1.黄金分割常数

简要：自古以来，黄金分割率（PHI）是一个非常神秘的常数。本文通过笔者刚刚发现的有关知识，试图解释各种有关它的一些神秘现象，特别是有关美的感觉。提出了大量问题，希望人们重视自组织线性区域的研究，深入地认识有关美的问题。关键词：菲波那契数；黄金分割率；自组织；黄金分割率, 0.618033988.,一个极为迷人而神秘的无理数。它的首次提出是，2500多年前古希腊的毕达哥拉斯。他从铁匠打铁时发出的具有节奏和起伏的声响中测出了不同音调的数的关系，并通过在琴弦上所作的实验找出了八度、五度、四度和谐的比例关系。两千三百年前，古希腊数学家欧几里德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算。15世纪末期，法兰西教会的传教士路卡巴乔里发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5：8”。有感于这个神秘比值的奥妙与价值，他使用了黄金比率一词。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。一、神秘的黄金分割黄金分割率不但在数学中扮演着魔幻般的角色，在建筑，美学，艺术，音乐，在几乎人类生活的一切领域里，都可以找到这个精灵的存在。让我们先来感觉它在各方面的神奇。1、神秘的人体比例一些数据的陆续发现，表明人体是世界上最美的物体。最近的研究得出，人体黄金分割因素包括4个方面： 18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点；喉结为头顶至脐分割点；眉间点为发缘点至颏下的分割点；眉间距与内眦间距之比；在躯干部分，乳房位置的上下长度比；膝盖到脚后跟和至肚脐之比；膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点；头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比等。 15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓、前牙的轮廓、人的双眼视野等； 6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等； 3个“黄金三角”，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。新墨西哥州立大学的心理学家维克托-约翰斯顿发现，人们所喜爱的女性面孔大多是这样的：前额高阔、嘴巴丰厚、下鄂精致、鼻子和下巴小巧，眉毛以下所占比例明显小于平均数。女姓对身段的追求，有一点古今不变人们对女性的腰臀比例：大约0.7。女性的身段三围比例90：60：90，胸围应为身高的一半，髋围较胸围大4厘米。再加上大腿围较腰围小10厘米，小腿围较大腿围小20厘米。足颈围较小腿围小10厘米。上臂围等于大腿围的一半。颈围与小腿围相等。肩宽等于胸围的一半减4厘米。就是所谓“魔鬼身材”。 此外还有：骨骼美在于匀称、适度。即站立时头颈、躯干和脚的纵轴在同一垂直线上；肩稍宽，头、躯干、四肢的比例以及头、颈、胸的连接适度。肌肉美在于富有弹性和协调。过胖过瘦或肩、臀、胸部的细小无力，以及由于某种原因造成的身体某部分肌肉的过于瘦弱或过于发达，都不能称为肌肉美。肤色美在于细腻、光泽、柔韧、摸起来有天鹅绒之感，看上去为浅玫瑰色的最佳。2、艺术与建筑文艺复兴时期的伟大建筑师帕拉迪奥(Andrea Paliadio)提出，被我们经常觉得优美的比例，除了最平稳、和谐的11(正方形和圆形)以外,尚有12，13，11 618，14(两个11的组合)，以及15(两个黄金比的组合)。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（13）。无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。 黄浦江东岸的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。纽约联合国大楼在建筑设计中所运用的黄金分割率。五角星中线段的比率都符合黄金分割率，这使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因，五角星总是被作为美丽与完美的象征，并与女神和神圣的女性联系在一起。生活中建筑物、门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等，他们长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。 