2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分 1已知集合 A=x| 2 x 2，集合 B 为自然数集，则 AB= 2若复数 z=1+（ a+1） i（ aR）为纯虚数，则 a= 3在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10 个小长方形的面积之和的 ，且样本容量为 160，则中间一组的频数为 4从 2 个红球， 2 个黄球， 1 个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 5根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 6三棱锥 S ，面 是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形，且C=，则三棱锥 S 表面积是 7已知 F 为双曲线 C： 2m（ m 0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 8 与 的大小关系是 （用 “ ”或 “ ”连接） 9为了得到 y= ）的图象，只需将 y=图象向左平移 （ 0）个单位，则 的最小值为 10若函数 f（ x） = ，在其定义域上恰有两个零点，则正实数 a 的值为 11已知 为等比数列，其前 n 项和分别为 对任意的 nN*，总有= ，则 = 12如图，在圆 O： x2+ 上取一点 A（ ， 1）， E、 F 为 y 轴上的两点，且 F，延长 别与圆交于点 直线 斜率为 第 2 页（共 25 页） 13如图， C=1， 0， 5，则 = 14已知正实数 a、 b、 c 满足 + =1， + + =1，则实数 c 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知向量 ， ， （ 1）若 ，求向量 、 的夹角 ； （ 2）若 ，函数 的最大值为 ，求实数 的值 16如图，平面 平面 C， C； 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 17现有一个以 半径的扇形池塘，在 分别取点 C、 D，作 弧 点 E、 F，且 C，现用渔网沿着 池塘分成 如图所示的三种的养殖区域若 ， （ 1）求区域 的总面积； （ 2）若养殖区域 、 、 的每平方千米的年收入分别是 15 万元、 20 万元、 10 万元，记年总收入为 y 万元 试问当 为多少时，年总收入最大？ 第 3 页（共 25 页） 18如图，在平面直角坐标系 ， A、 B 分别是椭圆： + 的左、右顶点， P（ 2，t）（ tR，且 t0）为直线 x=2 上一动点，过点 P 任意引一直线 l 与椭圆交于 C、 D，连结 线 别和 线交于 E、 F （ 1）当直线 l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求 t 的值； （ 2）若 t= 1，记直线 斜率 分别为 证： + 定值； （ 3）求证：四边形 平行四边形 19已知数列 足：对于任意的正整数 n，当 n2 时， 12=2n+1 （ 1）若 1） n，求 的值； （ 2）若数列 各项均为正数，且 ， 1设 ， ，试比较 说明理由 20已知函数 f（ x） = g（ x） = （ 1）若曲线 y=f（ x） g（ x）在 x=1 处的切线的方程为 6x 2y 5=0，求实数 a 的值； （ 2）设 h（ x） =f（ x） +g（ x），若对任意两个不等的正数 有 2 恒成立，求实 数 a 的取值范围； （ 3）若在 1， e上存在一点 得 f（ + g（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 （任选两个） 第 4 页（共 25 页） 21在圆 O 中， 互相平行的两条弦，直线 圆 O 相切于点 A，且与 延长线交于点 E，求证： B 选修 4阵与变换 22在平面直角坐标系 ，直线 x+y 2=0 在矩阵 A= 对应的变换作用下得到的直线仍为 x+y 2=0，求矩阵 A 的逆矩阵 A 1 选修 4标系与参数方程选讲 23已知直线 l： （ t 为参数）经过椭圆 C： （ 为参数）的右焦点 F （ ）求 m 的值； （ ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 |最大值与最小值 选修 4等式选讲 24已知 a， b， c 均为正数，且 a+2b+3c=9求证： + + 解答题 25如图，在平面直角坐标系 ，抛物线 p 0）的准线 l 与 x 轴交于点 M，过 M 的直线与抛物线交于 A， B 两点设 A（ 准线 l 的距离为 d，且 d=p（ 0） （ 1）若 y1=d=1，求抛物线的标准方程； （ 2）若 + = ，求证：直线 斜率为定值 26在自然数列 1， 2， 3， ， n 中，任取 k 个元素位置保持不动，将其余 n k 个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 