2016年芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12个题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=0， 2， 4， B=1， 2， 3，则 A（ （ ） A 0， 4 B 2， 3， 4 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 4 2已知 i 为虚数单位，若复数 iz= i，则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 3已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x，则其离心率为（ ） A B C D 4已知 ， 是不共线的向量， = + ， = + （ 、 R），那么 A、 B、 C 三点共线的充要条件为（ ） A +=2 B =1 C = 1 D =1 5某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x，第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 ，以（ x， y）为坐标的点落在直线 2x y=1 上的概率为（ ） A B C D 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 4，则输出 S 的值为（ ） A 20 B 40 C 77 D 546 7已知等比数列 前 n 项和为 a2 与 则 ） A 32 B 31 C 30 D 29 8函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数 g（ x） =图象，只需将 f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平 移 个单位 第 2 页（共 19 页） 9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A B 9 C D 10 10设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 12坐标平面上的点集 S 满足S= ，将点集 S 中的所有点向 y 轴作投影，所得投影线段 的总长度为（ ） A 1 B C D 2 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13命题 ，则 p： 14已知抛物线 p 0），过其焦点且斜率为 2 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为 15已知 f（ x）是 R 上的奇函数， f（ 1） =1，且 对任意 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）成立，则 f= 16已知函数 f（ x） = ，对任意 t（ 0， +），不等式 f（ t）成立，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2ca+b，若 面积 第 3 页（共 19 页） （ ）求 C 的度数； （ ）求 最小值 18对某产品 1 至 6 月份销售量及其价格进行调查，其售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示： 月份 i 1 2 3 4 5 6 单价 ） 9 0 1 8 销售量 ） 11 10 8 6 5 14 （ ）根据 1 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程； （ ）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 ，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？ （ ）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（ ）中的 关系， /件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 =销售收入成本） 参考公式：回归方程 ，其中 = 参考数据： ， 19如图，在直三棱柱 ， 平面 垂足 D 落在直线 （ ）求证： （ ）若 P 是线段 一点， ， C=2，三棱锥 体积为 ，求的值 20已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： =1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交与 A、 B 两点，四边形 平行四边形 （ ）证明：点 P 在椭圆 C 上； （ ）求四边形 面积 第 4 页（共 19 页） 21已知函数 f（ x） =a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A，曲线 y=f（ x）在点 A 处的切线平行于 x 轴 （ ）求 a 的值及函数 y=f（ x）的极值； （ ）若不等式 x） 3 k 3） x 在 x3 时恒成立，证明： k 1 选修 4何证明选讲 22如图所示，点 P 是圆 B 延长线上的一点， 于点 C，直线 别交 点 M、 N求证： （ 1） 等腰三角形； （ 2） M=N 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参 数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求曲线 C 的极坐标方程； （ ）求直线 l 截曲线 C 所得的弦长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 3| 2|x+a| （ ）当 a=3 时，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ ）若 f（ x） +x+10 的解集为 A，且 2， 1A，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=0， 2， 4， B=1， 2， 3，则 A（ （ ） A 0， 4 B 2， 3， 4 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集 U、集合 B 和补集的运算求出 由交集的运算求出 A可 【解答】 解： 全集 U=0， 1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3， 0， 4， 集合 A=0， 2， 4， A（ =0， 4， 故选： A 2已知 i 为虚数单位，若复数 iz= i，则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设 z=a+入 iz= i，求出 a， b 的值，从而求出 |z|的模即可 【解答】 解：设 z=a+ 若复数 iz= i， 