2016年山东省青岛市高考一模文科数学试卷(B卷)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（ 一、选择题：本大题共 10小题每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2C D 1， 2 2设复数 +2i， i 为虚数单位则 ） A 3B 5C 5 1 4i 3等比数列 ， ，前三项和 8，则公比 q 的值为（ ） A 1B C 1 或 D 1 或 4设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则 “ ”是 “a b”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知圆 C 的圆心与双曲线 4=1 的左焦点重合，又直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切，则圆 C 的标准方程为（ ） A（ x 1） 2+B（ x+1） 2+C（ x+1） 2+D（ x+1） 2+ 6函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A 2， 0B 2， C 2， D 2， 7如图，网格纸上正方形小格的边长为 1中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3为 6圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（ ） A 201612 第 2 页（共 18 页） 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 4， 10，则输出的 a 为（ ） A 0B 2C 4D 6 9当 0 x 时， 4x a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D（ ， 2） 10设 S 是实数集 R 的非空子集，如果 a， bS，有 a+bS， a bS，则称 S 是一个 “和谐集 ”下面命题为假命题的是（ ） A存在有限集 S， S 是一个 “和谐集 ” B对任意无理数 a，集合 x|x=kZ都是 “和谐集 ” C若 2，且 和谐集 ”，则 2 D对任意两个 “和谐集 ” ， ，则 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11已知双曲线 的一条渐近线经过点（ 1， 2），则该双曲线的离心率的值为 12在等腰直角三角形 ， D 是斜边 中点，如果 长为 2，则的值为 13设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x 3y 的最小值是 14如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是 15定义在 R 上的函数 f（ x），如果存在函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数），使得 f（ x） g（ x）对一切实数 x 都成立，则称 g（ x）为函数 f（ x）的一个承托函数 第 3 页（共 18 页） 现有如下函数： f（ x） = f（ x） =2 x； ； f（ x） =x+ 则存在承托函 数的 f（ x）的序号为 （填入满足题意的所有序号） 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为 12 分已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为 x （ ）求 x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定； （ ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率 17在 ， 角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知 （ ）若 b= ，当 长取最大值时，求 面积； （ ）设 的取值范围 18如图，在四棱锥 S ， 面 平面 是线段 一点， B， C， （ 1）证明： 平面 （ 2）设三棱锥 C 四 棱锥 S 体积分别为 ，求 的值 19已知数列 足 =2，且 第 4 页（共 18 页） （ ）设数列 前 n 项和为 数列 足，求 （ ）设 ，是否存在常数 c，使 为等差数列，请说明理由 20已知圆 M：（ x+1） 2+，圆 N：（ x 1） 2+5，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （ ）求曲线 C 的方程； （ ）过曲线 C 上的一点 作两条直线分别交曲线于 A， B 两点，已知 直线 斜率 21已知函数 f（ x） =ex+中 aR，令函数 g（ x） =f（ x） + （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）当 a= e 时，证明： g（ x） 1； （ ）试判断方程 |g（ x） |= 是否有实数解，并说明理由 第 5 页（共 18 页） 2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2C D 1， 2 【考点】 交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法 【分析】 先化简 2 个集合 M、 N 到最简形式求出 M， N，依照补集的定义求出 按照交集的定义求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= =y|y0 ， 故有 Ny|y0 x|x 0，或 x 2=0， +） （ ， 0） （ 2， +） =0， 2， 故选 B 2设复数 +2i， i 为虚数单位则 ） A 3B 5C 5 1 4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据题意，写出复数 计算 【解答】 解：复数 +2i， 1+2i， 1+2i）（ 1+2i） =（ 2i） 2 12= 5 故选： B 3等比数列 ， ，前三项和 8，则公比 q 的值为（ ） A 1B C 1 或 D 1 或 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据前三项和以及第三项可利用第三项表示出前两项和，建立关于 q 的方程，解之即可 【解答】 解 8， a1+=12 即 2q 1=0 解得 q=1 或 q= ， 故选 C 4设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则 “ ”是 “a b”的（ ） 第 6 页（共 18 页） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论 【解答】 解： b m， 当 ，则由面面垂直的性质可得 a b 成立， 若 a b，则 不一定成立， 故 “ ”是 “a b”的充分不必要条件， 故选： B 5已知圆 C 的圆心与双曲线 4=1 的左焦点重合，又直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切，则圆 C 的标准方程为（ ） A（ x 1） 2+B（ x+1） 2+C（ x+1） 2+D（ x+1） 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线方程算出左焦点坐标 C（ 1， 0），因此设圆 C 方程为（ x+1） 2+y2=据点到直线的距离公式算出点 