素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答9803.doc

数学通报 1998年第 3期 数学问题解答 1998年 2月号问题解答 左边不等式 :对 k N n(解答由问题提供人给出 )( ai + aiai+1 + ai+1 )k n i=1 1116设 ai 0 (1 i n) , i=1 ai=1 (n 6 k 22 n6 2) ,并记 an+1 =a1 ,则对 k N,有不等式 : 2i=1 (ai + ai+1) 5 kn 1 -k n ( 3)kn1-k读之( 2 本题 2) k 2,现n 6 1 (aki =( 3)kn .i=1 +aiai+1 +ai+1 5 中学 252 n6 且对左边不等式等号成立的充要条件为 : (1 i n) ,再利用 a1 =a2 = = an= 1 ;1,即得 :等号成立的充要条件为 : a1= n an= . n 1117设非负实数 a, b,c适合 a+b+c= 3,试证 : 2ab2 + bc2 + ca 4 ,( 3 ) 34 ( ai + ai+1 ) 2 ai 2 + aiai+1 + ai+12 并指出等号成立的条件 . ( ai + ai+1) 2证明由 ( 3 )式左边是关于 a, b, c的所以 轮换对称式而不妨设 a为最大者 .则2 (ai + ai+1) ai 2 + aiai+1 + ai+12 ai + ai+1 ab2 + bc2 + ca2 ab2 + abc + ca2 (1) 且对左边不等式成立的充要条件为 : ai=ai+1 ;= a(b2 + bc + ca) 右边不等式等号成立的充要条件为 : ai, ai+1中 a 1 b(a+b) +c(a+b) (2)2 有一个为 0. (1 i n).1 右边不等式 :由 k N, 0 ai +ai +1 1,有= 2 a(a+ b)( b+ 2c) 1 a+ (a+b) +(b+ 2c) 3 n 70 (3)3 6 ( ai 2 + aiai+1 +a2 i+1)k= 2 i=11 2(a+ b+ c) 3+ 53 1 6 n (ai + ai+1)k 6 n (ai + ai+1)= 2.2 i=1 i=1 a+b+c = 3 当 k1时等号成立 ,则 ai, ai+1中有一个为 0,k且 (ai+ai+1) =ai+ai+1即 ai+ai+1 =0或 1 (1 i n) ,所以有 ai, ai+1全为 0或 ai, ai+1仅有一为 ab2 + bc2 + ca2 4 (4)1 (1 i n) .6 n 原不等式 ( 3 )成立 .利用 i=1 ai =1,即得 :等号成立的充要条件为 : a1, , an中仅有一个为 1,其由 (1), (2), (3)三式等号成立的条件 ,余为 0.可知 (4)式等号成立当且仅当 1998年第 3期数学通报a=c或 b= 0(1) a=b或 b= 0(2) a= a+b = b+ 2c(3) a+b1+c = 3 (已知) +a1 +a3 + +a2 i+1 a2 +a4 + +a2 i 由于 b a x2 x1 ,由二次函数f (x) = x 2 + (2a+2c) x+a+c2-6ac的图像 ,即知 f (b) (a) (x2) = 0.f f 从证明过程可知 ,当且仅当 a=b且 2a =c时 , f (b) =0成立.但这时 a+b=c, a, b, c不能构成三角形.所以 , f (b) 0,即 p2 2ac. 1119设数列 an满足 an 0 (n N) ,且 a2 -a1 a3 -a2 an-an-1 ,证明 : an成等差数列的充要条件是 a1 +a3 + +a2 n+1 n+ 1 = (n N)a2 +a4 + +a2 nn 证明先证必要性.设 an是等差数列 ,其公差为 d,则对于任意正整数 n,有 aa12 +aa34 + +aa22 n+n 1 a1 + (a1 + 2 d) + + (a1 + 2 nd) = (a1 + d) +(a1 + 3 d) + +a1 +(2 n-1) d (n + 1)a1 + n(n+ 1)d n+ 1 = na1 +n 2 d n.