高中数学 第三章 变化率与导数 4.1 导数的加法与减法法则课件 北师大版选修11.ppt

第三章 4导数的四则运算法则 4 1导数的加法与减法法则 学习目标1 理解导数的加法 减法法则 2 运用导数公式和导数的加法 减法法则求一些函数的导数 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点导数的加法与减法法则 思考1 怎样求函数f x x x2的导函数 答案 根据导数定义 y f x x f x x x x x 2 x x2 x 2x x x 2 即f x 1 2x 可以看出 x x2 x x2 思考2 将思考1的结论推广 可得到导数的加法 减法法则 请写出来 答案 f x g x f x g x f x g x f x g x 梳理 两个函数和 差 的导数等于的和 差 即 f x g x f x g x 这两个函数导数 f x g x f x g x 题型探究 例1求下列函数的导数 1 y 4cosx 3sinx 解答 类型一利用导数的加法与减法法则求导 y 4cosx 3sinx 4cosx 3sinx 4sinx 3cosx 2 y x2 tanx 解答 y x2 tanx x2 tanx 2x 解答 y x2 x3 x4 2x 3x2 4x3 对一个函数求导时 要紧扣导数运算法则 联系基本初等函数的导数公式 在不利于直接应用导数公式时 可适当运用代数 三角恒等变换手段 对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 优化解题过程 反思与感悟 跟踪训练1 1 求下列函数的导数 解答 解答 2 若f x 2xf 1 x2 求f 0 f x 2xf 1 x2 2f 1 2x f 1 2f 1 2 即f 1 2 f x 4x x2 f x 4 2x f 0 4 解答 例2已知f x 是一次函数 x2 f x 2x 1 f x 1对一切x r恒成立 求f x 的解析式 解答 类型二求导法则的逆向应用 由f x 为一次函数可知 f x 为二次函数 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 把f x f x 代入关于x的方程得x2 2ax b 2x 1 ax2 bx c 1 即 a b x2 b 2c x c 1 0 又该方程对一切x r恒成立 所以 所以f x 2x2 2x 1 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题 然后利用已知条件解出所设未知数 进而将问题解决 待定系数法常用来求函数解析式 特别是已知具有某些特征的函数 反思与感悟 跟踪训练2设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且f x 2x 1 求y f x 的函数表达式 f x 2x 1 f x x2 x c c为常数 又 方程f x 0有两个相等的实根 即x2 x c 0有两个相等的实根 12 4c 0 即c f x 的表达式为f x x2 x 解答 例3已知函数f x x3 x 16 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线方程 类型三导数的加法与减法法则的应用 可判定点 2 6 在曲线y f x 上 因为f x x3 x 16 3x2 1 所以f x 在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 13 所以切线的方程为y 13 x 2 6 即13x y 32 0 解答 引申探究直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 解答 得x0 2 切点 2 26 f x0 f 2 13 则直线l的方程为13x y 0 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系 1 切点坐标满足曲线方程 2 切点坐标满足对应切线的方程 3 切线的斜率是函数在此切点处的导数值 反思与感悟 跟踪训练3已知直线l1为曲线y f x x2 x 2在点 1 0 处的切线 l2为该曲线的另一条切线 且l1 l2 求由直线l1 l2和x轴所围成的三角形的面积 解答 因为f x 2x 1 f 1 3 所以l1的方程为y 3x 3 设l2与曲线的切点为 b b2 b 2 则l2的方程为y 2b 1 x b2 2 当堂训练 1 已知f x x 5 3sinx 则f x 等于a 5x 6 3cosxb x 6 3cosxc 5x 6 3cosxd x 6 3cosx 2 3 4 5 1 f x x 5 3sinx 5x 6 3cosx 答案 解析 2 3 4 5 1 f x cosx sinx 答案 解析 f x 3ax2 6x f 1 4 3a 6 4 2 3 4 5 1 3 设函数f x ax3 3x2 2 若f 1 4 则a的值为 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知f 1 13 则函数g x f x x在x 1处的导数为 g x f x 1 g 1 f 1 1 14 答案 解析 14 2 3 4 5 1 5 若函数f x e x ax存在与直线2x y 0平行的切线 则实数a的取值范围是 设切点 x0 y0 则f x0 a 由题意知 关于x0的方程 a 2有根 所以a 2 2 则a 2 答案 解析 2 规律与方法 导数的加法与减法法则的应用对于教材中给出的导数的运算法则 不要求根据导数定义进行