广东省2011年中考数学压轴题复习(18道题+答案).doc

2011初三数学总复习12分题参考答案（全等与锐角三角函数）1. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连结EF（1）证明：DE=CD；（2）当时，求EF的长解：（1）过D作DGBC于G 1分由已知可得四边形ABGD为正方形 DEDCADE+EDG=90=GDC+EDGADE=GDC 又A=DGC且AD=GDADEGDC DE=DC且AE=GC在EDF和CDF中EDF=CDF，DE=DC，DF为公共边EDFCDF，EF=CF （2）tanADE= 。设，则，由勾股定理。解得， （旋转）2、 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=DEB =90，A=D =30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证： AF+EF=DE；（2）若将图中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图你认为中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由解：连接BF（如图），ABCDBE，BC=BE，AC=DE ACB=DEB=90，BCF=BEF=90，BF=BF，RtBFCRtBFECF=EF 又AF+CF=AC，AF+EF =DE 画出正确图形如图中的结论AF+EF =DE仍然成立不成立此时AF、EF与DE的关系为AF - EF =DE理由：连接BF（如图），ABCDBE，BC=BE，AC=DE，ACB=DEB=90，BCF=BEF=90又BF=BF，RtBFCRtBFE CF=EF 又AF -CF =AC，AF -EF = DE 中的结论不成立 正确的结论是AF -EF = DE 图图图（规律）3、如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，（1）写出点M5的坐标；（2）求的周长； （3）我们规定：把点（0,1,2,3）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对标”根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来 解：（1）M5（4，4）（2）由规律可知，,，的周长是 （3）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,，即：点的“绝对坐标”为（）。 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,，即：点的“绝对坐标”为 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,，即：的“绝对坐标”为（规律）4、 观察下列方程及其解的特征：（1）的解为； （2）的解为；（3）的解为； 解答下列问题：（1）请猜想：方程的解为 ；（2）请猜想：关于的方程 的解为；（3）下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性解：原方程可化为（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）解：（1），；（2）（或）；（3）二次项系数化为1，得配方，得，开方，得解得，经检验，都是原方程的解（探究）5、 已知中，、是边上的点，将绕点旋转，得到，连结（1）如图1，当，时，求证：（2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由AEDB图1CACEDB图2CABDE图3（3） 如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）AEDB图1CACEDB图2CABDE图3（1）证明：如图1 旋转得到 又（2）理由：如图2旋转得到， （SSS）（3），或1（探究）6、 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；图1（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与相等的角是（或）四边形是等对边四边形（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形如图1，作于点，作交延长线于点图2因为，为公共边，所以所以因为，所以可证所以所以四边形是等边四边形（抛物线）7、如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 所求函数关系式为： （2）在RtABO中，OA=3，OB=4，四边形ABCD是菱形 BC=CD=DA=AB=5 C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0） 当时，当时， 点C和点D在所求抛物线上 （3）设直线CD对应的函数关系式为，则 解得： MNy轴，M点的横坐标为t， N点的横坐标也为t则， ， ， 当时，此时点M的坐标为（，）（图形与抛物线）8、 如图，梯形ABCD中，C=90动点E、F同时从点B出发, 点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动, 点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s设E、F出发t s时, 的面积为y cm2已知y与 t的函数图象如图所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段请根据图中的信息，解答下列问题：（1）梯形上底的长AD= cm，梯形ABCD的面积= cm2； （2）当点E在BA、DC上运动时, 分别求出y与 t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；（3）当t为何值时，与梯形ABCD的面积之比为？