为了证充分性 ,只要证下述命题 : “设数列 an满足 a2 -a1 a3 -a2 an-an-1 ,如果有下述 m个等式 a1 +a3 + +a2 i+1 i+ 1 = ,(i = 1 ,2 , , m)a2 +a4 + +a2 ii 那么 a1, a2, a3, , a2m+1成一等差数列. ”对 m用数学归纳法: a1 +a3 m=1时 ,由已知条件 ,有 1个等式 a2 =2,从而 a1, a2, a3成等差数列.假设 m=k时 ,上述命题成立.现在来看 m =k+1的情形.有下述 k+1(i= 1, 2, , k, k+1)从 (1)的前 k个等式 ,出 : a1 , a2 , , a2k + 1成一等差数列 ,设其公差为 d.从 (1)的第 k , k + 1个等式得出 k(a1 +a3 + +a2 k+1) = (k+ 1)( a2 +a4 + +a2 k), (2) (k + 1)( a1 +a3 + +a2 k+1 +a2 k+3) = (k+ 2)( a2 +a4 + +a2 k+a2 k+2). (3)从 (2) , (3)得出 a1 +a3 + +a2 k+1 +(k + 1)a2 k+3 =a2 +a4 + +a2 k +(k+ 2)a2 k+2 .(4)把 (4)整理得(k + 1)( a2 k+3 -a2 k+2) = (a2 -a1) +(a4 -a3)+ + (a2 k-a2 k-1) +(a2 k+2 -a2 k+1)(5)由于 a1, a2, , a2k+1是公差为 d的等差数列 ,因此从 (5)式得 (k + 1)( a2 k+3 -a2 k+2) = kd+ (a2 k+2 -a2 k+1) kd + (a2 k+3 -a2 k+2)(6) i+ 1 = ,(1)i 运用归纳假设得S OBC = 1 + S OAB从 (6)式得 a2k+3 -a2k+2 d.于是有 d=a2 k+1 -a2 k a2 k+2 -a2 k+1 a2 k+3 -a2 k+2 d因此 a2k+2 -a2k+1 =a2k+3 -a2k+2 =d.这证明了 a1, a2, , a2k+1 , a2k+2 , a2k+3是等差数列 .据数学归纳法原理 ,对一切正整数 m,上述命题成立 . 1120证明 :如果 2 x1x20,则 tgx1x1 tgx2 x2证明作直角三角形 OAC使 A 90, COA= x1 ,AC上取 B点 ,BOA= x2 ,图),于是tg x1 S OAC tg x2 =S OAB S扇形 OBD x1 -x2 x1 1 +S扇形 OEB = 1 +x2 =x2 . tgx1x1 tgx2x2 . 1998年 3月号问题 (来稿请注明出处编者 )本栏编者按为了提倡将数学知识应用于解决实际问题 ,我们选用了第 1121题.为了促进对普通高中新的数学教学大纲和职业高中数学教学大纲里新增内容的了解 ,我们将对第 1122题运用向量的知识给予简洁的证明 . 1121某工厂需要下列三种型号的钢材的数量分别为 : 60张 3m 1m的钢材 , 49张 4m 2m的钢材 , 12张 7m 5m的钢材 .供应给该工厂的钢板的规格都是 10m 10m ,求最佳切割钢板的方案 ,使该工厂能用最少的钢板得到所需数量的三种型号的钢材 . (丘维声提供 ) 1122设 AC是平行四边形 ABCD的较长的与 AB延长线交于=| AC| 2 . (丘维声提供 ) 1123已知 x, y,z都是正实数 ,证明 : 22 22 y +z +yz + z +x +zx) 2 +(x-y) 2 (安振平提供 ) AC =BD = AB ;四个内角有两个是锐角 ,两个是钝角 .已知两个锐角分别为 66, 72.求两个钝角 . (黄全福提供 ) 1125圆 O1与圆 O2外切于点 P, QR为两圆的公切线 ,其中 Q, R分别为圆 O1 ,圆 O2上的切点 .过 Q且垂直于 QO2的直线与过 R且垂直于 RO1的直线交于点 I. IN垂直于 O1O2 ,垂足为 N, IN与 QR交于点 M.证明 : PM, RO1, QO2三条直线交于一点 . (周文书提