2016年福建省漳州市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年福建省漳州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x（ 1 x） 0， B=0， 1， 2，则 AB=（ ） A B 0， 1C 1， 2D 0， 1， 2 2复数 z（ 1+i） =|1+ |，则 z=（ ） A 2 21 2+21+i 3命题 p：若 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），则 ；命题 q：若 =（ 1， 3）， =（ 4， 2）， + 与 垂直，则 =1，则下列命题中真命题是（ ） A p p p） （ q） D（ p） q 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A y=x+y=y=2x+ D y=x2+若 ， 是第三象限的角，则 + ） =（ ） A B C D 6设函数 则不等式 f（ x） f（ 1）的解集是（ ） A（ 3， 1） （ 3， +） B（ 3， 1） （ 2， +） C（ 1， 1） （ 3， +） D（， 3） （ 1， 3） 7已知曲线 f（ x） =+ w 0）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点（ 0）成中心对称，若 0， ，则 ） A B C D 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3B 4C 5D 6 第 2 页（共 19 页） 9已知抛物线 p 0）上一点 M（ 1， m）（ m 0）到其焦点的距离为 5，双曲线 G：=1（ a 0）的左顶点为 A，若双曲线 G 的一条渐近线与直线 行，则实数 ） A B C D 10函数 y=a|x|与 y=x+a 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1） C（ ， 1 1， +） D（ ， 1） （ 1， +） 11已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1， ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 12如图，已知矩形 ， ， ， O 为线段 中点，动点 P 从 B 出发，沿矩形 边逆时针运动，运动至 A 点时终止设 x， OP=d，将 d 表示为 x 的函数 d=f（ x）则下列命题中： f（ x）有最小值 1； f（ x）有最大值 ； f（ x）有 3 个极值点； f（ x）有 4 个单调区间 其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13执行如图所示的程序框图，输出的 k 的值为 第 3 页（共 19 页） 14已知点 P（ x， y）的坐标满足条件 ，则（ x 2） 2+（ y 1） 2 的最小值为 15已知 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B= ， b=4，则 面积的最大值为 16设 别是椭圆 + =1 的左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为（ 6，4），则 |最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知正项等比数列 ， 2a1+a2=3 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 通项公式 18某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理 （ ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝， nN）的函数解析式 （ ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表 ： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （ i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； （ 花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率 19在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 E 是棱 中点， C 上，且 P= ， ， ， （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 20在平面直角坐标系 ，已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C： x2+4x 1=0 交于 A，B 两点 第 4 页（共 19 页） （ ）若直线 m： 2y+a+2=0（ a 0）与圆 C 相切，切点为 B，求直线 l 的方程； （ ）若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =t ）若 x=1 是 f（ x）的极值点，求 t 的值，并讨论 f（ x）的单调性； （ ）当 t2 时，证明： f（ x） 0 请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C、 F 是 O 上的两点， 点 F 作 O 的切线 B 的延长线于点 D连接 点 E （ 1）求证： B （ 2）若 ， ，试求 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 极坐标方程为 =8 ，曲线 参数） （ ）将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线 （ ）若 P 为 的动点，求点 P 到直线 l： 为参数）的距离的最小值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x 2| |x a| （ ）当 a= 5 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）若 f（ x） | |的解集包含 1， 