tan 的值 若a 0 则 为第一象限角 r 2a 若a 0 则 为第三象限角 r 2a 解答 例3 1 确定下列各三角函数值的符号 sin182 解 182 是第三象限角 sin182 是负的 符号是 cos 43 解 43 是第四象限角 cos 43 是正的 符号是 类型二三角函数值符号的判断 解答 解答 解析 2 若 是第二象限角 则点p sin cos 在a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 点p在第四象限 故选d 答案 反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定 解题的关键是准确确定角的终边所在的象限 同时牢记各三角函数值在各象限的符号 记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 解答 跟踪训练3 1 判断下列各式的符号 sin145 cos 210 解 145 是第二象限角 sin145 0 210 360 150 210 是第二象限角 cos 210 0 sin145 cos 210 0 sin3 cos4 tan5 sin3 0 cos4 0 tan5 0 sin3 cos4 tan5 0 2 已知点p tan cos 在第三象限 则 是第象限角 解析由题意知tan 0 cos 0 是第二象限角 二 答案 解析 类型三三角函数的定义域 解答 例4求下列函数的定义域 解要使函数有意义 需tanx 0 解答 反思与感悟 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种 1 分母不为零 2 偶次根号下大于等于零 3 在真数位置时大于零 4 在底数位置时大于零且不等于1 解答 解要使f x 有意义 当堂训练 1 已知角 的终边经过点 4 3 则cos 等于 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意可知 x 4 y 3 r 5 2 已知 cos cos tan tan 则的终边在a 第二 四象限b 第一 三象限c 第一 三象限或x轴上d 第二 四象限或x轴上 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 为第四象限角或 的终边在x轴非负半轴上 当 为第四象限角时 作图可知 的终边在第二 四象限 当 的终边在x轴非负半轴上时 2k k z k 的终边在x轴上 故选d 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若点p 3 y 是角 终边上的一点 且满足y 0 cos 则tan 等于 答案 2 3 4 5 1 解析 a 1b 0c 2d 2 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 5 已知角 的终边上有一点p 24k 7k k 0 求sin cos tan 的值 解答 2 3 4 5 1 解当k 0时 令x 24k y 7k 当k 0时 令x 24k y 7k 则有r 25k 规律与方法