工程力学教案（上）

工程力学教案（上） 课程名称工程力学教学单元名称绪论单元能力培养目标了解工程力学的研究内容和研究对象、工程力学的研究方法以及工程力学在工程实际中的作用；理解工程力学的性质、工程力学课程的作用、工程力学课程的任务。 知识点技能点机械设备和工程结构强度、刚度变形、失稳等力学问题；理解工程力学的性质；掌握工程力学的任务。 单元教学设计以工程实例为任务进行引领，采用多媒体、教学模式培养能力。 单元教学方式多媒体作业调查报告观察工程中或生活中的力学实例【教学内容】绪绪论引言1机械工程中的力学问题 （1）各种机械设备和工程结构都是由若干基本的零、部件按照一定规律组成的，称其为构件。 （2）变形与失稳金属切削机床的主轴在切削加工工件时，主轴是不允许出现变形的，否则将直接影响到工件的加工精度，变形是刚度问题。 此外，某些机构、结构或构件除进行强度、刚度分析外，还应校核稳定性。 如液压挖掘机的顶杆、起重机伸缩臂的弦杆等，如果承受过大的轴向压力，就会突然发生弯曲，。 失去原有稳定的平衡状态，这种现象称之为失稳。 为保证机械设备能够安全可靠的正常工作，机械中的所有构件都应具有足够的承载能力。 构件的承载能力就是机械工程中常常遇到的力学问题。 2工程力学的主要内容和任务使物体运动状态改变(包括平衡状态)是力的外效应；使物体变形是力的内效应。 平衡是指物体相对于地球(作为参考体)处于静止状态或作匀速直线运动状态。 （1）力的内、外效应 （2）工程力学课程研究的主要内容本课程研究物体的受力、平衡、运动、变形等基本规律,讨论的内容可分为两大类一是研究作用在物体上的力与运动之间的关系；二是研究作用在物体上的力与变形之间的关系，物体的运动与变形都与作用其上的力有着密切的关系。 刚体静力学研究的主要任务平衡是机械运动的特殊情况，作用于物体上的力系必须满足一定条件，物体才能处于平衡状态。 物体受力分析方法，力系等效与简化，力系平衡条件以及利用平衡方程求解力，即研究刚体在力作用下的平衡规律。 运动力学所要解决的问题当作用于物体上的力不满足平衡条件时，物体将运动。 物体运动时其位置变化的规律轨迹、速度、加速度等，建立物体运动状态的变化与其受力之间的关系。 材料力学所研究的主要任务机构或构件在使用过程中因其受力而丧失正常的功能的现象，称为失效。 在机械设备的正常使用中，必须要有以下三个方面的保证1）不发生破坏，既有足够的强度；2）发生的小变形在工程容许的范围内，既有足够的刚度；3）不丧失原有形状下的平衡状态，既有足够的稳定性。 3工程力学的研究对象机械工程中涉及机械运动的物体往往比较复杂，在外力作用下物体的变形与破坏形式也是多种多样的。 因此，在对其进行力学分析时，须对其进行合理化简，科学地抽象出比较合乎实际的力学模型和制定出失效与设计的准则。 （1）刚体和质点物体受力时都将发生或多或少的变形。 在分析物体的平衡与运动规律时，可不计微小变形的影响，而将其简化为“刚体”。 如果物体的运动范围远远超过其本身的几何尺寸，且仅是为了分析其质心的运动规律时，可将物体进一步简化为只有质量而无体积的一个质点。 （2）变形固体、弹性变形与塑性变形在研究构件的强度、刚度、稳定性等问题时物体的变形将成为主要矛盾，应将物体视为可变形的固体。 任何固体在外力作用下均将发生变形，若卸除外力后能完全消失的变形，称为弹性变形；不能消失而残留下来的那一部分变形，则称为塑性变形。 刚体和变形固体不是绝对的，要视其研究问题的性质而定。 4工程力学的研究方法 （1）建立力学模型从生活、工程或实验中观察各种现象，经过抽象和简化建立力学模型。 按照机械运动的基本规律，对力学模型进行数学描述，建立力学量之间的数量关系，从而得到数学模型，经过逻辑推理和数学演绎进行理论分析和计算，最后，通过实验或工程实践来验证。 对同一个研究对象，为了不同的研究目的，必须抓住问题的本质，做出正确的假设，使问题抽象化或理想化，以便用简单的力学模型解决问题。 对物体进行运动分析和力平衡状态分析时，应依据问题的性质，抓主要因素，将变形固体视为刚体。 研究物体的强度和刚度问题时，变形成为主要因素，因此只有用变形固体这一力学模型来代表真实物体，才能反映问题的本质。 一个物体究竟应该看作为质点还是刚体，完全取决于所研究问题的性质，而不决定于物体本身的形状和尺寸。 即使是同一个物体，在不同的问题中，随问题性质的不同，有时要看作质点，有时要看作刚体。 当分析强度、刚度和稳定性问题时，由于这些问题都与变形密切相关，因而即使是极其微小的变形也必须加以考虑，这时就必须把物体抽象为变形体这一力学模型。 （2）三种主要的研究方法理论分析、试验分析和计算机分析是工程力学中三种主要的研究方法。 （1）理论分析是以基本概念和定理为基础，经过严密的数学推演，得到问题的解析解答。 构件的强度、刚度和稳定性问题都与所选材料的力学性能有关。 