届高考数学一轮复习讲义第讲坐标系与曲线的极坐标方程电子教案

届高考数学一轮复习讲义第讲坐标系与曲线的极坐标方程电子教案 一轮复习讲义坐标系与曲线的极坐标方程1极坐标系 (1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做，从从O点引一条射线Ox，叫做，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设设M是平面内一点，极点O与点M的距离离OM叫做点M的，记为，以极轴轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，作记作M(，)要点梳理忆忆一忆知识要点极点极轴极径 (2)极坐标与直角坐标的关系把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单设位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x，y.另一种关系为2，tan.忆忆一忆知识要点cossinx2y22简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程(R)表示过极点且与极轴成角的直线；cosa表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；yx要点梳理sinb表示过?b，2且平行于极轴的直线；sin()1sin(1)表示过(1，1)且与极轴成角的直线方程 (2)圆的极坐标方程2rcos表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；2rsin表示圆心在?r，2，半径为|r|的圆；r表示圆心在极点，半径为|r|的圆忆忆一忆知识要点要点梳理 (3)规定，当0时，表示极点，极角为任意角，但一般取0，即极点的极坐标为(0,0) (4)当限定0，0,2)点时，除极点外，点M的极坐标是惟一的2极坐标与直角坐标互化应注意的问题 (1)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求角出角. (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的前提例例1 (1)把点M的极坐标?5，6化成直角坐标； (2)把点M的直角坐标(3，1)化成极坐标直角坐标与极坐标的互化利用互化公式?xcosysin和?x2y2tanyx?x0?.解解 (1)x5cos6523，y5sin652，点点M的直角坐标是?523，52. (2)?3?2?1?2312，tan1333.点点M在第三象限，0，最小正角76.点因此，点M的极坐标是?2，76.把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍)，一般取0,2)探究提高 (1)把点M的极坐标?8，23化成直角坐标； (2)把点P的直角坐标(6，2)化成极坐标(0,02)练变式训练1解解 (1)x8cos234，y8sin2343，点因此，点M的直角坐标是(4,43) (2)?6?2?2?222，tan2633，又因为点在第四象限，得116.点因此，点P的极坐标为?22，116.例例2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极线轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos?31，M，N分别为曲线C与与x轴，y轴的交点 (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程直角坐标方程与极坐标方程的互化将先将cos?31利用三角公式展开，然后即可化成直角坐标方出程；写出M与与N的直角坐标，利用中点公式即可写出P的直角线坐标，再化成极坐标，就能求出直线OP的极坐标方程解解 (1)cos?31，coscos3sinsin31.又?xcosysin，12x32y1.线即曲线C的直角坐标方程为x3y20.令令y0，则x2；令x0，则y233.M(2,0)，N?0，233.M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为?233，2. (2)M、N连线的中点P的直角坐标为?1，33，P的极角为6.线直线OP的极坐标方程为6(R)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境探究提高(xx江西)若曲线的极坐标方程为2sin4cos，以极点为为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_练变式训练22sin4cos，22sin4cos，x2y22y4x，即x2y22y4x0.x2y22y4x0例例3O1和O2的极坐标方程分别为4cos，4sin. (1)把把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程曲线的极坐标方程的应用利用极坐标与直角坐标的互化公式求解题解解 (1)4cos，两边同乘以，得24cos；4sin，两边同乘以，得24sin.由由cosx，siny，2x2y2，得O1，O2的直角坐标方程分别为x2y24x0和和x2y24y0. (2)由由?x2y24x0，x2y24y0，得4x4y0，即即xy0为所求直线方程因为极坐标方程与直角坐标方程的这种互化关系，所以几乎所有的极坐标方程问题都可以转化为直角坐标方程来解探究提高(xx江苏)在极坐标系中，已知圆2cos与直线3cos4sina0相切，求实数a的值练变式训练3解为将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3140a|32421，解得a2或a8.故故a的值为8或或2.(10分)在极坐标系下，若点P(，)的一个极坐标为?4，23，求以?2，2为坐标的不同的点的极坐标易错警示忽视极坐标系下点的极坐标不惟一性致误学生解答展示甲解?4，23化为直角坐标为(2,23)，故该点与原点的中点坐标为(1，3)，化为极坐标为?2，23.乙解4，23，故22，23，因此所求极坐标为?2，3. (1)P(，)的一个极坐标为?4，23，4，232k或或532k，kZ. (2)?2，2表示极径为的一半，极角为的一半审题视角规范解答解?4，23点为点P(，)的一个极坐标4或4.2分当当4时，2k23(kZ)，22，2k3(kZ)4分当当4时，2k53(kZ)，22，2k56(kZ)6分?2，2有四个不同的点P1?2，2k3，P2?2，2k43(kZ)，P3(2,2k56)，P4?2，2k116(kZ)10分批阅笔记甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(，)与与?2，2的关系并不是点(，)与极点的中点为?2，2，从几何意义上讲点?2，2应满足该点的极角为为的12为，极径为的12.乙生解法中满足?2，2的几何意义，点但由于极坐标系内点的极坐标的不惟一性，还应就点(，)的其他形式的极坐标进行讨论1极坐标方程与直角坐标方程互化公式?xcosy