C 到直线 4x 3y 6=0 的距离，从而可得半 径 r=2，得到圆C 的标准方程 【解答】 解：设圆 C 的方程为（ x a） 2+（ y b） 2= 双曲线 4=1 即 =1 的左焦点（ 1， 0）， 可得圆 C 的方程为（ x+1） 2+y2= 由直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切， 即有点 C 到直线的距离为 =2=r， 可得圆 C 的标准方程为（ x+1） 2+ 故选： D 6函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A 2， 0B 2， C 2， D 2， 【考点】 y=x+）中参数的物 理意义 【分析】 由题意结合函数的图象，求出周期 T，根据周期公式求出 ，求出 A，根据函数的图象经过（ ），求出 ，即可 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：由函数的图象可知： = = ， T=，所以 =2， A=1， 函数的图象经过（ ），所以 1=2 +），因为 | ，所以 = 故选 D 7如图，网格纸上正方形小格的边长为 1中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3为 6圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（ ） A 201612 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可 【解答】 解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4， 组合体体积是： 322+224=34； 底面半径为 3为 6圆柱体毛坯的体积为： 326=54； 所以切削掉部分的体积为 54 34=20 故选： A 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更 相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 4， 10，则输出的 a 为（ ） A 0B 2C 4D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b 的值，即可得到结论 【解答】 解：由 a=4， b=10， a b， 则 b 变为 10 4=6， 由 a b，则 b 变为 6 4=2， 由 a b，则 a 变为 4 2=2， 第 8 页（共 18 页） 由 a=b=2， 则输出的 a=2 故选： B 9当 0 x 时， 4x a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D（ ， 2） 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【分析】 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可 【解答】 解： 0 x 时， 1 4x2 要使 4x 对数函数的性质可得 0 a 1， 数形结合可知只需 2 即 对 0 x 时恒成立 解得 a 1 故选 B 10设 S 是实数集 R 的非空子集，如果 a， bS，有 a+bS， a bS，则称 S 是一个 “和谐集 ”下面命题为假命题的是（ ） A存在有限集 S， S 是一个 “和谐集 ” B对任意无理数 a，集合 x|x=kZ都是 “和谐集 ” 第 9 页（共 18 页） C若 2，且 和谐集 ”，则 2 D对任意两个 “和谐集 ” ， ，则 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据已知中关于和谐集的定义： S 是实数集 R 的非空子集，如果 a， bS，有 a+bS，a bS，则称 S 是一个 “和谐集 ”我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案 【解答】 解： A 是真命题 S=0是和谐集； B 是真命题： 设 x1=x2= x1+ k1+aS aS S=x|x=a 是无理数， kZ）是和谐集 C 是真命题：任意和谐集中一定含有 0， 2； D 假命题 取 x|x=2k， kZ， x|x=3k， kZ 是和谐集，但 5 不属于 不属于 故选 D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11已知双曲线 的一条渐近线经过点（ 1， 2），则该双曲线的离心率的值为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得渐近线 y= x 经过点（ 1， 2），可得 b=2a，代入可得离心率 e= = ，化简即可 【解答】 解：双曲线 的渐近线方程为 y= x， 故 y= x 经过点（ 1， 2），可得 b=2a， 故双曲线的离心率 e= = = = 故答案为： 12在等腰直角三角形 ， D 是斜边 中点，如果 长为 2，则的值为 4 第 10 页（共 18 页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 ，化简 ，然后计算结果即 可 【解答】 解：由题意 ， ，所以=2 =2 =4 故答案为： 4 13设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x 3y 的最小值是 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约 束条件作出可行域，由 z=2x 3y 得 ，要使 z 最小，则 在y 轴上的截距最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 ，得可行域如图， 使目标函数 z=2x 3y 取得最小值的最优解为 A（ 3， 4）， 目标函数 z=2x 3y 的最小值为 z=23 34= 6 故答案为： 6 14如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是 1 2 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值 第 11 页（共 18 页） 【解答】 解：观察这个图可知：大正方形的边长 为 2，总面积为 4， 而阴影区域的边长为 1，面积为 4 2 ； 故飞镖落在阴影区域的概率 故答案为： 1 15定义在 R 上的函数 f（ x），如果存在函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数），使得 f（ x） g（ x）对一切实数 x 都成立，则称 g（ x）为函数 f（ x）的一个承托函数 现有如下函数 ： f（ x） = f（ x） =2 x； ； f（ x） =x+ 则存在承托函数的 f（ x）的序号为 （填入满足题意的所有序号） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数）是函数 f（ x）的一个承托函数，即说明函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方（至多有一个交点），若函数的值域为 R，则显然不存在承托函数 【解答】 解：函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数）是函数 f（ x）的一个承托函数，即说明函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方（至多有一个交点） f（ x） =，所以不存在函数 g（ x） =kx+b，使得函数 f（ x）的图象恒在函数g（ x）的上方，故不存在承托函数； f（ x） =2 x 0，所以 y=A（ A0）都是函数 f（ x）的承托函数，故 存在承托函数； 的值域为 R，所以不存在函数 g（ x） =kx+b，使得函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方，故 不存在承托函数； f（ x） =x+x 1，所以存在函数 g（ x） =x 1，使得函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方，故存在承托函数； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为 12 分已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为 x （ ）求 x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定； （ ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之 和低于 20 分的概率 第 12 页（共 18 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）根据两组数据的平均数相等，可得 x 的值，进而求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定； （ ）分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于 20 分的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案 【解答】 解：（ ） = （ 9+9+11+11） =10， = （ 8+9+10+x+12） =10， 解得： x=1 又 S 甲 2= （ 9 10） 2+（ 9 10） 2+（ 11 10） 2+（ 11 10） 2=1； S 乙 2= （ 8 10） 2+（ 9 10） 2+（ 11 10） 2+（ 12 10） 2= ， S 甲 2 S 乙 2， 甲组成绩比乙组稳定 （ ）记甲组 4 名同学为： 组 4 名同学为： 分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共 16 个基本事件， 其中得分之和低于的共 6 个基本事件， 得分之和低于的概率是： P= = 17在 ，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知 （ ）若 b= ，当 长取最大值时，求 面积； （ ）设 的取值范围 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ ）利用正弦定理化简已知可得： a2+b2=用余弦定理可得 ，又B（ 0， ），可求 B 的值，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 周长l=a+b+c=2（ =2 A+ ） ，由 0 ，可得 A+ ，当 A+ = 时，即 A= 时， 长 l 取最大值 3 ，可得 等边三角形，利用三角形面积公式即可得解 （ ）利用平面向量的数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得 = 2（ ）2+ ，由范围 0 ，可求 0 ，利用二次函数的图象和性质即可解得 第 13 页（共 18 页） 的取值范围 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 1 = = = ，化简可得： a2+b2=1， = ， 又 B（ 0， ）， B= 3 分 由正弦定理可得： ， 周长 l=a+b+c=2（ =2+2 A） =3=2 A+ ） ， 5 分 0 ， A+ ，当 A+ = 时，即 A= 时， 长 l 取最大值 3 ，由此可以得到 等边三角形， S 7 分 （ ） =6 2 2（ ） 2+ ， 9 分 0 ， 0 ， 当 时， 取得最大值 ， 11 分 的取值范围为（ 1， 12 分 18如图，在四棱锥 S ， 面 平面 是线段 一点， B， C， （ 1）证明： 平面 （ 2）设三棱锥 C 四棱锥 S 体积分别为 ，求 的值 第 14 页（共 18 页） 【考点】 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）证明 平面 题意及 图形，先证 证 后由线面垂直的判定定理直接得出结论即可 （ 2）由图形知，三棱锥 C 三棱锥 S 体积相等，而三棱锥 S 四棱锥 S 高，故体积比可以转化成面积比，代入数据计算既得 【解答】 解：（ 1）证明： 平面 平面 面 面 D， 面 平面 面 四边形 直角梯形， B， C， 是等腰直角三角 形， 5， 0， 面 面 M=M， 平面 2）三棱锥 C 三棱锥 S 体积相等， 由（ 1）知 平面 得 ， 设 AB=a，由 B， C， 得 ， 从而 19已知数列 足 =2，且 （ ）设数列 前 n 项和为 数列 足，求 （ ）设 ，是否存在常数 c，使 为等差数列，请说明理由 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 第 15 页（共 18 页） 【分析】 数列 足 =2，且 ，可知：数列 是等差数列，公差为 2，首项为 2，可得 （ I）当 n=2k 1（ kN*）时， bn=1= = ；当 n=2k 时，bn= = 利用 “分组求和 ”方法可得： b1+（ b2+ （ =2n，可得 Tn=n2+n假设存在常数 c，使 为等差数列，利用 =+ 解出 c，并验证即可得出 【解答】 解： 数列 足 =2，且 ， 数列 是等差数列，公差为 2，首项为 2， =2+2（ n 1） =2n， （ I）当 n=2k 1（ kN*）时， bn=1= = ； 当 n=2k 时， bn= = b1+（ b2+ = + + + = + =4+ = （ =2n， =2（ 1+2+n） = =n2+n 假设存在常数 c，使 为等差数列， 则 = ， = ， = ， 则 = + ， 化为： c=0 = =n+1 是关于 n 的一次函数，是等差数列 第 16 页（共 18 页） 20已知圆 M：（ x+1） 2+，圆 N：（ x 1） 2+5，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （ ）求曲线 C 的方程； （ ）过曲线 C 上的一点 作两条直线分别交曲 线于 A， B 两点，已知 直线 斜率 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）设圆 P 的半径为 r，由题意得 |（ 1+r） +（ 5 r） =6，从而曲线 C 是以（ 1， 0），（ 1， 0）为焦点，长轴长为 6 的椭圆，由此能求出曲线 C 的方程 （ ）设直线 斜率分别为 k， k，则 A（ 1+， ）， B（ 1+， ），由此能求出直线 斜率 【解答】 解：（ ） 圆 M：（ x+1） 2+，圆 N：（ x 1） 2+5， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C， 设圆 P 的半径为 r， 由题意得 |（ 1+r） +（ 5 r） =6， 曲线 C 是以（ 1， 0），（ 1， 0）为焦点，长轴长为 6 的椭圆， 曲线 C 的方程为 （ ）设直线 斜率分别为 k， k， 则直线 一个方向向量为（ 1， k），（ 1， k）， 则 =（ 1， k）， =（ 1， k）， A（ 1+， ）， B（ 1+， ）， 代入 =1，并整理