即 i（ a+= b+ i， 解得： a= 1， b= ， 则 |z|= ， 故选： C 3已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x，则其离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 双曲线 C 的渐近线方程为 y= ，所以便得到 ，所以便得到其离心率e= 【解答】 解：由已知条件得： ； 第 6 页（共 19 页） ； 即 ； 椭圆 C 的离心率为 故选： A 4已知 ， 是不共线的向量， = + ， = + （ 、 R），那么 A、 B、 C 三点共线的充要条件为（ ） A +=2 B =1 C = 1 D =1 【考点】 向量的共线定理 【分析】 若 A、 B、 C 三点共线，则向量 与 平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使 A、 B、 C 三点共线的充要条件 【解答】 解：若 A、 B、 C 三点共线，则向量 即存在实数 k，使得 =k ， = + ， = + + =k（ + ），可得 ，消去 k 得 =1 即 A、 B、 C 三点共线的充要条件为 =1 故选： D 5某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x，第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 ，以（ x， y）为坐标的点落在直线 2x y=1 上的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有 66=36 种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（ x， y）为坐标的点落在直线 2x y=1 上的概率 【解答】 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有 66=36 种结果， 满足条件的事件是（ x， y）为坐标的点落在直线 2x y=1 上， 当 x=1， y=1， x=2， y=3； x=3， y=5，共有 3 种结果， 根据古典概型的概率公式得到 以（ x， y）为坐标的点落在直线 2x y=1 上的概率： P= 故选： A 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 4，则输出 S 的值为（ ） 第 7 页（共 19 页） A 20 B 40 C 77 D 546 【考点】 程序框图 【分析】 由图知，每次进入循环体后， S 的值被施加的运算是 S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当 k=5 时不满足条件 k4，退出循环，输出 S 的值为 40 【解答】 解：由题意 ，模拟执行程序，可得： n=4， k=1， S=0 满足条件 k4， S=0+21+1=3， k=2 满足条件 k4， S=3+22+2=9， k=3 满足条件 k4， S=9+23+3=20， k=4 满足条件 k4， S=20+24+4=40， k=5 不满足条件 k4，退出循环，输出 S 的值为 40 故选： B 7已知等比数列 前 n 项和为 a2 与 则 ） A 32 B 31 C 30 D 29 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 公比为 q，由 a2 与 等差中项为 ，可得=2 = + 5= +4 ，解出再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， a2 与 等差中项为 ， =2 = +即 5= +4 ， 5=2（ 2+4解得 q= ， 6， 则 =30， 故选： C 第 8 页（共 19 页） 8函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数 g（ x） =图象，只需将 f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由题意可得，函数的周期为 ，由此求得 =2，由 g（ x） =（ x+ ）+ ，根据 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解：由题意可得，函数的周期为 ，故 =， =2 要得到函数 g（ x） =（ x+ ） + 的图象， 只需将 f（ x） = 的图象向左平移 个单位即可， 故选 A 9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A B 9 C D 10 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为圆柱与 球的组合体表面共有 5 部分组成 【解答】 解：由三视图可知几何体为圆柱与 球的组合体 圆柱的底面半径为 1，高为 3，球的半径为 1 所以几何体的表面积为 12+213+ + + =9 故选 B 第 9 页（共 19 页） 10设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 对数的运算性质；函数的值 【分析】 先求出 f（ 再求出 f（ f（ 即可 【解答】 解： f（ = 6， f（ 6） =1+3=4， 故选： D 11已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化 为 1+ ，然后由 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线斜率的倒数求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域 如图， 联立 ，解得 B（ 1， 6）， 联立 ，解得 A（ ）， ， ， =1+ 故选： D 第 10 页（共 19 页） 12坐标平面上的点集 S 满足S= ，将点集 S 中的所有点向 y 轴作投影，所得投影线段的总长度为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 函数与方程的综合运用；曲线与方程 【分析】 先求出 2 4（ 2的范围，即可得出函数 x=y+2）的值域范围，从而求出函数函数 x=y+2）的定义域，进一步可求投影长度 【解答】 解： 1=（ 2= 2 4（ 2， x ， ， 2x ， ， ， 2（ 21， 2 y+2） 1， 2， 2y+24， 1y0，或 1y2 故 y 的投影长度为 1+1=2， 故选： D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13命题 ，则 p： 【考点】 命题的否定 【分析】 直接 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 ，则 p： 故答案为： 14已知抛物线 p 0），过其焦点且斜率为 2 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为 