报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618之处。高清晰度电视的屏幕设计成16：9。西方画家非常注意把和谐的比例关系融入自己的绘画中，达芬奇曾挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例，他是宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。中国画家喜欢动植物和山水，其实形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割。中国的古人虽不知这个神奇的数字，却给我们留下不少至理明言：善画者留白，善乐者希声，善言者忘语，善书者缺笔，大贤者若痴，大智者若愚，这些古代哲理，都隐喻着黄金分割的精髓，明朝李焕说。“和盘托出，不若使人想象无穷耳。”国画、书法讲究“意到笔不到”，笔到则太露，意到则回味无穷。只托出一大半儿(0.618)就给人留以想象和发挥的余地。3、音乐优美动听的琴音，是综合了各种条件而得来的，贝多芬、 莫扎特、 巴赫、巴托克、德彪西、舒伯特等在他们的音乐里流淌着黄金分割的完美和谐。在乐章、节中、乐曲中的大小高潮大都处在乐曲的5：8的交叉点上。斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时也运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置。黄金分割律是小提琴系统工程中的一个重要组成部分。小提琴各个黄金分割律的调试是比较困难的，其中有的可以自行调试，有的则明知不准确也难于调试。在可能条件下调节其某些可调部分的黄金分割点，其音质可获得一定程度的改善。同样，二胡要获得最佳音色，其千斤则须放在琴弦长度0.618处。中国古人对黄金分割的领悟与运用, 与西方确有异曲同工之妙。“以琴长全体三分损一， 又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽，把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽。奇妙的排列, 恰是费波那奇数（PHI）。4、生命现象率先使用斐波那契数列的，是法国数学家埃杜瓦尔卢卡斯。从那时起，科学家开始注意到自然界中这样的例子，譬如，向日葵花盘和松果的螺线、植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物犄角的生长定式。人类从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育规律，也遵循着黄金分割率。在植物中，像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，起花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大接近于黄金分割。在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是13728，这恰好是把圆周分成1：0.618的两条半径的家角。据研究发现：这种角度对植物通风和采光效果最佳。螺旋形的松果的排列与上类似。葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列，相邻两圈之间的直径之比PHI。向日葵花有个花辫，个朝一方，个朝向另一方。将世界上任何一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂分开数，你将得到一个相同的比率PHI。鹦鹉螺身上每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比是PHI。昆虫身上的分节竟然也符合黄金分割。人体最适应的温度乃是用黄金分割率切割自身的温度,因为人正常体温是37.5度，它和0.618的乘积为23.175，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。在动物界，禽兽等高级温动物的体温介乎37-39，这一温度正是水的液态范围0100%，两个黄金点（0.618）之一，即38%左右。养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。医学专家分析后发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病；人的脑电波图，若高低频率比为1：0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。人类是杂食的，消化道长9米，其0.618为5.5米，是承担消化吸收任务的小肠的长度，最适合以素食为主的混合膳食。