2，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年福建省漳州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x（ 1 x） 0， B=0， 1， 2，则 AB=（ ） A B 0， 1C 1， 2D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 A 中不等式的解集，确定出集合 A，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集 【解答】 解： A=x|x（ 1 x） 0=x|0 x 1， B=0， 1， 2， AB=， 故选 A 2复数 z（ 1+i） =|1+ |，则 z=（ ） A 2 21 2+21+i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 根据复数的概念与代数运算法则，进行计算即可 【解答】 解： z（ 1+i） =2， z= = =1 i 故选： B 3命题 p：若 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），则 ；命题 q：若 =（ 1， 3）， =（ 4， 2）， + 与 垂直，则 =1，则下列命题中真命题是（ ） A p p p） （ q） D（ p） q 【考点】 平面向量的坐标运算；复合命题的真假 【分析】 根据平面向量的坐标表示与运算问题，结合复合命题的真值表，即可得出正确的答案 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 2， 4）， 14（ 2） （ 2） =0， ， 命题 p 是真命题； 又 =（ 1， 3）， =（ 4， 2），且 + 与 垂直， （ + ） =0 （ +4） +（ 3） （ 3 2） =0 解得 = 1， 命题 q 是真命题 p q 为真命题 故选： A 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） 第 6 页（共 19 页） A y=x+y=y=2x+ D y=x2+考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择 【解答】 解：四个选项中，函数的定义域都是 R， 对于 A， x+ 2x） =（ x+是奇函数； 对于 B，（ x） 2 x） =偶函数； 对于 C， ，是偶函数； 对于 D，（ x） 2+ x） =x2+（ x2+所以是非奇非偶的函数； 故选： D 5若 ， 是第三象限的角，则 + ） =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由已知求出 后展开两角和的余弦得答案 【解答】 解： ，且 是第三象限的角， ， + ） = （ ） （ ） = ， 故选： C 6设函数 则不等式 f（ x） f（ 1）的解集是（ ） A（ 3， 1） （ 3， +） B（ 3， 1） （ 2， +） C（ 1， 1） （ 3， +） D（， 3） （ 1， 3） 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 先求 f（ 1），依据 x 的范围分类讨论，求出不等式的解集 【解答】 解： f（ 1） =3，当不等式 f（ x） f（ 1）即： f（ x） 3 如果 x 0 则 x+6 3 可得 x 3，可得 3 x 0 如果 x0 有 4x+6 3 可得 x 3 或 0x 1 综上不等式的解集：（ 3， 1） （ 3， +） 故选 A 7已知曲线 f（ x） =+ w 0）的两条相邻的对称轴之间的 距离为 ，且曲线关于点（ 0）成中心对称，若 0， ，则 ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；由 y=x+）的部分图象确定其 解析式 【分析】 利用两角和的正弦公式化简 f（ x），然后由 f（ =0 求得 0， 内的 值 【解答】 解： 曲线 f（ x） =+ =2）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ， =， w=2 f（ x） =22x+ ） f（ x）的图象关于点（ 0）成中心对称， f（ =0，即 22） =0， 2= ， kZ， 0， ， 故选： C 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3B 4C 5D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：下面是一个圆柱、上面是半球的一半，由三视图求出几何元素的长度，由球体的表面积公式、圆柱的对应面积公式求出求出几何体的表面积 【解答】 解：由三视图知几何体是一个组合体： 第 8 页（共 19 页） 下面是一个圆柱、上面是半球的一半， 圆柱的底面圆半径是 1、母线长是 1；球的 半径是 1， 几何体的表面积 ， 故选： C 9已知抛物线 p 0）上一点 M（ 1， m）（ m 0）到其焦点的距离为 5，双曲线 G：=1（ a 0）的左顶点为 A，若双曲线 G 的一条渐近线与直线 行，则实数 ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意可求抛物线线 准线，从而可求 p，进而可求 M，由双曲线方程可求 A，根据双曲线的一条渐近线与直线 行，则由斜率相等可求 a 【解答】 解： M（ 1， m）到抛物线 p 0）的准线 x= 的距离等于 M 到其焦点的距离 5， = 4， p=8， 抛物线方程为 6x， A（ a， 0），不妨设 m 0，则 M（ 1， 4）， 直线 ， ，解得 ， 故选： A 10函数 y=a|x|与 y=x+a 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1） C（ ， 1 1， +） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 y=a|x|的图在 x 轴上过原点是折线，关于 y 轴对称； a 0 时， y=x+a 斜率为 1，与y=a|x|交于第一、二象限， a 0 时， y=x+a 斜率为 1，与 y=a|x|交于第三、四象限，即可得答案 【解答】 解：根据题意， y=a|x|的图在 x 轴上过原点是折线，关于 y 轴对称； 分两种情况讨论， a 0 