高中数学07三角学

2012届专题七数学考试范围：三角学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知，且，则 （ ）ABCC2 （ ）ABCD3已知角的终边过点,则下列结论一定正确的是 （ ）ABCD4函数(0)的最小正周期为,则的一个单调递增区间为 （ ）ABCD5中,角、的对边分别为、,若，则的形状为 （ ）A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形6已知，且，则 （ ）ABCD7要得到函数的图像,只需把函数的图像 （ ）A沿轴向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变B沿轴向右平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变C横坐标缩短为原来的，纵坐标不变再沿轴向右平移个单位D横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,再沿轴向左平移个单位8已知的内角的对边分别为，且，且，则的面积为 （ ）ABCD9已知函数(0，)的图像关于直线对称，则是 （ ）A偶函数且在时取得最大值B偶函数且在时取得最小值C奇函数且在时取得最大值D奇函数且在时取得最小值10我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等已知函数(0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，则 （ ）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上）11化简的结果为 12已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则一个底角的余弦值为 13已知函数(0，0，)的部分图象如下图所示则 14已知的面积为,且,则的最小值为 15设点、是函数在定义域内的两个端点，且点满足(为坐标原点)，点在函数的图像上，且(为实数),则称的最大值为函数的高度,则函数在区间上的高度为 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分10分）已知（1）化简; （2）求的值17（本小题满分12分）已知函数(0，)的部分图像如图所示（1）求的表达式;（2）求函数在区间上的最大值和最小值18（本小题满分13分）在中,角A、B、C的对边分别为、，已知向量、，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值19（本小题满分13分）一个大风车的半径为8m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2m，求风车翼片的一个端点离地面距离（m）与时间（min）之间的函数关系式20（本小题满分13分）2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部造成了巨大的损失。为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援。某天，信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80海里的B处有一搜客轮遇险，在原地等待救援。信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援（1）若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间（,结果保留两位小数）；（2）求tan的值21（本小题满分14分）已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）需要把函数的图像经过怎样的变换才能得到函数的图像？（3）在中，、分别为三边、所对的角，若，求的最大值. 2012届同心圆梦专题卷数学专题七答案与解析1【命题立意】本题借助三角函数的求解考查同角三角函数的基本关系及简单的运算技巧,属于基础运算题目【思路点拨】首先根据求出关于、的关系,再利用求出,再根据判断出的正负即可得出结果【答案】C【解析】由可得，又,所以,又由可知0，故2【命题立意】本题借助诱导公式以及非特殊角的求值问题考查二倍角的正弦公式及诱导公式的灵活应用【思路点拨】先利用诱导公式把原式化成把所求结果乘以,再除以,在分子上利用二倍角的正弦公式把角进行转化,最终与分母中的非特殊角抵消即可【答案】C【解析】3【命题立意】本题从三角函数的定义出发,主要考查三角函数的定义与同角三角函数基本关系的应用【思路点拨】解答本题先从三角函数的定义出发找出角和的关系,再对照选项逐个分析即可得出正确答案【答案】C【解析】由条件可得，由同角基本关系式可得，故C正确，选项B没有考虑到终边相同角的关系错误，A和D显然是错误的4【命题立意】本题借助正弦函数的解析式考查三角函数周期与单调区间的求解方法,属于基础题目【思路点拨】先根据正弦函数周期公式求出,再根据正弦函数的单调性求出其单调区间,再对照选项即可【答案】C【解析】由条件可得,故,检验可知是它的一个单调递增区间5【命题立意】本题借助对三角形形状的判定考查余弦定理与正弦定理在解三角形中的应用【思路点拨】解本题的关键就是两个条件的灵活应用,利用正弦定理把条件转化边的关系,再利用余弦定理根据条件求出角即可【答案】C【解析】由及正弦定理可得,故;由可得,故,故,所以是正三角形6【命题立意】本题以三角函数的计算为载体考查三角函数正负的判断、同角三角函数的基本关系及二倍角公式的应用【思路点拨】先根据角的取值范围判断出的正负,再利用同角基本关系求出的值,代入正弦的倍角公式即可【答案】B【解析】因为-,所以0,故,所以7【命题立意】本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换,并融入了诱导公式的简单应用,属于基础应用题目【思路点拨】