食物供给人体以热能，热能由碳水化合物、蛋白质和脂肪提供，碳水化合物供热要占人体总热能需要的0.618，主要是谷物中的淀粉。我们把进餐说成吃饭，是很科学的，突出了重点。一些发达国家的食物结构中，这一“黄金分割”被颠倒了，动物性食物占了大部分，造成心血管疾病、糖尿病、肥胖症的发病率大大上升。蛋白质是人体含量最多的有机物质，由20种氨基酸组成，“20”的61.8即12种氨基酸为人体自行合成，另外8种氨基酸必须由食物供给。由于谷物中的蛋白质质量较差，因此，为了保证蛋白质的摄入，膳食中优质蛋白质的供给量应达到61.8。优质蛋白主要存在于动物性食物和豆类食物中，每天吃适量豆类食物和豆制品对健身很有好处。植物油和动物脂肪各有其生理功效，植物油与动物脂肪的摄入比例也应符合黄金分割比值。酸碱平衡.米、面、肉、蛋、油、糖、酒属于酸性食物，进食过多会使血液偏酸，导致酸性体质，使免疫能力下降，容易患病。据统计，有61.8的疾病缘于酸性体质。所以，应该多吃些碱性食物，使血液保持正常的微碱性。碱性食物主要有海带、食用菌、蔬菜和水果，进食量应占膳食总量的61.8。日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。人体内的水分占体重的61.8，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2500毫升。其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1500毫升，大约占61.8。其余1000毫升需要补充，才能保持水平衡。因此，每人一天要喝5杯水。5、社会事实上，0.618对于财政上交、学生的毕业成绩、选举人数的比例、进出口比例、股东分配比例、都有一定的意义和参考价值。生产上，优选法是一种求最优化问题的方法，这就是1953年，美国的基弗提出“0.618法”。即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少的方法。如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，广泛地为投资人士所采用。该理论指出，当股指或股价的上涨速度达到前波段跌幅的0.382倍或是0.618倍附近时，都会产生较大的反压，随时可能出现止涨下跌；当股指或股价出现下跌时，其下跌的幅度达到前波段涨幅的0382或是0618倍附近时，都会产生较大的支撑，随时可能出现止跌上涨。股市行情是集合众人力量的行为，战争则与其类似。古代，马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将0.618用于战争中的一个比较成功的范例。在这次战役中，波斯多于亚历山大的兵马数十倍马其顿，亚历山大大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部（黄金点），把波斯大军打得溃不成军。现代，在海湾战争中，多国部队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。为了使伊军的损耗达到这个临界点，美英联军一再延长轰炸时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内428辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，这时伊军实力下降至60%左右，这正是军队丧失战斗力的临界点（黄金分割点）。以后地面作战只用了100个小时就达到了战争目的。6、其它自然现象太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的涡旋。事实上，列昂纳多曾有论述：“与车轮不同的是，涡旋越趋中心速度越快。”比如说，水星年（水星绕行太阳一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜特威曼和鲍伊德赖斯在上帝之舟中列举的事实更进一步：太阳与水星的距离，加上水星与金星距离，正等于金星和地球的距离。太阳系中月球是距地球最近的星球，月球的平均密度（3.4g/cm）与地球的平均密度（5.5g/cm）之比恰为0.618：1。北纬23.5度是一个奇特的地带，在这条太阳回归线上有不少自然奇观与人文奇迹。用传统的观点来讲，回归线地带是一条好风水带。现在我们来看看此地带的若干“风水现象”：在北回归线周围，有世界最高的青藏高原，有最大的撒哈拉沙漠，有美国的东部大平原，有世界上最深的海沟马里亚纳海沟，有号称世界屋脊的山峰珠穆朗马峰，有中国有最长的大江长江。此外还有不少著名的自然风景区，如张家界、西双版纳、桂林、云南石林等。