材料的力学性能是材料在力的作用下，抵抗变形和破坏等表现出来的性能，它必须通过材料试验才能测定。 另外，对于现有理论还不能解决的某些复杂的工程力学问题，有时要依靠试验方法得以解决。 在理论分析中，可以利用计算机得到难以导出的公式。 在试验分析中，计算机可以数据、绘制试验曲线，选用最优参数等。 上述工程力学的三种研究方法是相辅相成、互为补充、互相促进的。 课程名称工程力学教学单元名称第1章刚体静力学基础11静力学的基本概念和公理单元能力培养目标理解刚体的概念、力的概念和性质、平衡的概念；掌握静力学的基本公理的概念和应用知识点技能点刚体、力、平衡的概念；二力平衡公理、加减平衡力系公理、力的可传性原理、力的平行四边形法则、作用与反作用定律的概念和应用。 单元教学设计以生活、工程实例来引导学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式理论教学+多媒体作业预习相关课程【教学内容】第一篇刚体静力学第第11章刚体静力学基础1111静力学的基本概念和公理11111刚体的概念刚体是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体，亦即受力后任意两点之间的距离保持不变的物体。 显然，这只是一种理想化了的模型，实际上并不存在这样的物体。 这种抽象简化的方法。 11112力的概念和性质1力的定义力是物体之间的相互机械作用。 力的作用效应?内效应尺寸及形状变化外效应物体运动状态变化力对刚体的作用只有运动效应（包括此效应的特例平衡）。 力的变形效应将在研究变形体的材料力学中讨论。 2力的三要素力的作用效果决定于力的大小、方向和作用点。 力的单位牛顿（中文代号牛，国际代号N）或千牛顿（中文代号为千牛，国际代号为kN）。 力的方向包含方位和指向两个意思，如铅直向下，水平向右等。 力的作用点指的是力在物体上的作用位置。 力的作用线过力的作用点作一直线，使直线的方位代表力的方位。 力是矢量（也称向量）可以用一个有方向的线段（AB）来表示。 3力系作用在物体上的若干个力总称为力系。 （1）对同一物体产生相同效应的两个力系互称为等效力系。 等效力系间可以相互替代 （2）如果一个力系与单个力等效，则此单个力称为该力系的合力，而力系中的各力则称为合力的分力。 11113平衡的概念1平衡状态工程上一般指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。 2平衡力系作用于物体上使之保持平衡状态的力系，也称为零力系。 平衡力系中各个力对物体的作用效果相互抵消，因此平衡力系对刚体的作用效果为零，其合力也为零。 11114静力学公理11二力平衡公理理作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是此两力的大小相等、方向相反、作用线沿同一直线（简称等值、反向、共线）。 注意a.此原理只适用于刚体；例如，软绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受两个等值、反向、共线的压力作用就不能平衡，如下图所示。 b.不要把二力平衡条件与力的作用和反作用性质弄混淆了。 对二力平衡条件来说，两个力作用在同一刚体上，而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上。 工程实际中常把满足二力平衡原理的构件称为二力构件或二力杆。 22加减平衡力系原理在作用于刚体的已知力系中，增加或减去一个平衡力系后构成的新力系与原力系等效。 这是因为平衡力系对刚体作用的总效应等于零，它不会改变刚体的平衡或运动的状态。 这个原理常被用来简化某一已知力系，是力系等效代换的基本原理。 与二力平衡公理相同，加减平衡力系公理只适用于同一刚体。 例如，如上图?（a）所示的杆?AB，在平衡力系（F1，F2）的作用下会产生拉伸变形，如果去掉该平衡力系，则杆就没有变形；若将二力反向后再加到杆端，如图（b）所示，则该杆就要产生压缩变形。 拉伸与压缩是两种不同的变形效应。 实践经验表明，作用于刚体上的力可沿其作用线任意移动而不致改变其对于刚体的运动效应。 力的这种性质称为力的可传性。 证证 （1）设力F作用于刚体上的A点，如上a图所示。 （2）在力的作用线上任取一点B，由加减平衡力系公理在B点加一平衡力系（F1，F2），使F1F2F如上图b所示。 （3）再由加减平衡力系公理从该力系中去掉平衡力系（F，F1），则剩下的力F2（上图c所示）与原力F等效。 这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点，且未改变力F对刚体的作用效应。 证毕。 3平行四边形法则数学表达式F RF1F2图（b）所示为求两汇交力合力的三角形法则。 