第八章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个三个公理的应用(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；(2)公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；(3)公理3是证明三线共点或三点共线的依据1(必修2 P41公理1改编)公理1用数学符号表示正确的是()AAl，Bl且A，B，则lBAl，Bl且A，B，则lCAl，Bl且A，B，则lDAl，Bl且A，B，则l答案：C2(必修2 P43练习T1改编)下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析：选D.A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的3(必修2 P47例3改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1B所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选C.连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知ACA1C1.则BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1A1BBC1.BA1C160.故选C.4(必修2 P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形E，F分别为AB，BC的中点，EFAC.又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形5(必修2 P51A组T5改编)已知直线a直线b，直线m与a，b分别交于点A，B.求证：过a，b，m有且只有一个平面证明：ab，过a，b有一个平面.又maA，mbB，Aa，Bb，A，B.又Am，Bm，m，a，b，m共面于.设过a，b，m有一个异于的平面，则a，b，a，b.这与ab，过a，b有且只有一个平面相矛盾过a，b，m有且只有一个平面平面基本性质的应用(1)如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.求证：E，F，G，H四点共面；设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线解(1)证明：E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线(2)如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F，交DA的延长线于一点P，则P平面BED1F.因为DA平面ABCD，所以P平面ABCD，所以P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点又B是两平面的一个公共点，所以PB为两平面的交线(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上(3)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1，又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)如图，EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点空间两直线位置关系的判断如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解(1)不是异面直线理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线异面直线的判定方法：定义法：依据定义判断(较为困难)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设作为条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 1如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选D.将展开图还原为正方体，如图所示AB与CD所成的角为60，故选D.2在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG(图略)，MGHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面答案：异面直线所成的角如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，求异面直线AN，CM所成角的余弦值解如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.即异面直线AN与CM所成角的余弦值为.用平移法求异面直线所成角的三步法：一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 1在空间四边形ABCD中，已知E，F分别为边AB和CD的中点，且EF5，AD6，BC8，则AD与BC所成的角的大小为()A30B45C60D90解析：选D.如图，连接BD，取BD的中点G，连接EG，GF，由三角形的中位线定理可知：EGAD，GFBC.AD6，BC8，EG3，GF4，又因为EF5，所以EG2GF2EF2，所以EGF90，EGF就是AD与BC所成的角故选D.2四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1.则EF的长为_解析：如图，取BC的中点O，连接OE，OF，OEAC，OFBD，OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.答案：或3.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点 (1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小解：(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42. (2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.故异面直线OC与MD所成角的正切值为.一、选择题1(必修2 P52B组T1(1)改编)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是()ABC D解析：选C.把平面图形还原为立体图形进行选择，如图，BM与ED是异面直线，CN与BE是平行直线故不正确，排除A，B，D，故选C.2(必修2 P52B组T1(2)改编)如图，M、N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB与BB1的中点，则A1M与CN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.如图，取DD1的中点P，连接A1P与MP，易证A1PCN.MA1P即为A1M与CN所成的角，设正方体棱长为2.A1MA1P，MP.cos MA1P.故选B.3(必修2 P51A组T3、4改编)下列命题是真命题的是()Am、n是两直线，是两平面，若m，n，则m、n是异面直线Bm、n、l是三条直线，若mn，且l与m成50角，则l与n成40角C平面平面，直线m，则mD在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条记为“一对异面直线”，则这十二条棱中共有24对异面直线解析：选D.对于A，m与n可能平行或相交，故A错对于B，l与n所成的角不确定，故B错对于C，m可能在平面内，故C错对于D，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中与AA1成为一对异面直线的有BC、DC，B1C1，D1C1共4对故异面直线对数为24.故D正确二、填空题4(必修2 P48练习T2(2)改编)如图，已知长方体ABCDABCD中，AD2，AA2.则AA和BC所成角的度数为_解析：因为AABB，所以BBC就是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.答案：605(必修2 P45例2改编)空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若ACBD，则四边形EFGH是_解析：利用三角形的中位线可得，EFGHAC，FGEHBD.因为ACBD，所以EFFGGHEH.又EHFG，EFGH，所以四边形EFGH是菱形答案：菱形三、解答题6.(必修2 P53B组T3改编)如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点解：(1)2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)证明：EFGH，且，EFGH，EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点一、选择题1下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线导学号03350605解析：选A.选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2给定下列两个关于异面直线的命题：命题(1)：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；命题(2)：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线那么()A命题(1)正确，命题(2)不正确B命题(2)正确，命题(1)不正确C两个命题都正确D两个命题都不正确导学号03350606解析：选D.当c可以与a，b都相交，但交点不是同一个点时，平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，因此判断(1)是假命题，如图所示；对于(2)，可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中任意两条是异面直线，从而(2)是假命题故选D.3如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()ABCD导学号03350607解析：选C.还原成正四面体(图略)，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN，故选C.4已知A、B、C、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件导学号03350608解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面，故甲是乙成立的充分不必要条件5.如图，AB是圆锥底面直径，PAB为正三角形，C为半圆弧AB的中点，则PA与BC所成角的余弦值为()A.B.C.D.导学号03350609解析：选B.取弧AB的中点D.连接AD，则ADBC，PAD即为PA与BC所成的角，设AB2.则PAPD2，AD2cos 45，PAD为等腰三角形，过点P作AD的垂线，垂足为E，则AEAD，在RtPAE中，cos PAD.6如图，平面平面l，A、B，C，Cl，直线ABlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过()A点A B点BC点C，但不过点D D点C和点D导学号03350610解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面内又在平面内，故在与的交线上故选D.7已知异面直线a，b，ab，c与a成30角，则c与b所成的角的取值范围是()A60，90 B30，90C60，120 D30，120导学号03350611解析：选A.如图，直线c在位置c1时，它与直线b所成的角最小(60)；在位置c2时，它与直线b所成的角最大(90)8若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定导学号03350612解析：选D.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B，故选D.9设l1，l2，l3是空间内三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面导学号03350613解析：选B.对于A，通过观察常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3，l1，l3所成的角是90，l1l3，故B正确；对于C，例如三棱柱中的三条侧棱相互平行，但不共面，故C错误；对于D，例如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错误故选B.10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面