k） （ 1）求 1） （ 2）求 k）； 第 5 页（共 25 页） （ 3） 证明 k） =n 1（ k），并求出 k）的值 第 6 页（共 25 页） 2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分 1已知集合 A=x| 2 x 2，集合 B 为自然数集，则 AB= 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x| 2 x 2，集合 B 为自然数集， AB=0， 1， 故答案为： 0， 1 2若复数 z=1+（ a+1） i（ aR）为纯虚数，则 a= 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 根据纯虚数的定义，得到实部为 0，虚部不为 0 列出不等式和方程，解不等式组求出 a 的值 【解答】 解： 复数 z=1+（ a+1） i（ aR）为纯虚数 解得 a=1 故答案为： 1 3在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10 个小长方形的面积之和的 ，且样本容量为 160，则中间一组的频数为 32 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图分析可得 “中间一个小长方形 ”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数 【解答】 解：设中间一个小长方形的面积为 x，其他 10 个小长方形的面积之和为 y， 则有： ， 解得： x= 中间一组的频数 =1602 故填： 32 第 7 页（共 25 页） 4从 2 个红球， 2 个黄球， 1 个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 5 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 根据互斥时间的概率公式计算即可 【解答】 解：从 5 个球中任意取两个共有 0 种， 两球颜色相同的有 2 种， 两球颜色不同的概率是 1 = ， 故答案为： 5根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 205 【考点】 顺序结构 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件 i=2n+1， nN， i=i+2100 时， S=2i+3 的值 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是输出满足条件 i=2n+1， nN， i=i+2100 时， S=2i+3 的值， i+2=101 时，满足条件， 输出的 S 值为 S=2101+3=205 故答案为： 205 6三棱锥 S ，面 是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形，且C=，则三棱锥 S 表面积是 3+ 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 先求面 是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形 面积，求解即可 【解答】 解：设侧棱长为 a，则 a=2， a= ， 第 8 页（共 25 页） 侧面积为 3 ，底面积为 22= ， 表面积为 3+ 故答案为： 3+ 7已知 F 为双曲线 C： 2m（ m 0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的标准方程，根据焦点在 x 轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1， 双曲线的焦点在 x 轴，则 m， ， 则 b=2， 设焦点在 x 轴的双曲线的方程为 =1， 设焦点 F（ c， 0），双曲线的一条渐 近线方程为 y= x，即 则点 F 到 C 的一条渐近线的距离 d= =2 故答案为： 2 8 与 的大小关系是 （用 “ ”或 “ ”连接） 【考点】 不等式比较大小 【分析】 由于 = = ，即可得出 【解答】 解： = = = ， ， 故答案为： 9为了得到 y= ）的图象，只需将 y=图象向左平移 （ 0）个单位，则 的最小值为 3 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 将 y=为 y=（ x ） ，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可 第 9 页（共 25 页） 【解答】 解： y= ） =（ x ） ， 将 y=图象向左平移 （ 0）个单位，所得函数图象对于的解析式为： y=（ x +） ， 又 y= ） =（ x ） ， 由题意可得： （ x +） = （ x ） +2kZ， 解得： =4， kZ， 0 当 k=0 