平行四边形公理的逆定理也成立，如果不附加其他条件，一个力分解为相交的两个分力可以有无穷多个解。 在工程问题中，往往将一个力沿两垂直方向分解为两个互相垂直的分力。 4作用与反作用定理两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、作用线相同、指向相反、分别作用在两个不同的物体上。 注意力的上述性质无论对刚体或变形都是适用的。 不要把二力平衡公理与力的作用和反作用公理弄混淆了。 对二力平衡条件来说，两个力作用在同一刚体上是一对平衡力，而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上，作用力和反作用力不能平衡。 如下图所示作用力与反作用力的关系和表示方法。 课程名称工程力学教学单元名称12约束与约束力13构件的受力图单元能力培养目标理解约束与约束反力的概念；理解和掌握几种常见约束类型的约束反力画法；能正确画出常见结构的受力图。 知识点技能点约束与约束反力的概念；柔索约束、光滑面约束、光滑圆柱形铰链约束、固定铰链支座约束、辊轴（活动）铰链支座约束、固定端约束的概念和约束反力画法；画受力图的方法。 单元教学设计以生活、工程实例、图片引导学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P19习题1-7（c）、1-8(b)(c)、1-9【教学内容】12约束与约束反力121约束与约束反力的概念1约束自由体在空间作任意运动的物体如飞行的飞机、炮弹和火箭。 受约束体某些运动受到限制的物体。 约束凡是限制某一物体运动的周围物体，称为该物体的约束。 2约束反力约束反作用力约束对研究物体的反作用力称为约束反作用力。 约束反力的方向约束反力作用在约束与被约束物体的接触处，它的方向总是与约束所能限制的运动方向相反，这是确定约束反力方向的准则。 物体的受力可以分为两类主动力和约束反力。 主动力或载荷能主动地使物体运动或有运动趋势的力，例如物体的重力，结构承受的风力、水压力，机械零件中的弹簧力等。 1.2.2常见的约束类型及其约束反力的特点和画法1柔索约束工程上常用的钢丝绳、皮带、链条等柔性索状物体。 （1）特点限制物体沿柔索中心线伸长方向的运动。 （2）柔索的约束反力作用在柔索与物体的连接点上，其方向一定是沿着柔索中心线，而背离物体，亦即必为拉力。 （3）表示符号表示。 2光滑接触面光滑接触面约束当两个物体间的接触表面非常光滑，摩擦力可以忽略不计时，即构成光滑接触面约束。 （1）特点它对被约束物体在接触点切面内任一方向的运动不加阻碍，接触面也不限制物体沿接触点的公法线方向脱离接触，而只限制物体沿该方向进入约束内部的运动。 （2）光滑接触面的约束反力作用在接触点处，方向沿着接触面在该点的公法线，指向受力物体，亦即必为法向压力。 （3）表示符号通常用N表示。 3光滑圆柱形铰链（中间铰链）光滑圆柱形铰链由两个（或更多个）带相同圆孔的构件，并将圆柱形销钉穿入各构件的圆孔中而构成。 如门、窗的合页，活塞与连杆的联接，起重机动臂与机座的联接等。 （1）约束特点如果不计摩擦，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动。 （2）约束反力圆柱形铰链的约束反力可表示为两个正交分力x、y，这两个分力通过销孔中心，指向可预先假设假设的指向正确与否，可由计算结果判定。 （3）表示符号x、y4固定铰链支座约束若相联的构件中有一个与固定部分（如机座、桥墩等下页图所示）相连接则称为固定铰链支座约束。 （1）约束特点如果不计摩擦，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动。 （2）约束反力圆柱形铰链的约束反力可表示为两个正交分力x、y，这两个分力通过销孔中心，指向可预先假设假设的指向正确与否，可由计算结果判定。 （3）表示符号x、y5活动铰链支座约束在铰链支座与支承面之间装上辊轴，就成为辊轴铰链支座。 （1）约束特点如略去摩擦，这种支座不限制构件沿支承面的移动和绕销钉轴线的转动，只限制构件沿支承面法线方向的移动。 （2）活动铰链支座的约束反力F N必垂直于支承面，通过铰链中心，指向待定。 （3）表示符号F N6固定端约束对物体一端起固定作用，限制物体的转动和移动的约束，称为固定端约束或固定端支座。 例如下图所示力固定端约束的约束反力可简化为两个垂直的约束反力F Ax、F Ay和一个约束反力偶MA.。 如图1-16b所示。 其中F Ax、F Ay限制物体的移动，M A限制物体的转动。 F Ax、F Ay的指向和M A的旋向可任意假定，是否正确可通过计算确定。 1.3构件的受力图分离体解除约束后的物体；受力图画有分离体及其所受全部外力（包括主动力和约束反力）的简图。 例例1-1圆球O重G，用BC绳系住，旋转在与水平面成角?