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高三数学考前讲座一：考前阅读助你心想事成数学成功 首看填空高考数学填空题解题策略与方法南京市孙舜宝目前，全国各地的高考数学试卷，考试题型一般以填空题和解答题两种形式出现。以江苏省高考数学试卷为例，试卷中填空题约道左右，占总分略多。有些地方议论近年的高考，民间甚至形成了一种“数学成功高考就成功”的说法，此言虽有偏颇，但道出了数学在高考中的分量和地位。在只以语、数、外总分成绩划录取分数线的省份，对许多考生而言，数学成绩在高考中的地位和作用，的确是十分重要的。就数学高考而言，许多高三师生可能都有一种感觉，每一次数学考试，如果填空题的正确率高，该生的数学成绩就不会很低；而填空题的正确率不高，本次考试中该生数学肯定不能获得高分。因为，在基础部分的填空题失分，后面解答题中又必然会遇到一些较难解答的大题不能正确解答，怎么可能得到高分呢？高三年级的师生，经过多次评估测试，都会不同程度地感受到：“填空成功数学考试才能成功”！但是，由于在数学填空题中，较大部分题目内容的基础性、解题方法的隐匿性、结论表达方式的直观性，高三师生往往很少注意到去研究填空题的解题策略和方法。笔者连续多年担任高三数学教学，在多年的实践中，深深感受到在解答数学填空题的策略和方法上指导学生，能够使数学的教与学事半功倍，让师生受益匪浅。仔细回顾和进行数据分析，自己每届所带高三数学成绩的提高，很大程度上得益于学生在考试中填空题的准确性提高。现将个人的体会和做法罗列如下，供高三师生们在考试中参考和指正：策略一：心理疏导在高三数学教与学的实践中，我们发现，因数学填空题的特殊性，许多学生在解答时，存在以下一些影响正确解答填空题甚至影响整场数学考试的心理：1.填空题简单，只要边做边猜就行。有时少数考生在有些题目上，根本没有算到底，就盲目地填写一个答案，特别是在做求字母或数式的值时，计算几步还没有得出答案，个别考生往往就会随意填写一个或等常数，结果在绝大多数情况下这种结果是错的。2.在做填空题时，脑袋里老是想着后面还有多少道大题没有求解，在思维分散的情况下匆匆忙忙地求解，可以想象，必然容易忙中出错。3.在解答暂时不会的填空题时，不是及时地空过去，等有时间时再去分析求解，而是硬在此题上耗时间，影响了整体考试时间的效率，有的甚至造成后面的题还没有来得及看，考试结束铃声就响了，本来会做的没有时间去看、去做。有的或者凭着侥幸心理，随便填写一个答案，造成后面即使有时间，也没有能再认真地去考虑此题（可能在第二次考虑时能做对），被自己前面所写的随意答案所蒙蔽。4.遇到填空题中不会解答的题，特别是想了几分钟后还不会，就着急、就惊慌、就错误地认为“自己前面的基础题都不会，肯定这次数学考试要失败了”，带着一种慌恐的心理进行下面的考试，影响整场考试的心理和正常水平发挥。针对上述情况，我们在教学中，特别是在平时的考试评估前，往往特别指出：填空题不一定全是简单题，根据高考阅卷分析，一般学生在一场数学考试中有几道填空题不能正确解答，完全属于正常发挥。做题要特别专心，每次最好只想一个问题，甚至只想某道题的某一步计算和推理，要有一次性求解出正确解答的责任心和信心。三道填空题的分数，就是一道解答题的分数，千万不能会做的做错。前面能做、会做的填空题出错，后面的解答题又能力跟不上，本次数学考试就可能考不出自己的应有水平。考试中自己的水平不能充分展示，就是真正意义的失败！发挥了应有水平，即使最后是低分，也是考试的成功（教师应该经常以这种考试是否成功的评判标准，与学生达成共识）。让学生在考试中始终坚定必胜的信心和一种平和的心态，对指导学生考试成功是十分必要的。学生在考试中发挥了已有水平，成绩还是不理想，完全可能是试卷难度太大或学生的水平暂时还达不到试卷的要求，最起码可以知道学生哪些方面存在不足，教师可以知道今后帮助他们努力改进、获取提高的方向。策略二：规范引导填空题因为不需要有求解过程呈现，许多考生在求解过程中，会自觉不自觉地将推理和计算简略到几乎不能再简略的地步。特别是在草稿纸上计算、推理时，往往信手乱写，数式、字符不规范，有时自己对变形、推算中刚写的字符也看不清、读不准、出现前后不一致的错误，严重地影响了最终结果的准确性。有的考生在第二次验算时，更加简约地进行推理和计算，将第一次得到的正确结果，反而改成了错误的结论，更是令人、令已考后十分可惜！针对上述情况，我们经常在考试前对考生进行有针对性地指导：要求学生在做填空题时，规范使用草稿纸，将草稿纸分块使用，每题草稿完成后，随即划一道线与下一题分开，避免因草稿纸上的横七竖八、杂乱无章带来差错。计算和推理过程中，填空题解答的草稿，除文字叙述（在大脑中考虑）可省外，一般步骤不能少，每一个字符更要从平时要求抓起，养成写清楚的好习惯。第二次验证时，只在第一次的草稿上进一步校对和演算，不必再另起炉灶，如此操作，既节省了时间，又可以找出前次计算和推理的不足。遇到暂时不会解答的填空题，冷静、细心地思考一下，如还是不能解答，就要学会果断地暂时放弃，等一会有时间时再考虑，说不定你就会有新的、正确的思路。当感到某道填空题的计算和推理特别复杂时，也应立即停止计算，冷静地思考、检查一下，很可能是自己的方法和推理、计算出现了失误，也可能是没有找到更好的方法。