高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型课件 文 北师大版.ppt

11 3几何概型 第十一章概率 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 几何概型向平面上有限区域 集合 g内随机地投掷点m 若点m落在子区域g1 g的概率与g1的面积成正比 而与g的形状 位置无关 即p 点m落在g1 则称这种模型为几何概型 2 几何概型中的g也可以是空间中或直线上的有限区域 相应的概率是之比或之比 3 借助可以估计随机事件发生的概率 知识梳理 体积 长度 模拟方法 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 2 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 3 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 4 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 5 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 6 从区间 1 10 内任取一个数 取到1的概率是p 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 在线段 0 3 上任投一点 则此点坐标小于1的概率为 答案 解析 1 2 4 5 6 3 3 有四个游戏盘 将它们水平放稳后 在上面扔一颗玻璃小球 若小球落在阴影部分 则可中奖 小明要想增加中奖机会 应选择的游戏盘是 答案 解析 1 2 4 5 6 3 p a p c p d p b 解析 答案 1 2 4 5 6 3 1 2 4 5 6 3 题组三易错自纠5 在区间 2 4 上随机地取一个数x 若x满足 x m的概率为 则m 解析 答案 1 2 4 5 6 3 解析由 x m 得 m x m 3 6 在rt abc中 a 30 过直角顶点c作射线cm交线段ab于点m 则 am ac 的概率为 解析 答案 解析设事件d为 作射线cm 使 am ac 在ab上取点c 使 ac ac 因为 acc 是等腰三角形 事件d发生的区域 d 90 75 15 构成事件总的区域 90 1 2 4 5 6 3 题型分类深度剖析 1 2016 全国 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为40秒 若一名行人来到该路口遇到红灯 则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 解析 答案 题型一与长度 角度有关的几何概型 自主演练 解析因为在 dab内任作射线ap 所以它的所有等可能事件所在的区域h是 dab 当射线ap与线段bc有公共点时 射线ap落在 cab内 则区域h为 cab 所以射线ap与线段bc有公共点的概率为 解析 答案 3 2018届铁岭月考 在长为12cm的线段ab上任取一点c 现作一矩形 邻边长分别等于线段ac cb的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 解析设ac xcm 00 解得0 x 4或8 x 12 在数轴上表示 如图所示 解析 答案 求解与长度 角度有关的几何概型的方法求与长度 角度 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 角度 然后求解 要特别注意 长度型 与 角度型 的不同 解题的关键是构建事件的区域 长度或角度 命题点1与平面图形面积有关的问题典例 2017 全国 如图 正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点取自黑色部分的概率是 题型二与面积有关的几何概型 多维探究 解析 答案 解析不妨设正方形abcd的边长为2 则正方形内切圆的半径为1 可得s正方形 4 命题点2与线性规划知识交汇命题的问题 解析 答案 解析如图 平面区域 1就是三角形区域oab 平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域oacd 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时 关键是弄清某事件对应的面积 必要时可根据题意构造两个变量 把变量看成点的坐标 找到全部试验结果构成的平面图形 以便求解 跟踪训练 1 2016 全国 从区间 0 1 随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 解析 答案 解析由题意得 xi yi i 1 2 n 在如图所示方格中 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知 解析 答案 题型三与体积有关的几何概型 师生共研 解析 答案 解析当p在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求 由几何概型知 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 在正方体内随机取点m 则使四棱锥m abcd的体积小于的概率为 解析 答案 解析过点m作平面rs 平面ac 则两平面间的距离是四棱锥m abcd的高 显然点m在平面rs上任意位置时 四棱锥m abcd的体积都相等 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题 关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件空间 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 跟踪训练 2017 湖南长沙四县联考 如图 在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器 圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切 圆锥的顶点在鱼缸的缸底上 现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食 则 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 的概率是 解析 答案 解析鱼缸底面正方形的面积为22 4 圆锥底面圆的面积为 所以 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 的概率是1 故选a 典例 1 在等腰rt abc中 c 90 在直角边bc上任取一点m 则 cam 30 的概率是 2 在长为1的线段上任取两点 则这两点之间的距离小于的概率为 几何概型中的 测度 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 1 c 90 cam 30 现场纠错解析 1 点m在直角边bc上是等可能出现的 测度 是长度 设直角边长为a 2 设任取两点所表示的数分别为x y 则0 x 1 且0 y 1 纠错心得 1 在线段上取点 则点在线段上等可能出现 在角内作射线 则射线在角内的分布等可能 2 两个变量在某个范围内取值 对应的 测度 是面积 课时作业 1 2018届潍坊检测 如图所示 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 设复数z x 1 yi x y r 若 z 1 则y x的概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 z 1可得 x 1 2 y2 1 表示以 1 0 为圆心 1为半径的圆及其内部 满足y x的部分为如图阴影部分所示 由几何概型概率公式可得所求概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以pb pc为邻边作平行四边形pbdc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 已知在 abc中 abc 60 ab 2 bc 6 在bc上任取一点d 则使 abd为钝角三角形的概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 当be 1时 aeb为直角 则当点d在线段be 不包含b e点 上时 abd为钝角三角形 当bf 4时 baf为直角 则当点d在线段cf 不包含c f点 上时 abd为钝角三角形 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由几何概型的概率计算公式 得所求概率 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 点o为底面abcd的中心 在正方体abcd a1b1c1d1内随机取一点p 则点p到点o的距离大于1的概率为 解析记 点p到点o的距离大于1 为a 解析 答案 解析设事件 在区间 4 5 上随机取一个数x 则x d 为事件a 由6 x x2 0 解得 2 x 3 d 2 3 如图 区间 4 5 的长度为9 定义域d的长度为5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 已知平面区域d x y 1 x 1 1 y 1 在区域d内任取一点 则取到的点位于直线y kx k r 下方的概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题设知 区域d是以原点为中心的正方形 根据图形的对称性知 直线y kx将其面积平分 9 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱锥a a1bd内的概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 在区间 1 5 和 2 4 上分别各取一个数 记为m和n 则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 如图 由题意知 在矩形abcd内任取一点q m n 点q落在阴影部分的概率即为所求的概率 易知直线m n恰好将矩形平分 11 在区间 内随机取出两个数分别记为a b 求函数f x x2 2ax b2 2有零点的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解由函数f x x2 2ax b2 2有零点 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得a2 b2 2 如图所示 a b 可看成坐标平面上的点 试验的全部结果构成的区域为 a b a b 其面积s 2 2 4 2 事件a表示函数f x 有零点 所构成的区域为m a b a2 b2 2 即图中阴影部分 其面积为sm 4 2 3 解答 12 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次时第一次 第二次出现的点数 求满足a b 1的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次 所包含的基本事件总数为6 6 36 由a b 1 得 2x y 1 所以满足a b 1的基本事件为 1 1 2 3 3 5 共3个 2 若x y在连续区间 1 6 上取值 求满足a b 0的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解若x y在连续区间 1 6 上取值 则全部基本事件的结果为 x y 1 x 6 1 y 6 满足a b 0的基本事件的结果为a x y 1 x 6 1 y 6且 2x y 0 画出图像如图所示 矩形的面积为s矩形 25 13 如图 天宫一号 运行的轨迹是如图的两个类同心圆 小圆的半径为2km 大圆的半径为4km 卫星p在圆环内无规则地自由运动 则在运行过程中 点p与点o的距离小于3km的概率为 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析根据几何概型公式 小于3km的圆环面积为 32 22 5 圆环总面积为 42 22 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使f x ax2 4bx 1在区间 1 上为增函数 即2b a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析在直角坐标系中 依次作出不等式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的