的光滑斜面上，如图1-17a所示。 画球O的受力图。 解解 （1）取分离体单独画出圆球O。 （2）画球O的主动力圆球O的主动力只有重力G。 （3）画球O的约束反力圆球O的约束有B点的柔索约束和A点的光滑接触面约束，对应有两个约束反力。 球O的受力图如图1-17b所示。 （4）检查分离体上所画之力正确、齐全。 图1-16图1-17画受力图的步骤 （1）根据题意确定研究对象，并将研究对象从周围的约束中解除出来，画出研究对象的简单轮廓图（即取分离体）； （2）在分离体上画出研究对象的全部主动力； （3）在分离体上的解除约束处画出研究对象的全部约束反力； （4）检查。 例例1-2匀质杆AB的重量为G，A端为光滑的固定铰链支座，B端靠在光滑的墙面上，在D处受有与杆垂直的F力作用，如图1-18a所示。 画AB杆的受力图。 解解 （1）取分离体单独画出AB杆。 （2）画AB杆的主动力AB杆的主动力为重力G和载荷F。 （3）画AB杆的约束反力AB杆的约束有B点的光滑接触面约束和A点的固定铰链约束，对应有两个约束反力。 由于A点的反力方向不能确定，故只能进行正交分解，方向可任意假定。 AB杆的受力如图1-18b所示。 例例1-3图1-19a所示的三铰拱桥，由左、右两个半拱铰接而成。 设拱桥自重不计，在AC半拱上作用有载荷F，试分别画出AC和CB半拱的受力图。 解解 （1）先画BC半拱的受力图取BC半拱为分离体。 由于BC自重不计，且只图1-18图1-19在B、C两处受到铰链的约束，因此BC半拱为二力构件，其受力图如图1-19b所示。 （2）再画AC半拱的受力图取AC半拱为分离体。 由于自重不计，因此主动力只有载荷F。 半拱在铰链C处受到BC半拱给它的约束反力F C的作用。 根据作用与反作用定律，F CF C。 半拱在A处的受力可进行正交分解，如图1-19c，也可按三力平衡汇交定理画成图119d的形式。 这里的F Ax、F Ay指向可随意假定，是否正确则需通过计算确定。 例例1-4图1-20a所示的多跨梁由AB梁和BC梁铰接而成，支承和载荷情况如图所示。 试画出AB梁、BC梁和整体的受力图。 解解 （1）先画BC梁的受力图取BC梁为分离体。 BC梁受到一个主动力F2和两处约束的约束反力F C、F Bx和F By，其受力图如图1-20b所示。 （2）然后画AB梁的受力图取AB梁为分离体。 AB梁受到一个主动力F1和B点圆柱铰链约束及A点固定端约束的约束反力作用，具体如图1-20c所示。 BC杆由于只受到三个力的作用，故也可按三力平衡汇交定理画出，这时AB杆在B的受力应按作用与反作用定律相应画出。 （3）再画整体多跨梁的受力图取整体为分离体。 多跨梁有两个主动力F1和F2，还受到A和C两处约束，其受力图如图1-20d所示。 图1-20课程名称工程力学教学单元名称受力图习题课单元能力培养目标通过习题课使学生进一步掌握画受力图的方法和技巧；注意画受力图时容易出错的几点；能熟练、正确地画出受力图。 知识点技能点画受力图的方法、技巧及注意的问题。 单元教学设计采用课堂提问、工程实例分析、重点问题讲解、课堂练习、作业错误分析纠正、方法总结等来完成培养目标。 单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P22习题1-10【教学内容】受力图习题课 一、改错题（指出图中受力图的错误，并改正。 ） 1、 22、 二、力加在销钉上构件的受力分析例试分析图示AB、BC杆和销钉的受力；若分结构中AB杆和BC杆的受力，又如何？讲本例时注意 1、两构件是通过销钉联结在一起，两构件不直接相互作用，而是通过销钉来传递力。 2、明确各力的含义，即何为施力物体，何为受力物体，进一步理解作用与反作用力公理。 3、当销钉上没有外力作用时，销钉不另作分析，若有力作用时，可另作分析，也可把销钉放在某一构件上考虑。 4、进一步理解外力、内力的含义。 5、讲清楚如何取分离体由简单构件到复杂构件。 三、课堂练习解 （1）滑轮受力图 （2）CD杆无主动力，只受两个力作用，为二力杆 （3）AC杆无主动力， （4）整体系统的受力图几个物体组成的系统整体受力图上只画外力不画内力外力系统外物体给系统的作用力内力系统内构件之间的相互作用力。 必须指出，内力与外力的区分不是绝对的，在一定的条件下，内力与外力是可以相互转化的。 对整个系统来说，内力对整体的外效应没有影响。 总结对物体进行受力分析，即恰当地选取分离体并正确地画出受力图是解决力学问题的基础，不能有任何错误，否则以后的分析计算将会得出错误的结论。 为使能正确地画出受力图，提出以下几点供参考 1、要明确哪个物体是研究对象，并将研究对象从它周围的约束中分离出来，单独画出其简图。 2、受力图上要画出研究对象所受的全部主动力和约束反力，并用习惯使用的字母加以标记。 为了避免漏画某些约束反力，要注意分离体在哪几处被解除约束，则在这几处必作用着相应的约束反力。 