时， 的最小值为 故答案为： 10若函数 f（ x） = ，在其定义 域上恰有两个零点，则正实数 a 的值为 e 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 当 x0 时， f（ x） =x+2x，单调递增，由 f（ 1） f（ 0） 0，可得 f（ x）在（ 1，0）有且只有一个零点； x 0 时， f（ x） =且只有一个零点，即有 a= 有且只有一个实根令 g（ x） = ，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到 a 的值 【解答】 解：当 x0 时， f（ x） =x+2x，单调递增， f（ 1） = 1+2 1 0， f（ 0） =1 0， 由零点存在定理，可得 f（ x）在（ 1， 0）有且只有一个零点； 则由题意可得 x 0 时， f（ x） =且只有一个零点， 即有 a= 有且只有一个实根 令 g（ x） = ， g（ x） = ， 当 x e 时， g（ x） 0， g（ x）递减； 当 0 x e 时， g（ x） 0， g（ x）递增 即有 x=e 处取得极大值，也为最大值，且为 ， 如图 g（ x）的图象，当直线 y=a（ a 0）与 g（ x）的图象 只有一个交点时，则 a= 第 10 页（共 25 页） 故答案为： 11已知 为等比数列，其前 n 项和分别为 对任意的 nN*，总有= ，则 = 9 【考点】 数列的求和 【分析】 设 公比分别为 q， q，利用 = ，求出 q=9， q=3，可得 =3，即可求得结论 【解答】 解：设 公比分别为 q， q， = ， n=1 时， a1= n=2 时， n=3 时， 2q 5q=3， 7q2+7q q+6=0， 解得： q=9， q=3， 故答案为： 9 12如图，在圆 O： x2+ 上取一点 A（ ， 1）， E、 F 为 y 轴上的两点，且 F，延长 别与圆交于点 直线 斜率为 第 11 页（共 25 页） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 不适一般性，取特殊点，即可得出结论 【解答】 解：由题意，取 M（ 0， 2）， 斜率为 ， F， 斜率为 ，过原点， N（ ， 1）， 直线 斜率为 = 故答案为： 13如图， C=1， 0， 5，则 = 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 取 点 D，连结 BD=x利用三角形中位线定理与含有 45角的直角三角形的性质，算出 35， D= x在 利用余弦定理，结合题中数据建立关于 x 的方程，解出 x，从而得出 后利用数量积的公式加以计算，可得则 的值 【解答】 解：取 点 D，连结 BD=x， 中位线， A 0， ， 0， 5， BD=x， x， D= x， ， 0+450=130， ， 由余弦定理，得 2， 即 2x 1，解之得 x= ，即 ， ， = ， =| | | （ ） = ， 故答案为： 第 12 页（共 25 页） 14已知正实数 a、 b、 c 满足 + =1， + + =1，则实数 c 的取值范围是 （ 1，3 【考点】 基本不等式 【分析】 由于 + =1， + + =1，可得 ，化为 由于正实数 a、b 满足 + =1，利用基本不等式的性质可得 ，据此可得 c 的取值范围 【解答】 解： + + =1， ，化为 正实数 a、 b 满足 + =1， ，化为 则 c= =1+ ， 13， 则 1 c 故答案为：（ 1， 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知向量 ， ， （ 1）若 ，求向量 、 的夹角 ； （ 2）若 ，函数 的最大值为 ，求实数 的值 【考点】 数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）当 时，求出向量 、 ，利用数量积的坐标运算求出向量 ，从而求出向量 、 的夹角 ；（ 2）向量 ， ，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果 【解答】 解：（ 1）当 时， ， 所以 ， 第 13 页（共 25 页） 因而 ； （ 2） ， 因为 ， 所以 ， 当 0 时， ，即 ， 当 0 时， ，即 ， 所以 16如图，平面 平面 C， C； 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 F，连结 证 平面 平面 交线为证 平面 而 可证明 平面 （ 2）连结 证 平面 而有 平面 【解答】 解：（ 1）取 点 F，连结 因为 C，所以， 又因为平面 平面 交线为 所以， 平面 因为 平面 以， 而 平面 ， 平面 ，所以， 平面 （ 2）连结 C， F 为 点， 平面 平面 面 可证 平面 平面 第 14 页（共 25 页） 17现有一个以 半径的扇形池塘，在 分别取点 C、 D，作 弧 点 E、 F，且 C，现用渔网沿着 池塘分成 如图所示的三种的养殖区域若 ， （ 1）求区域 的总面积； （ 2）若养殖区域 、 、 的每平方千米的年收入分别是 15 万元、 20 万元、 10 万元，记年总收入为 y 万元 试问当 为多少时，年总收入最大？ 