时，过第一、二象限， y=x+a 斜率为 1， a 0 时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有 a 1； a 0 时， y=a|x|过第三、四象限；而 y=x+a 过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有 a 1； a=0，显然不成 立 综上所述， a 的取值范围为 a|a 1 或 a 1， 故选 D 第 9 页（共 19 页） 11已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1， ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 【考点】 球的体 积和表面积 【分析】 根据直线平面的垂直问题得出 中点 O，判断 球O 的直径，又可求得 ，球 O 的半径 R=1，求解即可 【解答】 解； 平面 面 中点 O， A=C， 球 O 的直径，又可求得 ， 球 O 的半径 R=1，体积 ， 故选： B 12如图，已知矩形 ， ， ， O 为线段 中点，动点 P 从 B 出发，沿矩形 边逆时针运动，运动至 A 点时终止设 x， OP=d，将 d 表示为 x 的函数 d=f（ x）则下列命题中： f（ x）有最小值 1； f（ x）有最大值 ； f（ x）有 3 个极值点； f（ x）有 4 个单调区间 其中正确的是（ ） 第 10 页（共 19 页） A B C D 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 可取边 中点为 E，这样根据函数单调性的定义及图形中 x， d 的变化关系便可判断出函数 d=f（ x）有 4 个单调区间，并可求出该函数的极值点个数，以及 f（ x）的最大、最小值，从而判断出每个命题的正误，从而找出正确选项 【解答】 解：根据图形， P 在 时，随着 x 的增大， d 不断增大， 此时 d=f（ x）递增； 若取线段 中点 E，同理得， P 从 C 到 E 时， d=f（ x）递减， P 从而 E 到 D 时， d=f（ x）递增， P 从 D 到 A 时， d=f（ x）递减； 函数 d=f（ x）有 4 个单调区间，有三个极值点； 且 d=f（ x）的最小值为 1，最大值 ； 四个命题全正确 故选 D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13执行如图所示的程序框图，输出的 k 的值为 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果 【解答】 解：根据程序框图，依次执行程序， k=0， a=3， q= ， 执行循环体， a= ， k=1 第 11 页（共 19 页） 不满足条件 a ，执行循环体， a= ， k=2 不满足条件 a ，执行循环体， a= ， k=3 不满足条件 a ，执 行循环体， a= ， k=4 满足条件 a ，退出循环，输出 k 的值为 4 故答案为： 4 14已知点 P（ x， y）的坐标满足条件 ，则（ x 2） 2+（ y 1） 2的最小值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由（ x 2） 2+（ y 1） 2 的几何意义，即 A（ 2， 1）到直线 x y=0 的距离的平方求得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， （ x 2） 2+（ y 1） 2的几何意义为 A（ 2， 1）到直线 x y=0 的距离的平方， 由 d= = ，可得（ x 2） 2+（ y 1） 2 的最小值为 故答案为： 15已知 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B= ， b=4，则 面积的最大值为 4 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理 【分析】 通过余弦定理以及基本不等式求出 最大值，然后求解三角形的面积的最大值 【解答】 解： 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B= ， b=4， 第 12 页（共 19 页） 可得： 16=b2=a2+2a2+ac=且仅当 a=c=4 时等号成立 ， 当且仅当 a=c=4 时， 故答案为： 4 16设 别是椭圆 + =1 的左，右焦点， P 为椭圆上任一 点，点 M 的坐标为（ 6，4），则 |最大值为 15 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆的定义可得， |2a+| |2a+|由此可得结论 【解答】 解：由题意 3， 0）， |5， 由椭圆的定义可得， |2a+| |10+| |10+|15， 当且仅当 P， M 三点共线时取等号， 故答案为： 15 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知正项 等比数列 ， 2a1+a2=3 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 通项公式 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）通过设正项等比数列 公比为 q（ q 1），利用已知条件建立方程组，进而计算可得结论； （ ）通过（ I）可知 ，进而利用分组求和法计算即得结论 【解答】 解：（ ）设正项等比数列 公比为 q（ q 1）， 由 2a1+a2= ， 故 q 2=0， 解得 q=2，或 q= 1（舍去） 由 3 ，故 于是数列 通项公式为 （ ）由于 故 ） +（ ） +（ ） +（ n 1） 第 13 页（共 19 页） 18某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理 （ ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝， nN）的函数解析式 （ ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （ i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰 花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； （ 