3、每画一力要有依据，要能指出它是哪个物体（施力物体）施加的，不要臆想一些实际上并不存在的力加在分离体上，尤其不要把其它物体所受的力画到分离体上。 4、约束反力的方向要根据约束的性质来判断，切忌单凭直观任意猜度。 5、在画物体系统的受力图时，系统内任何两物体间相互作用的力，作为内力，不应画出。 当分别画两个相互作用物体的受力图时，要特别注意作用力与反作用力的关系，作用力的方向一经设定，反作用力的方向就应与之相反。 课程名称工程力学教学单元名称21平面汇交力系合成的解析法单元能力培养目标了解平面力系的分类；掌握力在直角坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系合成的解析法。 知识点技能点力在直角坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系合成的解析法。 单元教学设计以动画、例题帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式理论教学+多媒体作业调查身边的平面汇交力系、平面平行力系、平面任意力系的实例【教学内容】第章平面力系的简化与平衡静力学研究的基本问题是作用于刚体的力系的简化和力系的平衡条件，这是静力分析中的两个核心问题。 力系?平面内的力系各力的作用线不在同一空间力系平面内的力系各力的作用线均在同一平面力系平面力系?任意力系平行力系汇交力系空间力系221平面汇交力系合成的解析法211力在平面直角坐标轴上的投影过力?F的两端点A、B分别向?x、y轴引垂线，垂足在x、y轴上截下的线段ab、a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作F x、F y。 投影正负号的规定投影是代数量，其正负规定为由起点?a?到终点?b（或由?a1?到b1）的指向与坐标轴的正向一致时为正，反之为负。 一般地，有?sincosF FF Fyx（2-1）式中?力F与x轴所夹的锐角。 已知投影求力已知力F在x、y轴上的投影为?cos F F x?s i n F F y?则该力F的大小和方向分别为22y xF F F?，tanxyFF?（2-2）式中?力F与x轴所夹的锐角。 力的指向由F x、F y的正负符号确定。 F xF yF212平面汇交力系合成的解析法1合力投影定理设平面汇交力系F1，F2，F n作用在刚体的O点处，其合力F R可以连续使用力的三角形法则求得，如图2-2所示。 其数学表达式为R12n i?F F F F F（2-3）图2-1（23）图2-2将（2-3）式两边分别向x、y轴投影，得到?iy ny y yyix nx x x xF F F F FF F F F F?21R21R（2-4）合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力投影定理2平面汇交力系合成的解析法应用合力投影定理即可求得合力F R的大小及方向?ixiyxyiy ixy xFFFFF F F F FRR222R2R Rtan?（2-5）式中?为合力F R与x轴之间所夹的锐角。 合力F R的指向由ixF?、iyF?的正负号确定。 例例2-1用解析法求图2-7a所示平面汇交力系的合力的大小和方向。 已知F1=100N，F2=100N,F3=150N,F4=200N。 解由式（2-5）计算合力F R在x、y轴上的投影R12341234c os50c os60c osxx0N64.28N75N187.94N98.62Nx i xxxxxF F F F F FF F F F?R12342340sin50sin60sinxx6.60N129.90N68.40N138.1Ny iyyyy yF F F F F FF F F?故合力F R的大小和方向为?N7.169N1.138N62.98222R2R R?y xF F F图2-74.1N62.98N1.138tanRR?xyFF?5.80?由于xF R为负值，yF R为正值，所以合力RF指向第二象限，如图2-7b所示，合力的作用线通过力系的汇交点O课程名称工程力学教学单元名称22力矩和力偶单元能力培养目标掌握力对点之矩、力偶的概念、性质；会应用合力矩定理；掌握平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用；理解掌握力的平移定理。 知识点技能点力对点之矩、力偶的概念和性质；合力矩定理、力的平移定理；平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用。 