即使方法和计算是正确的，因为过程太复杂，在一道填空题上耗费太多的时间，甚至超过做一道解答题的时间，也是考试中的一种时间效率低下。此时可再看看题目的条件或等一下再去求解，或许你能得到更好、更简捷的解答。如此指导后，我们高兴地看到，许多学生在数学考试，特别是在数学填空题的正确率上，有了很大程度的提高、喜人的收获，有兴趣的师生不妨一试。策略三：解法指导求解数学的填空题与求解试卷的解答题，除考试要求本身就有不同外，的确有一些独特的方法。如果我们真的在求解每一道填空题时都如求解数学解答题一样，详细书写推理和解答，必然带来考试时间效率的低下，影响整体考试效益和成绩的发挥。下面以江苏省部分大市年二月份以来，全市高三统考测试卷的部分数学填空题（多数是考生感到难度较大且出错率较高的填空题，若以常规解题方法计算和推理，过程长、耗时多不说，可能也不容易得出准确结果）分析为例，探索一些填空题的简约求解方法。方法一：巧用定义法例（南京市师大附中高三检测卷第题）如图，已知点是边长为的正方形的一条对角线上的一个动点，则向量的积的最小值是多少？（为节省篇幅，以下有关图象以文字描述，图略）分析：此题可将此正方形放入直角坐标系内，写出各点的坐标，进而进行计算，但计算过程如做大题，耗时较多也易错。直接用向量定义求解并借助正方形的对角线长：因为向量：；所以所求最小值为。例（无锡市高三调研卷题）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，若，则直线的斜率为。分析：根据抛物线定义，曲线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，过点向准线作垂直直线，设垂足为，则，求直线的斜率问题转化为求直角三角形的锐角，由易见是一个锐角为的直角三角形，由对称性可知：所求直线的斜率为。方法二：动定调整法例（盐城市高三调研卷题）若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是。分析：将原不等式变形为：，由绝对值的性质，只画出函数这一确定图象部分的图象，可见只要用部分的图象与函数的图象比较即可。动折线是过点分别与轴正半轴成和角的两条射线，左射线经过点（，）时，向左平移整体折线，当右射线与抛物线相切时，可得。所以所求实数的范围是。方法三：列表分析法例（无锡市高三期末卷第题）已知三角形三边的长a,b,c都是整数，且如果,则这样的三角形共有个。分析：以的值分别以、赋值列表，以表示三角形的个数：a112212233312233b1222333333444444c1223334345445454由上表统计可得：、用写数列通项公式的办法，可以得到： 。所以这样的三角形共有个。方法四：数形结合法例（南通市高三调研卷题）设函数记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是： 。分析：由题意，令，设函数，可见是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线，当时，函数取得最小值。又由函数的导函数可得是函数的极大值点，两极值在同一条直线上出现，两曲线只要相交，则原方程就至少有一个解。根据图象分析，显然，只要即可，可得本题结论：。例（苏北四市高三第二次调研卷第题）设函数若方程有且只有两个实根，则实数的取值范围为 。分析：本例当时，函数的图象呈周期状态显示，周期T=1。因此，只要我们在直角坐标系中，先画出函数的图象，在此图象上截取的部分图象，按个单位为一个平移格，每向右平移一格复制一次，就可得到函数的整体图象，再以直线为基本参照，平移画出直线可见，当时，原函数图象与直线有三个交点；当时，原函数图象与直线有两个交点；当 时原函数图象与直线有一个交点，所以所求的取值范围为： 。（图象可按文字叙述画出，略）方法五：分类讨论法例（南京市师大附中高三测试题题）使三条直线不能围成三角形的实数有几个？（分别是多少？）分析：. 当与平行时，可得. 当与平行时，可得. 当与平行时，可得无解（思考一下为什么？）. 当三线共点时,可得: 或。所以所求的值有四个，具体值见上。方法六：逻辑推理法例（泰州市高三测试卷第题）设为常数，（），若对一切恒成立，则。分析：本例又是填空最后一题，条件十分复杂，如果进行正常的三角函数公式变形，耗费很多时间也很难得出结果。根据题目条件，利用逻辑分析：题目中为常数，不影响结果（结果中不含有常数，可见结论与的取值无关）干脆令，条件此时简化为，此时在条件范围内，取代入即可迅速求得正确结果：所求值为。运用逻辑分析，此复杂题变成了最简单题，也许出乎命题者的估计。方法七：反例淘汰法例（江苏省高三总复习卷题）给出以下四个命题：的充要条件是；函数在处有极值的充要条件是；两圆与有条公切线的充要条件是；三棱锥为正三棱锥的充要条件是该项三棱锥的三组对棱分别互相垂直。分析：当时原式成立，故命题是假命题。若函数，易见时，但不是函数的极值点。故命题是假命题。在平面坐标系上画出定圆和动圆，可见命题正确。以正方体中过点、四点作一三棱锥，可得三组对棱分别互相垂直，但不是正三棱锥，命题是假命题。方法八：特殊值（赋值）法例（泰州高三测试卷第题）已知函数的图象和函数的图象关于直线对称