花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率 【考点】 概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数 【分析】 （ ）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数； （ ）（ i）这 100 天的日利润的平均数，利用 100 天的销售量除以 100 即可得到结论； （ 天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故可求当天的利润不少于75 元的概率 【解答】 解：（ ）当日需求量 n17 时，利润 y=85；当日需求量 n 17 时，利润 y=10n85； 利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式 （ nN*） （ ）（ i）这 100 天的日利润的平均数为 元； （ 天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故当天的利润不少于 75元的概率为 P= 19在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 E 是棱 中点， C 上，且 P= ， ， ， （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 B 得出 平面 是 平面 而有 矩形 ，利用勾股定理的逆定理可证 而得出 面 第 14 页（共 19 页） （ 求出 是 P 【解答】 证明：（ ）因为 P， E 为 中点，所以 因为 平面 面 以 又因为 B=A， 面 面 所以 平面 面 所以 在 ， ； 在 ， ； 在 ， 所以 此 又因为 面 面 E=E， 所以 平面 （ ）由（ ）知 平面 三棱锥 P 高， 在 ， ，所以 又 E 是 中点，所以 由（ ）得 ， 所以 20在平面直角坐标系 ，已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C： x2+4x 1=0 交于 A，B 两点 （ ）若直线 m： 2y+a+2=0（ a 0）与圆 C 相切，切点为 B，求直线 l 的方程； （ ）若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D，求 积的最大值 【考点】 圆的切线方程 【分析】 （ ）由点到直线的距离公式求出 a 值，得到直线 m 的方程，再联立直线方程与圆的方程，求得 B 的坐标，进一步求得直线 l 的方程； 第 15 页（共 19 页） （ ）设 A， B 两点的纵坐标分别为 圆的方程求出 D 的坐标，设出 在直线方程，联立直线方程与圆的方程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出 A，B 两点纵坐标差的绝对值，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得最值 【解答】 解：（ ）由圆 C： x2+4x 1=0，得（ x 2） 2+， 圆心坐标为（ 2， 0），半径为 直线 m 与圆 C 相切，得 ， 化简得： a 4=0，解得 a=1 或 a= 4， 由于 a 0，故 a=1， 直线 m： x 2y+3=0 联立 ，解得 故直线 m 与圆相切于点 B（ 1， 2），得 l： y=2x； （ ）设 A， B 两点的纵坐标分别为 求得圆 C 与 x 轴正半轴交点 D（ ， 0）， 则 = ， 设 程为 x= 由 ，消元得（ ） 41=0， = 设 m=5， 则 ，当且仅当 m=4 时取等号 故 积最大值为 21已知函数 f（ x） =t ）若 x=1 是 f（ x）的极值点，求 t 的值，并讨论 f（ x）的单调性； （ ）当 t2 时，证明： f（ x） 0 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）由 x=1 是函数 f（ x）的极值点，可得 f（ 1） =0，进而可得 t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数 f（ x）的单调性 ； （ ）当 t2， x（ 0， +）时，设 g（ x） =2 g（ x） =2 ，根据函数单调性及零点定理可知存在 1， 2）使得 g（ =0，在 x= g（ x）g（ 据函数的单调性可知 g（ =0，即可证明 f（ x） 0 【解答】 解：（ ）由函数 f（ x）的定义域（ 0， +）， 第 16 页（共 19 页） 因为 f（ x） =t ， x=1 是 f（ x）的 极值点， 所以 f（ 1） =t 1=0，所以 t=1， 所以 f（ x） =1 ， 因为 y=1 和 y= ，在（ 0， +）上单调递增， 所以 f（ x）在（ 0， +）上单调递增， 当 x 1 时， f（ x） 0； 0 x 1 时， f（ x） 0， 此时， f（ x）的单调递减区间为（ 0， 1），单调递增区间为（ 1， +）， （ ）证明：当 t2 时， f（ x） =t 2 设 g（ x） =2 g（ x） =2 ， 因为 y=2 和 y= ，在（ 0， +）上单调递增， 所以 g（ x）在（ 0， +）上单调递增， 因为 g（ 1） = 1 0， g（ 2） =1 = 0， 所以存在 1， 2）使得 g（ =0， 所以在（ 0， 使得 g（ x） 0，在（ +）上 g（ x） 0， 所以 g（ x）在（ 0， 调递减，在（ +）上单调递增， 所以 g（ x） g（ 因为 g（ =0，即 2= ， 所以 所以 g（ =2 +2， 因为 1， 2），所以 g（ = +2 2 2=0， 所以 f（ x） 0 请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C、 F 是 O 上的两点， 点 F 作 O 的切线 B 的延长线于点 D连接 点 E （ 1）求证： B （ 2）若 ， ，试求 长 第 17 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 用切线的性质及角之间的互余关系得到 E，再结合切割线定理证明 B可求出 （ 2）求出 ， ，利用勾股定理求 长 【解答】 （ 1）证明：连接 因为 O 于 F，所以 0 所以 0 因为 F，所以 因