单元教学设计以生活、工程实例帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式理论教学作业教材P19习题1- 4、1- 5、【教学内容】22力矩和力偶221力对点之矩1力矩的概念力使物体产生绕某一点的转动效应和量。 力的大小与力臂的乘积，是度量力?F?使物体绕?O?点转动效果的物理量，称为力?F?对?O?点的矩，用M O（F）表示。 （1）将转动中心称为矩心。 （2）矩心到力作用线的垂直距离称为力臂，用符号d表示。 （3）通常规定力使物体绕矩心逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。 力矩的表达式为d F M O?）（F力矩的国际单位是牛米（Nm）或千牛米（kNm）。 2力矩的特性 （1）力对已知点的矩不会由于力沿作用线移动而改变（这符合力的可传性原理）。 （2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零。 如果一个力的大小不为零，而它对某点的矩为零，则该力的作用线必过该点。 （3）相互平衡的两力，对同一点的矩的代数和为零（符合二力平衡原理）。 例?2-2如下页图?所示，已知皮带紧边的拉力?F T12?000?N，松边的拉力?F T21?000?N，轮子的直径D500?mm。 试分别求皮带两边拉力对轮心?O?的矩。 解由于皮带拉力沿着轮缘的切线，所以轮的半径就是拉力对轮心O的力臂，即25.0mm2502/?D d（m）于是50025.000021T1T?d F F M O）（Nm）25025.000012T2T?d F F M O）（Nm）拉力F T1使轮逆时针转动，故其力矩为正；F T2使轮顺时针转动，故其力矩为负。 222合力矩定理力系有一合力时，合力对某点之矩，等于各分力对同点之矩的代数和。 即?）（）（i O OM M F F（1-7）在计算力矩时，有时欲求一个力对于某一矩心的矩而力臂不易计算，就可应用合力矩定理，将原力分解为两个适当的分力，分别求两分力对于该矩心的矩，再求其代数和。 例?2-3如图所示，在?ABO?折杆上?A?点作用一力?F，已知?a180?mm，b400?mm，?60?，F100?N。 求力F对O点之矩。 解由力矩的定义式（1-6）可得d F MO?）（F因为力臂?d?值计算较繁，应用合力矩定理式（1-7），则可以较方便地计算出结果b Fa Fb Fa FM M My xy Ox OO?60sin60cos）（）（）（F F F6.255.018.0866.04.010060cos60sin?）（）（a bF（Nm）例2-4如图所示圆柱齿轮，受到与它相啮合的另一齿轮的作用力980NnF?，压力角20?，齿轮节圆直径0.16m D?，试求力F n对齿轮轴心O之矩。 解 (1)应用力矩公式计算如图2-12a，齿轮轴心O为矩心，力臂?cos2Dd?，则力F n对O点之矩为O()cos980N0.08m cos2073.7N m2n nnDM F d F?F （2）应用合力矩定理计算如图2-12b所示将力F n分解为圆周力F t和径向力F rcossint nrnF FFF?由合力矩定理可得()()()O n O tO rM M M?FFF因为径向力F r通过矩心O，故()0O rM?F，于是t()()cos73.7N m22O nO tnD DM M FF?FF223力偶及其性质1.力偶的概念由两个大小相等、方向相反的平行力组成的力系，称为力偶。 实践证明，力偶只对物体产生纯转动效应，因此，只改变物体的转动状态。 2力偶矩力偶对刚体的作用效应，用力偶中的一力的大小?F?与力偶臂?d?的乘积?F?d来度量，称为力偶矩，记作M（F，F?），简记为M，即d FM?），（FF或d FM?力偶矩的正负号规定逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。 力偶矩的单位与力矩的单位相同，为Nm或kNm。 图2123.力偶的三要素力偶对刚体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面的方位，这三者称为力偶的三要素。 三要素中的任何一个发生了改变，力偶对刚体的转动效应就会改变。 若两个力偶的三要素相同，则这两个力偶彼此等效。 4力偶的性质性质1力偶在任何坐标轴上的投影为零。 它表明不能将力偶简化为一个力，或者说力偶没有合力。 即力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。 力偶只能与力偶等效。 也只能与力偶相平衡。 故力偶对刚体只有转动效应，而无移动效应。 性质2力偶对刚体的作用效应取决于力偶的三要素，而与作用位置无关。 推论 （1）力偶可以在作用面及平行于作用面的平面内任意搬移，而不会改变对刚体的转动效应。 