著名的能量异常区百慕大三角区就经过北回归线。有世界上最大的金字塔群。翻翻世界名人录，会发现有不少伟人出生在这个地带上。且此地带是最繁茂的生物圈。地球地轴的倾斜，当然有其深刻的宇宙意义。倾斜的地轴造成的太阳回归线，如用黄金分割律来分析，我们就会发现，它恰好位于地球地轴的黄金分割点上。有人把中东地区看成地球的“肚脐”，因为它不仅正好位于大约东经30 北纬30度的地方，而且有最大的石油库，并且是世界两大宗教的圣地，又是历史上非常多事的地方。二、黄金分割率的探索古希腊毕达哥拉斯提出用和谐声音具有比例0.618后，欧几里德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算。在他的“几何原本”一书中曾记载了这样一道题：分割已知的定线段，使得整个线段和它的一段所构成的长方形，与另一段所构成的正方形等积。以AB为边作正方形ABDC，取AC的中点E，连结BE，延长CA至j，使得BEjE，以Aj为边作正方形AGHj；延长HG至K。由此我们可以推断出G点将AB分成两段，并使得边长等于AB=BD、BG的矩形与以AG为边的正方形等积。亦即AG2=ABGB。因为，jA=jE-AE= BE-AE= ，又：设AB线段为整体1，AG线段长为x则根据题意有x2=1(1-x)得13世纪数学家菲波那契写了一本书，书中写了关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是、。该数列不仅满足，任一数加前一数等于后一数，而且任一数的比恰巧近似等于黄金分割率。以后的历史发展，菲波那契数就和黄金分割紧密联系起来，以致把0.618称为PHI（读音为菲）。只要进一步的讨论菲波那契数列，就能深一步地理解黄金分割率，也许宗教气氛太浓的西方，不想破坏神的形象，至今没有大的进展。而没有宗教束缚的我却反复思考美的本质时，偶然发现了其中的一点道理。下面，简单说下笔者的发现。笔者发现，并不是只有菲波那契数列才有黄金分割特点，只要一个整数数列：a1, a2, a n-1, an, an+1满足条件a n-1 +an=an+1则必然有： （参看我的论文自组织线性区域研究）这样，就有许多类似菲波那契数列数列满足黄金分割。如：（1）1，3，4，7，11，18，29，47，76（鲁卡斯数列）（2）1，6，7，13，20，33，53，86（3）7，3，10，13，23，36，59，95，154等等，都有PHI。我把凡满足a n-1 +an=an+1的都称为菲波那契数列类。这样就打破了象3，5，8，34，55等数具有神秘性的说法，因为任何一个数都可能是菲波那契数列类中的数。由于我进一步把菲波那契数列类与自组织理论联系，得出：菲波那契问题是某生物成熟期是生殖周期的二倍关系时的数量关系，相邻生殖同期内前后数量之比为0.618。将问题扩展，自然就得到：某生物成熟期是生殖周期的其它倍关系时，相邻生殖同期内前后数量之比为大于0.618小于1的定数。于是我定义：整数数列a1, a2, an，如果满足a n-k+an=an+1则其中k2时，这个比值就会在00.5之间。这里笔者没有把它归纳到广义的菲氏数列类中的原因是，它不属于细胞繁殖的情况，对生命个体的研究影响不大。与非线性区域自组织理论相比较可知，非线性区域和非线性区域都存在不动点，但不其涵义不同，非线性区域中的不动点是表示的生物稳定时的数目，而线性区域中的不动点是前后两代数目的比值。由于我们的认识还非常浅薄，还弄不清线性区域中的不动点怎样决定生物的个性特点，但与非常神秘的数0.618密切相关。仅因为此，我们可以断定深入对线性区域的研究是非常有意义的。从PHI与动植物的形态有很大关系上，我们可以猜想：很可能线性区域主要与生物的成长期有关，而非线性区域主要与生物的稳定平衡期有关。更详细的研究应该在把线性和非线性区域的自组织现象综合起来研究。如把罗吉斯蒂方程和广义的菲氏数列类方程结合起来讨论，也许我们能揭示许多生命的奥秘。三、黄金分割率与美的关系的探索认识总是不断深化的。了解了PHI与生物生长有关的事实后，再来考察“和谐”和“美感”究竟是什么?不仅有助于我们认识美，而且能我们反过来由美来认识生命。为什么11.618具有美感效果?对于这些问题的回答被毕达哥拉斯高度凝练为一句话即：“人是万物的尺度。”“人是万物的尺度”确立了“黄金分割率”是基本美学原则。古希腊人认为，健康的人体是最完美的，而健康的人体中一定存在着各种优美、和谐的比例关系。从古希腊的教育情况看，无论是雅典还是斯巴达，都非常注重体育，从最优秀的运动员身上，古希腊人总结出，最健康的人的各种比例应该遵守黄金分割。这种唯象的描述概括出的结论能否得到精确的数理理论的支持，有待我们继续深入地研究。