【考点】 在实际问题中建立三角函数模型 【分析】 （ 1）根据三角形的面积公式即可求区域 的总面积； （ 2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可 【解答】 解：（ 1）因为 C， A，所以 C 因为 ， 所以 又因为 F，所以 所以 所以 所以 ， 所以 ， （ 2）因为 ， 所以 第 15 页（共 25 页） 所以= ， 所以 ， 令 y=0，则 当 时， y 0，当 时， y 0 故当 时， y 有最大值 答：当 为 时，年总收入最大 18如图，在平面直角坐标系 ， A、 B 分别是椭圆： + 的左、右顶点， P（ 2，t）（ tR，且 t0）为直线 x=2 上一动点，过点 P 任意引一直线 l 与椭圆交于 C、 D，连结 线 别和 线交于 E、 F （ 1）当直线 l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求 t 的值； （ 2）若 t= 1，记 直线 斜率分别为 证： + 定值； （ 3）求证：四边形 平行四边形 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）由题意得 l： y= x+1，由此能求出 t 的值 （ 2）直线 y=x+2），与 联立得 C： ，同理得 D：，由此能证明 = 4（定值） 第 16 页（共 25 页） （ 3）要证四边形 平行四边形，即只需证 E、 F 的中点即点 O 【解答】 （ 1）解：由题意：椭圆： + 上顶点 C（ 0， 1）， 右焦点 E（ ， 0）， 所以 l： y= x+1， 令 x=2，得 t=1 （ 2）证明：直线 y=x+2），与 联立 得 C： ，同理得 D： ， 由 C， D， P 三点共线得： = 4（定值） （ 3）证明： 要证四边形 平行四边形，即只需证 E、 F 的中点即点 O， 设点 P（ 2， t），则 y= x， 分别与直线 y=x+2）与 y=x+2）联立得： ， ，下证： xE+，即 + =0 化简得： t（ k1+ 4 由（ 2）知 C： ， D： ， 由 C， D， P 三点共线得： 得 t（ k1+ 4， 所以四边形 平行四边形 19已知数列 足：对于任意的正整数 n，当 n2 时， 12=2n+1 （ 1）若 1） n，求 的值； （ 2）若数列 各项均为 正数，且 ， 1设 ， ，试比较 说明理由 第 17 页（共 25 页） 【考点】 数列递推式；数列与函数的综合 【分析】 （ 1）根据数列的递推关系时，即可得到 ， ，3， 7，累加即可， （ 2）根据数列的递推关系求出 an=n+1， nN，再分别表示出 n，分别计算它们的平方， n=1， 2， 3， 4， 5， 6，当 n6 时，构造数列 ，利用换元法和作差法得到数列 递增数列，问题得以解决 【解答】 解：（ 1）由题意可得 ， ， 3， 7， 将上面的式子相加得到 =5+9+13+37=189， （ 2） 12=2n+1， ， 1 12=2n+1， n2， ， ， ， 12=2n+1， 将上面的式子相加得到 ， n+1） 2， n2， 数列 各项均为正数， an=n+1， 当 n=1 时，也成立， an=n+1， nN*， =2n 1， = ， 下面比较 n 的大 小， 取 n=1， 2， 3， 4， 5， 6， 当 n6 时，令 ， 则 = 设 2n=t64， 则（ n+2）（ 2n 1） 2（ 2n+1 1） 2=8（ t 1） 2（ 2t 1） 2=412t+7 0 当 n6 时，数列 递增数列， cn 1， n6 时， 综上所述：当 n=2， 3， 4， 5 时， n=1， n6 时， 第 18 页（共 25 页） 20已知函数 f（ x） = g（ x） = （ 1）若曲线 y=f（ x） g（ x）在 x=1 处的切线的方程为 6x 2y 5=0，求实数 a 的值； （ 2）设 h（ x） =f（ x） +g（ x），若对任意两个不等的正数 有 2 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）若在 1， e上存在一点 得 f（ + g（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出函数 y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得 a 的方程，解得 a 即可； （ 2）由题意可得即为 0，令 m（ x） =h（ x） 2x，可得 m（ x）在（ 0， +）递增，求出导数 ，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围； （ 3）原不等式等价于 ，整理得 0，设 m（ x） =x，求得它的导数 m（ x），然后分 a0、 0 ae 1 和 a e 