推论 （2）只要保持力偶矩不变，可以任意改变力的大小和方向及力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。 注意上述推论只适用于刚体，而不适用于变形体。 性质3力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。 224平面力偶系的合成与平衡1合成作用在刚体上同一平面内的若干个力偶所组成的系统，称为平面力偶系。 设在同平面内有两个力偶（1F，1F?）和（2F，2F?），它们的力偶臂分别为d1和d2，如图（a）所示。 则两力偶的力偶矩分别为111d FM?，222d FM?分别将作用在?A?点的两个力和B点的两个力进行合成（设F3F4），可得43RF FF?43RF FF?FR?与RF?为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶就是原来两个力偶的合力偶，其合力偶矩为214343RM Md Fd Fd FFdFM?）（合力偶矩为?i nM M M M M?21即平面力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 2平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充分与必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即i0M?（2-10）这就是平面力偶系的平衡方程，应用该方程可以求解一个量。 例例2-5多头钻床在水平工件上钻孔如图所示，设每个钻头作用于工件上的切削力在水平面上构成一个力偶。 12313.5N m,17N mM MM?。 求工件受到的合力偶矩。 如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离l=0.2m，试求两螺栓在工件平面内所受的力。 解 （1）求三个主动力偶的合力偶矩12313.513.51744N miMMMMM?负号表示合力偶矩为顺时针方向。 （2）求两个螺栓所受的力选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力F A与F B必然组成为一力偶，设它们的方向如2-18图所示，由平面力偶系的平衡条件，有?0iM0321?MMM lF A解得123220NAM MMFl?所以220NA BF F?，方向如图2-18所示。 225力的平移定理定理作用在刚体上某点的力?F，可平移到刚体内的任意一指定点，但必须同时附加一个力偶，其附加力偶矩等于原力对指定点之矩。 证如图所示）（FBM dFM?证毕。 力的平移定理，可以看成为一个力分解为一个与其等值的平行力和一个位于平移平面内的力偶。 同样，利用力的平移定理也可将一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，合成为一个该作用面内的合力。 合力与原力矢量相等，其作用线平移的距离为MdF?合力的作用线在原力作用线的哪一侧应根据力偶的转向确定。 例如，用扳手和丝锥攻螺纹时，如果只在扳手的一端加力?F，如图（a）所示，由力的平移定理可知，力?F?却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥折断，因此这样操作是不允许的。 再例如打乒乓球课程名称工程力学教学单元名称23平面任意力系的简化24平面力系的平衡方程及应用单元能力培养目标了解平面力系的简化方法及简化结果；会应用解析法计算平面力系的合力；理解平面力系平衡方程基本形式的意义；了解平面力系平衡方程其它形式及使用条件；掌握应用平面力系平衡方程解决平衡问题。 知识点技能点用解析法计算平面力系的合力；平面力系平衡方程基本形式的意义；平面力系平衡方程其它形式及使用条件；应用平面力系平衡方程解决平衡问题的方法。 单元教学设计以生活、工程实例、动画帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P36习题2-1(c)、2- 2、2- 7、2- 16、【教学内容】223平面力系的简化211平面力系向一点的简化简化中心力系所在平面内任取一点O。 主矢合矢量R，体现原力系对刚体的移动效应。 ?i R RF FFFFFFFFF?21?inRF FFFFFFFFF?21(2-1)主矩附加力偶矩等于原力对简化中心O点之矩的代数和，体现原力系对刚体绕简化中心的转动效应。 ?i OnOOO OM MMMMFFFFFFFF?21（2-2）综上所述可知，平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶的矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。 