高中数学 2.4第1课时 等比数列的概念与通项公式课件 新人教A版必修5.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修5 数列 第二章 2 4等比数列 第二章 第1课时等比数列的概念与通项公式 1 理解等比数列的定义 能够应用定义判断一个数列是否为等比数列 2 掌握等比数列的通项公式并能应用 体会等比数列的通项公式与指数函数的关系 3 掌握等比中项的定义 并能够应用等比中项解决问题 我们古代数学名著 孙子算经 中有一个有趣的问题叫 出门望九堤 今有出门望九堤 堤有九木 木有九枝 枝有九巢 巢有九禽 禽有九雏 雏有九毛 毛有九色 问各有几何 上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列 1 还记得等差数列的定义吗 从 起 每一项与其前一项的差 的数列 称为等差数列 2 等差数列的通项公式 是关于n的 3 还记得指数型函数吗 第2项 等于同一个常数 an a1 n 1 d 一次函数式 y c ax a 0且a 1 1 观察下面几个数列 1 1 3 9 27 81 2 3 3 3 3 3 3 3 关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题 由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子的麦粒数的2倍 且共有64个格子 各个格子里的麦粒数依次是1 2 22 23 263 4 某人年初投资10000元 如果年收益率是5 那么按照复利 5年内各年末的本利和依次为10000 1 05 10000 1 052 10000 1 055 它们是等差数列吗 计算上述每个数列从第二项起每一项与其前一项的比值 你有什么发现 它们有无共同的规律 你能归纳它们的共同规律给这类数列一个统一的定义吗 答案 b 已知等比数列 an 中 a1 2 a3 8 则an 答案 2n或 2 n 已知等比数列 an 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求an 分析 1 在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q 故需建立a1与q的两个方程 组成方程组求解 因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可 2 由等比中项的定义知 a2是a1与a3的等比中项 故可先由a1a2a3 8求得a2 再解关于a1与a3的方程组 即可获解 等比数列的通项公式 在等比数列 an 中 1 若a4 2 a7 8 则an 2 若a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 则n 方法规律总结 求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样 运用方程的思想 建立基本量的方程 或方程组 求解 在a1 an n q四个量中 已知三个可求另一个 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 bn an 1 n n 1 求证 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 等比数列的判定与证明 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 分析 题中已知为sn 1与an的关系式 利用an sn sn 1可将其转化为an的关系式 从而获得数列的特征 解析 1 证明 由已知 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 故b1 a2 2a1 3 又an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 于是an 2 2an 1 2 an 1 2an 即bn 1 2bn 因此数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 等差数列 an 的公差不为零 首项a1 1 a2是a1和a5的等比中项 则数列 an 的前10项之和是 a 90b 100c 145d 190 答案 b 等比中项 方法规律总结 等比中项的应用主要有两点 计算 与其它性质综合应用 起到简化计算 提高解题速度的作用 用来判断或证明等比数列 某人买了一辆价值13 5万元的新车 专家预测这种车每年按10 的速度贬值 1 用一个式子表示第n n n 年这辆车的价值 2 如果他打算用满4年时卖掉这辆车 他大概能得到多少钱 分析 根据题意 每年车的价值存在倍数关系 所以能建立等比数列模型来解决 数列的实际应用题 解析 1 从第一年起 每年车的价值 万元 依次设为 a1 a2 a3 an 由题意 得a1 13 5 a2 13 5 1 10 a3 13 5 1 10 2 由等比数列定义 知数列 an 是等比数列 首项a1 13 5 公比q 1 10 0 9 an a1 qn 1 13 5 0 9 n 1 第n年车的价值为an 13 5 0 9 n 1万元 2 当他用满4年时 车的价值为a5 13 5 0 9 5 1 8 857 用满4年时卖掉时 他大概能得8 857万元 方法规律总结 解答数列实际应用问题的一般思路 1 建模 根据题设条件 建立数列模型 分析实际问题的结构特征 找出所含元素的数量关系 确定为何种数列模型 2 解模 利用相关的数列知识加以解决 分清首项 公差 项数等 分清是an还是sn问题 选用适当的方法求解 3 还原 把数学问题的解还原为实际问题 针对实际问题的约束条件合理修正 使其成为实际问题的解 容积为al a 1 的容器盛满酒精后倒出1l 然后加满水 再倒出1l混合溶液后又用水加满 如此继续下去 问第n次操作后溶液的浓度是多少 当a 2时 至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10 等比数列 an 的前三项的和为168 a2 a5 42