高中数学3.4基本不等式第1课时教案新人教A必修5

3.4基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。 系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形的面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。提问5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 所以 注意强调 当且仅当时, (2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证: 即证 要证,只要证 要证,只要证 ( - ) 显然, 是成立的,当且仅当时, 的等号成立(3)观察图形3.4-3,得到不等式的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究：课本中的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是（ ） 答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.变式训练： 0，当取何值时+有最小值，最小值是多少 解析：因为0， + 2=2 当且仅当=时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。 当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（ ）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值12下面给出的解答中，正确的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，当x1时，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，则x3的最小值为（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）1