力系的主矢与简化中心的位置无关。 主矩一般随简化中心的位置不同而改变。 例如，试分析固定端约束的约束反力2-1-2平面力系简化的最后结果1若主矢R0，则不论主矩o是否等于零，原力系简化的最后结果为一个力，此力称为平面力系的合力。 这时又可分为两种情况:当o0时，则作用于简化中心的力R就是原力系的合力R。 此时简化中心O恰好选在了平面力系合力的作用线上。 当o0时，原力系简化为作用线通过简化中心的一个力R和一个矩为o的力偶，如图25a所示，根据力的平移定理的逆定理，可以把此力与力偶进一步合成为一合力R。 合力F R作用线与简化中心O的垂直距离为:d=/RoFM（2-3）合力R的作用线在简化中心O的哪一侧，应根据主矩o的转向决定，合力R对简化中心之矩与主矩的转向应一致。 2若主矢R0，主矩o0，则原力系简化的最后结果为一个力偶，此力偶称为平面力系的合力偶，其力偶矩等于主矩，即M=o=o(i)。 此时主矩与简化中心的位置无关，是一常量，亦即原力系向任意点简化的结果都是其矩为o的力偶，这也反映了力偶可在作用面内任意移转这一特性。 3若主矢R0，主矩o0，这说明原力系合成为零力系，则原力系平衡，这种情况将在下一章重点讨论。 例例2-6铆接薄钢板的铆钉A、B、C上分别受到力F 1、F 2、F3的作用，如图所示。 已知F1=200N，F2=150N，F3=100N。 图上尺寸单位为m。 求这三个力的合成结果。 解 (1)将力系向A点简化，其主矢为R?F，主矩为AM主矢R?F在x、y轴上的投影为R12R13cos60200N cos60150N50Nsin60200N sin60100N73.21Nx xyyF FF FFFFF?主矢大小2222R R RR()()(-50N)(73.21N)88.65Nx yF FFF?主矢方向RR73.21Ntan1.46450NyxFF?55.66?主矩23()0.30.225N mAAM MFF?F （2）因为R0,0AM?F，所以原力系还可以进一步简化为一个合力RF，其大小与方向和主矢R?F相同，即RR?FF合力的作用线位置到A点的垂直距离为R25N m0.282m88.65NAAMdF?因为AM为逆时针，故最终合力的作用线在A点的右边如图2-25d所示。 题例题2-7胶带运输机传动滚筒的半径0.325m R?，由驱动装置传来的力偶矩4.65kN mM?，紧边皮带张力T119kN F?，松边皮带张力T24.7kN F?，皮带包角为210如图2-26a所示，坐标位置如图示，试将此力系向点O简化。 解解将力系向O点简化 （1）求主矢主矢R?F在x、y轴上的投影为图2-26R T1T2R T2cos3019kN4.7kN cos3023.07kNsin304.7kN sin302.35kNx xyyFFFFFFF?主矢大小?2222R(23.07kN)(2.35kN)23.1kNx yFFF?主矢方向2.35kNtan0.10254923.07kNyxFF? （2）求主矩T1T2()4.65kN m19kN0.325m4.7kN0.325m0OOMMMF RF R?F由于主矩为零，故力系的合力RF即等于主矢，且合力的作用线通过简化中心O如图2-26b所示。 24平面力系的平衡方程及其应用2.4.1平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系平衡的充分与必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。 即F R=0，MO=0上面的平衡条件可用下面的解析式表示?0)(00iiyixMFFF F0平面力系的平衡方程(基本形式)前两式表示力系中各力在作用面内任选的两个不相平行的坐标轴上投影的代数和等于零，称为投影式；第三式表示力系中各力对其作用面内任意点之矩的代数和等于零，称为力矩式。 前者说明力系对刚体无任何方向的移动效应；后者说明力系使刚体无绕任一点的转动效应。 2.4.2平面力系平衡方程的应用例例2-8简易起重机的水平梁AB，A端以铰链固定，B端用拉杆BC拉住，如图所示。 水平梁AB自重=4kN G，载荷P=10kNF，尺寸单位为m，BC杆自重不计，求拉杆BC所受的拉力和铰链A的约束反力。 解 （1）选取梁AB(包括重物)为研究对象，画其受力图。 梁AB除受到主动力G、F P作用外，还有约束反力，包括拉杆的拉力F T和铰链A的约束反力F Ax、F Ay。 因杆BC为二力杆，故拉力F T沿BC中心线方向。 这些力的作用线可近似认为分布在同一平面内,如图2-27b所示。 （2）选取坐标系Axy，矩心为A点，如图2-27b所示。 （3）各个力向x,y轴投影,并对A点取力矩建立平衡方程。 T0cos300ixA xFFF?T P0sin300iy AyFFFG F?T P()0sin30