人的进化导致了人不只是感官动物，人们通过相似、联想等来扩展自己的认识形成概念，由于幸福与健康相关，健康又与人体比例相关，如果这样的意识非常强烈，则必然会把PHI看成所有美的标准，加上许多生命现象中有这样的比例，则所有具有黄金分割率的形象，都可能引起人们对生命的珍惜，对幸福的向往，对美好的追求。这样，PHI能成了美学的基本原则是非常自然的。声色的美与形象美的道理应该是一致的，都属于感官感觉的美，然而内涵的美与感官感觉的美是意义不同的，但否则也有PHI的因素呢？古希腊人认为，人体的和谐与宇宙万物的和谐“同声相应”，相似默契。这种相应和默契依据人类自身的特征和规律进行主动感受和寻求才能获得，由此而产生对和谐的美的感受。为此我们从和谐的角度去讨论，看是否认同PHI这个基本原则。要探讨内涵的美是否和和谐有关，则弄明白和谐又意味着什么？笔者还搞不清楚，但希望下面的讨论，能启发人们继续思索。先我们来看看黄金分割率有哪些特性。用黄金分割率分割的空间能够使部分与整体之间保持着一种紧密的关系，即以最简形式在空间分割中求得最大限度的多样性与相似性。黄金数构成的空间的多样性与自相似性的统一是有其数学的基础的。下面，我们看看其比值的相互交换形式：1/0.618033988=1.6180339880.618033988/0.381966012=1.618033988即：整体与较大部分之比，可协变为较大部分与较小部分之比；0.618033988/1=0.6180339880.381966012/0.618033988=0.618033988 即：较大部分与整体之比，可协变为较大部分与较小部分之比；1/0.381966012=2.6180339881-0.381966012=0.618033988这六式竟然小数部分相同，都是PHI，令人惊讶。笔者曾提出如下公式（详见我的论文广义菲氏数列类）黄金分割率=(1/(1/(1/(K+1)+1)+1)+1)对上式的进一步研讨，还得出更简单的形式：黄金分割率=(1/(1/(1/K+1)+1)+1)即黄金分割率就是任意一实数的倒数加一的倒数加一的倒数加一的倒数。原来黄金分割率是一个最简单的无穷套嵌分式。这与分形有非常类似的特点，是不是就是最简单的分形？是否和谐的意义具有不断包含和自相似的内容，即有个体与部分的关系，与分部与集体的关系一致，与集体与全体的关系一致的意思。令，PHI=1+PHI=1/ PHI= 1.618，即倒黄金分割率。则有：PHI=1/（PHI+1）和PHI=1/PHI+1这两公式都是用自己表达自己，显然是非常有趣的。如果能用这两公式解释和谐，则就说明黄金分割率代表和谐。由式，是否我们可以这样理解：任一事物K，如果它偏离和谐（KPHI），则我们否定它，但不是完全否定，只是取它的倒数，然后加一，就会反转来偏离，但偏离程度会减少，再否定它，取它的倒数，然后加一，就会明显看出偏离减少。反复这样操作，最后极限就达到倒黄金分割率（PHI）。再倒数就是和谐数黄金分割率。举例说：31.618，按 1/3+1操作一次，得1.3331.618，再操作一次得1.75，明显看出它比原来3接近1.618无穷次这样的操作后，结果就等于PHI又例：11.618，再操作一次得1.5，明显看出它比原来1接近1.618无穷次这样的操作后，结果就等于PHI。如果这就是和谐的解释，则，和谐就是说：允许错误的存在，但要通过不断否定来不断纠正错误，不断向正确靠近。这么看来，如果说一种比例关系是美的本质的话，则美是上面所说的一种操作则是本质的本质。比如，我们可以用谎言的比例来衡量一个人或一个社会的好坏。提起谎言，人们都深恶痛绝，然而生活中，人们常常不得不说点小谎来避免冲突，善意的谎言和策略上的谎言还是被不少人认可的。但以能骗人为荣，骗人获利，以骗人取乐，则怎么也不会被别人称为好人，当谎言超过0.382时，就不受人欢迎了。当一个社会连官方都不以谎言为耻时，社会腐败的程度就可想而知了。因为官方是一个榜样，一种气氛的形成动力，即决定了人们的操作，通过这种操作，可以让人趋向诚实或是不诚实。再比如，一个积极向上的社会，人群大都求知，求善，求美。把追求真理放在追求利益之前，这样人在人群中的比例达到PHI附近（后面我们简称为“良性社会PHI”）时，这样的社会一定是良好的。相反，把追求真理放在追求利益之后的人在人群中的比例达到PHI附近（后面我们简称为“恶性社会PHI”）时，这样的社会一个是非常落后的。如今电视节目，越来越成为社会意识的主要来源，为办好它，如果仅以收视率来评价其好坏，则不同的社会环境下可能产生不同的效果。所以用收视率来评价节目的好坏，相当于在复制社会状态，反复操作，则满足广义菲氏数列类，所以这样的评价只能更加强化原来的社会状态（即先进社会保持“良性社会PHI”，落后社会保持“恶性社会PHI”）。但如果一个落后国家电视节目，长期尽可能坚持某种比例关系，如：民族文化和世界文化比、旧文化和新文化的比保持在附近PHI为原则，则相信不管这个国家原来怎么落后，多年后，一定会让社会进入“恶性社会