先把两个函数变为同名三角函数,这里可以利用进行转换,再根据三角函数图像的平移与伸缩变化逐个检验,这里需要注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别【答案】D【解析】,先把函数的图像纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍可以得到函数的图像,再把函数的图像沿轴向左平移个单位即可得到函数的图像8【命题立意】本题以求三角形的面积为载体考查正弦定理、同角三角函数基本关系式及两角和的正弦公式的应用【思路点拨】先由正弦定理求出,再利用同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求出,利用三角形的面积公式即可求出结果【答案】A【解析】由正弦定理可得,故,于是,故,的面积为9【命题立意】本题借助三角函数的解析式考查三角函数的对称性与奇偶性及诱导公式的简单应用【思路点拨】先由函数的对称性求出的值,代入求出的解析式问题即可解决【答案】B【解析】因为的图像关于直线对称,所以,又,所以,又0,故函数为偶函数且在时取得最小值10【命题立意】本题借助“平行曲线”这一特殊图形的性质考查正切函数的周期及两角和的正切公式,属于简单创新应用题【思路点拨】根据“平行曲线”的性质选取与平行的特殊曲线,可以求出函数的周期,进而求出函数的解析式,再代入利用两角和的正切公式即可求解【答案】B【解析】设与轴的两个交点、,由“平行曲线”的性质可知,所以函数的最小正周期为2,由可得,则11【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系及倍角公式的简单应用,属于基础运算题【思路点拨】先利用诱导公式对三角函数进行化简,再把平方式展开合并即可【答案】【解析】12【命题立意】本题借助等腰三角形内角的基本关系考查三角函数诱导公式及倍角公式的简单应用【思路点拨】首先根据条件求出底角和顶角之间的关系,再利用余弦的倍角公式展开即可求得结果【答案】【解析】设顶角为,底角分别为、,则,由条件可知,即,由条件0,故13【命题立意】本题以三角函数的图像为载体考查三角函数的性质及三角函数的求值,属于技巧型问题【思路点拨】解本题有两种思路:根据所给图像求出解析式,主要考查三角函数的周期、振幅与相位三个方面即可得到解析式,再代入即可求值;利用正弦函数对称轴与对称中心之间的关系直接求解【答案】【解析】解法一:由图象知的最小正周期，故将点代入的解析式得,又，,故函数的解析式为,故解法二:已知函数最大值为2,最小正周期,而（与相差半个周期）,故14【命题立意】本题借助三角形的面积公式考查不等式性质的简单应用【思路点拨】解本题的关键是根据面积公式找出定值,再利用不等式的基本性质即可求得结果【答案】【解析】由三角形的面积公式可得,又,所以,故,当且仅当，时取得最小值15【命题立意】本题借助向量共线的充要条件考查余弦函数的最值问题,属于简单创新应用问题【思路点拨】解本题的关键是理解题目所表述的含义,利用向量的运算可三点共线,再由可知与轴垂直,问题转化为求函数的最大值问题【答案】4【解析】由可知三点共线,函数在区间上的两个端点为,由可知点与轴垂直,所以的最大值4即为所求 16【命题立意】本题借助三角函数的求值考查三角函数诱导公式及倍角公式的灵活应用,属于基础运算题【思路点拨】由条件可得,对于（1）,先利用诱导公式进行化简,再代入即可求解;对于（2）,首先也要根据诱导公式进行化简,然后再利用倍角公式并添分母“1”,再把代入即可求解【解析】（1）由可得,显然（2分）故（5分）（2）（7分）=（10分）17【命题立意】本题借助正弦函数的图像考查三角函数的基本性质,属于简单的数形结合问题【思路点拨】要求正弦型函数的解析式,一般通过以下几个步骤实现根据振幅求出;根据图像的最高点、最低点或与轴的交点求周期,再求出;根据特殊值求出初相对于(2),先求出的取值范围,再根据正弦函数在相应区间上的性质即可求解【解析】（1）由题意可得,因此,又,即，而,故,故（8分）（2）由（1）可知，由,则最大值为,最小值为（12分）18【命题立意】本题以向量的运算为引子,考查向量的运算、正弦定理、余弦定理及面积公式的灵活应用及与不等式的简单综合【思路点拨】由向量的引入及三角形中角的关系建立方程即可求出角,对于(2),利用余弦定理求出、的关系利用不等式性质即可解决问题【解析】（1）由正弦定理可得，即整理可得（5分）0，0， ；（7分）（2）由余弦定理可得,，即，故（9分）故ABC的面积为当且仅当时,ABC面积取得最大值（13分）19【命题立意】本题以考查三角函数的灵活应用以及学生分析问题、解决问题的能力【思路点拨】选择适当的坐标系，确定函数的大致形式，再引进参变量即可得出结果【解析】以最低点的切线为轴，最低点为原点，建立直角坐标系。设则,（4分）又设的初始位置在最低点，即，在中，,（8分）,而，（10分）,（13分）20【命题立意】本题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定理与余弦定理的应用、三角公式的应用及分析问题、解决问题的能力【思路点拨】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出即可解决第（1）题；对于（2）,利用正弦定理求出,再利用同角基本关系求出,再利用两角和的正切公式即可得出结果【解析】（1）在图中的中,，,由余弦定理可知:，即故,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为小时（6分）;（2）在中,由正弦定理可得（8分）显然为锐角,故,而故（13分）21【命题立意】本题以三角函数的化简为基础考查正弦函数的图像和性质、三角形中余弦定理的应用及利用不等式性质求最值的方法,属于简单综合问题【思路点拨】先把函数化成的形式是解决本题的关键对于（1）,利用周期的计算公式及整体代入即可求出单调增区间；对于（2）,一般通过三个步骤解决问题,即相位的平移,周期变换及振幅变换即可,及平移与伸缩变换；对于（3）,利用余弦定理求出b,c的关