解：（1）2，14（2）当点E在BA上运动时，如图，此时分别过点E，A作EGBC，AHBC，垂足分别为G，H，则BEGBAH，即， 图图 当点E在DC上运动时，如图，此时 ， （自变量的取值范围写全写对得1分，否则0分） （3）当时， 当时， s或s时，与梯形ABCD的面积之比为1:2BACxy（0，2）（1，0）（图形与抛物线）9、（_在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由（1）过点作轴，垂足为，BADCOMNxyP1P2；又， 点的坐标为； （2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，； ，可求得点； 若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证； ，可求得点； 经检验，点与点都在抛物线上 （圆）10、如图，点A，B，C，D是直径为AB的O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E， AE2， EC1（1）求证：； （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由 （3）延长AB到H，使BH OB求证：CH是O的切线 （1） 证明：C是劣弧弧BD的中点，而公共，（2）证明：连结，由得，由已知，是O的直径， ， ， ，四边形OBCD是菱形，四边形ABCD是梯形过C作CF垂直AB于F，连结OC，则 ，（3）证明：连结OC交BD于G由（2）得四边形OBCD是菱形，且 又已知OBBH， ，CH是O的切线CAPODB（圆与相似）11、如图，圆的直径为5，在圆上位于直径的异侧有定点和动点，已知，点在半圆弧上运动（不与两点重合），过点作的垂线交的延长线于点（1）求证：；（2）当点运动到弧中点时，求的长；（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？并求这个最大面积.解：（1）为直径，又而（2）当点运动到弧中点时，过点作于点，是中点又从而，由（1）得图1ABCDEF30（3）当点在上运动时，由（1）可知，故最大时，取最大值时；而为直径时最大.的最大值.（翻折）12、如图1,在ABC中，ACB=90，CAB=30, ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证： AEFBEC； 四边形BCFD是平行四边形；图2ABCDKH30（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sinACH的值.证明思路：设BC=a，则AB=AD=2a，AC=，由翻折可知CH=DH，令AH=x，则CH=DH=a-x，在RtAHC中，AH2+AC2=HC2，可得AH=，则CH=，所以sinACH=（翻折）13、如图，将边长为4 cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点， AEM的周长 cm；求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由解：（1） 6 （图略）取EP中点G，连接MG梯形AEPD中，M、G分别是AD、EP的中点， 由折叠得EMP=B=，又G为EP的中点，故 （2）PDM的周长保持不变证明：如图，设cm，RtEAM中，由，可得： AME+AEM=，AME+PMD=，AEM=PMD又A=D=，AEMDMP ，即cm 故PDM的周长保持不变（动态）14、如图，正方形的边长为，是边的中点，点在射线上，过作于（1）求证：；（2）当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由（1）证明：由正方形知 又 （2）解：若，则必有 四边形为矩形，即若，则 而，点为的中点， 由，即得，即 满足条件的的值为2或5（动态）15、如图，中，点P是边上的一个动点，过P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证:PE=PF；（2）当点P在边上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且时，求A的大小.（1）证明: EC平分BCA, BCE=PCE.，PEC=BCE.PEC=PCE, PE=PC. 同理可证PC=PF.PE=PF. （2）四边形不可能是菱形. 若为菱形，则，而由（1）可知. 因为在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以不能成立,所以四边形不可能是菱形. （3）当为正方形时，P是AC的中点,且，.是以为直角的直角三角形,在RtABC中, .A=30. 16、（探究）如图1，在Rt中，点D在边AB上运动，DE平分交边BC于点E，垂足为，垂足为N.（1）当AD=CD时，求证：；（2）探究：AD为何值时，与相似？CCC（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与的面积相等？ENABABABMD图3（备用图）图2（备用图）图1（1）证明： CENDMBA第24题又DE是BDC的平分线BDC=2BDEDAC=BDE DEAC （2）解：（）当时，得BD=DCDE平分BDCDEBC，BE=EC.又ACB=90 DEAC.即AD=5 （）当时，得ENBD又ENCD BDCD即CD是ABC斜边上的高，由三角形面积公式得ABCD=ACBC CD=CBA第24题ENMD综上，当AD=5或时，BME与CNE相似.（3）由角平分线性质易得 即 EM是BD的垂直平分线.EDB=DBEEDB=CDE DBE=CDE又DCE=BCD 即 由式得17、如图抛物线经过A（1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由解：（1）拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，PMQABOyxN，拋物线的解析式为y1= -x2+x+（2）作MNAB，垂足为N由y1= -x2+x+易得M(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=2， MBN=45根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2 (2)2-22=PM2= -(1-x)2j，又MPQ=45=MBP， MPQMBP，PM2=MQMB=y22k 由j、k得y2=x2-x+0x3，y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0x3)OEFGHx