1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最 后综上所述可得实数 a 的取值范围是（ ， 2） （ ， +） 【解答】 解：（ 1） y=f（ x） g（ x） = 导数为 x ， 曲线 y=f（ x） g（ x）在 x=1 处的切线斜率为 k=1 a， 由切线的方程为 6x 2y 5=0，可得 1 a=3， 解得 a= 2； （ 2） h（ x） =f（ x） +g（ x） = x2+ 对任意两个不等的正数 有 2 恒成立，即为 0， 令 m（ x） =h（ x） 2x，可得 m（ x）在（ 0， +）递增， 由 m（ x） =h（ x） 2=x+ 20 恒成立， 可得 ax（ 2 x）的最大值，由 x（ 2 x） =（ x 1） 2+1 可得最大值 1， 则 a1，即 a 的取值范围是 1， +）； 第 19 页（共 25 页） （ 3）不等式 f（ + g（ g（ 价于 ， 整理得 0，设 m（ x） =x ， 则由题意可知只需在 1， e上存在一点 得 m（ 0 对 m（ x）求导数，得 m（ x） =1 = = ， 因为 x 0，所以 x+1 0，令 x 1 a=0，得 x=1+a 若 1+a1，即 a0 时，令 m（ 1） =2+a 0，解得 a 2 若 1 1+ae，即 0 ae 1 时， m（ x）在 1+a 处取得最小值， 令 m（ 1+a） =1+a 1+a） +1 0，即 1+a+1 1+a） ， 可得 a+1） 考察式子 为 1 te，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立 当 1+a e，即 a e 1 时， m（ x）在 1， e上单调递减，只需 m（ e） 0，得 a ， 又因为 e 1 = 0，则 a 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ， 2） （ ， +） 选修 4何证明选讲 （任选两个） 21在圆 O 中， 互相平行的两条弦，直线 圆 O 相切于点 A，且与 延长线交于点 E，求证： B 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 连接 明 可证明 B 【解答】 证明：连接 因为直线 圆 O 相切，所以 又因为 以 所以 从而 = ，所以 B 第 20 页（共 25 页） 选修 4阵与变换 22在平面直角坐标系 ，直线 x+y 2=0 在矩阵 A= 对应的变换作用下得到的直线仍为 x+y 2=0，求矩阵 A 的逆矩阵 A 1 【考点】 逆变换与逆矩阵 【分析】 在直线 x+y 2=0 上取两点 M（ 2， 0）， M（ 0， 2） 在矩阵 M， N 对应的变换作用下分别对应于点 M， N推导出 M、 N的坐标，由题意， M、 N在直线 x+y 2=0 上，列出方程组求出 A= ，由此能求出矩阵 A 的逆矩阵 A 1 【解答】 解：在直线 x+y 2=0 上取两点 M（ 2， 0）， M（ 0， 2） M， N 在矩阵 M， N 对应的变换作用下分别 对应于点 M， N = ， M的坐标为（ 2， 2b）； = ， N的坐标为（ 2a， 4） 由题意， M、 N在直线 x+y 2=0 上， 解得 a= 1， b=0 A= ， A 1= 选修 4标系与参数方程选讲 23已知直线 l： （ t 为参数）经过椭圆 C： （ 为参数）的右焦点 F （ ）求 m 的值； 第 21 页（共 25 页） （ ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 |最大值与最小值 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 （ ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得 F 的坐标，直线 l 经过点（ m， 0），可求 m 的值； （ ）将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程，利用参数的几何意义，即可求 |最大值与最小值 【解答】 解：（ ）椭圆的参数方程化为普通方程，得 ， a=5， b=3， c=4，则点 F 的坐标为（ 4， 0） 直线 l 经过点（ m， 0）， m=4 （ ）将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程，并整理得：（ 95281=0 设点 A， B 在直线参数方程中对应的参数分别为 | 当 时， |最大值 9； 当 1 时， |最小值 选修 4等式选讲 24已知 a， b， c 均为正数，且 a+2b+3c=9求证： + + 【考点】 不等式的证明 【分析】 由 a， b， c 均为正数，运用柯西不等式可得（ a+2b+3c）（ + + ） （+ + ） 2， 化简整理，结合条件即可得证 【解答】 证明：由 a， b， c 均为正数，运用柯西不等式可得： （ a+2b+3c）（ + + ） （ + + ） 2 =（ + + ） 2=1， 由 a+2b+3c=9，可得 + + ， 当且