x= 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出直线 方程，联立方 程组消元，根据根与系数的关系列方程解出 p，从而得出准线方程 【解答】 解：抛物线的焦点为（ ， 0）， 直线 方程为： y=2（ x ），即 y=2x p， 联立方程组 ，消元得： 46px+， 第 11 页（共 19 页） 设 A（ B（ 则 x1+， p=4 抛物线的准线方程为 ： x= 2 故答案为： x= 2 15已知 f（ x）是 R 上的奇函数， f（ 1） =1，且对任意 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）成立，则 f= 1 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 求出 f（ 3） =0，可得 f（ x）是以 6 为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论 【解答】 解： f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）中， 令 x= 3，得 f（ 3） =f（ 3） +f（ 3），即 f（ 3） =0 又 f（ x）是 R 上的奇函数，故 f（ 3） = f（ 3） =0 f（ 0） =0， f（ 3） =0， 故 f（ x+6） =f（ x）， f（ x）是以 6 为周期的周期函数， 从而 f=f（ 1） = f（ 1） = 1 f=f（ 0） =0 故 f= 1+0= 1， 故答案为： 1 16已知函数 f（ x） = ，对任意 t（ 0， +），不等式 f（ t）成立，则实数 k 的取值范围是 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 结合函数的图象和函数值，可判断只需 y= y=下方，求出临界值即相切时的 k 的值 即可 【解答】 解：当 0 x 1 时， f（ x） 0， 当 x1 时， f（ x） 0， 对任意 t（ 0， +），不等式 f（ t） 成立， 故函数 y=f（ t）在函数 y=下方， 只需 y= y=下方， 当两曲线相切时，设切点为横坐标为 k= ， ， 实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 12 页（共 19 页） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2ca+b，若 面积 （ ）求 C 的度数； （ ）求 最小值 【考点】 余弦定理；基本不等式；正弦定理 【分析】 （ ）由余弦定理及已知可得： ，整理后可求 值，结合范围 C（ 0， ），即可得解 C 的值 （ ）利用三角形面积公式及已知可得 ，利用基本不等式即可求得，从而得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）在 ，由余弦定理可得： ， 整理可得： a2+ 3 分 故 ， 5 分 因为 C（ 0， ），故 6 分 （ ）因为 ， 故 10 分 化简得 11 分 当且仅当 a=b=8 时等号成立 所以 最小值为 64 12 分 18对某产品 1 至 6 月份销售量及其价格进行调查，其售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示： 月份 i 1 2 3 4 5 6 单价 ） 9 0 1 8 销售量 ） 11 10 8 6 5 14 （ ）根据 1 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程； （ ）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 ，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？ （ ）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（ ）中的关系， /件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 =销售收入成本） 第 13 页（共 19 页） 参考公式：回归方程 ，其中 = 参考数据： ， 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据回归系数公式计算回归系数； （ 2）利用回归方程计算 x=8 时的估计值，计算误差得出结论； （ 3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的 x 【解答】 解：（ ）由题意知 =10， =8， = ， = =40 y 关于 x 的回归直线方程是 = 0 （ ）由（ ）知，当 x=8 时， = +40= y=14= 可认为所得到的回归直线方程是理想的 （ ）依题意得，利润 L=（ x （ 0） = 8x 100（ x 当 时， L 取得最大值 即该产品的单价定为 时，利 润最大 19如图，在直三棱柱 ， 平面 垂足 D 落在直线 （ ）求证： （ ）若 P 是线段 一点， ， C=2，三棱锥 体积为 ，求的值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （ I）由 平面 平面 面 以 （ PC=x，用 x 表示出棱锥 体积，列出方程解出 x，得到 值 【解答】 （ ）证明 平面 面 平面 面 又 D=A， 面 面 平面 面 （ ）解：设 PC=x，过 点 B 作 点 E 由（ ）知 平面 C=2， ， ， 平面 垂足 D 落在直线 ， =1，又 ， = 解得： ， 20已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： =1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交与 A、 B 两点，四边形 平行四边形 （ ）证明：点 P 在椭圆 C 上； （ ）求四边形 面积 第 15 页（共 19 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由已知 F（ 0， 1），直线 l 的方程为 ，代入 ，得，由平行四边形性质得 ，由此能证明点 P 在椭圆 C 上 （ ）由已知求出 |原点 O 到直线 l： 的距离，由此能求出四边形 【解答】 证明：（ ） O 为坐标原点， F 为椭圆 C： =1 在 y 轴正半轴上的焦点， F（ 0， 1），直线 l 的方程为 ，代入 并化简得 ， 2 分 设 A（ B（ P（ 四边形 平行四边形， ， 3 分 可得（ =（ +（ ， ，故 5 分 经验证点 P 的坐标 满足方程 ， 故点 P 在椭圆 C 上 6 分 解：（ ） 8 分 原点 O 到直线 l： 的距离 10 分 四边形 面积： 12 分 第 16 页（共 19 页） 21已知函数 f（ x） =a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A，曲线 y=f（ x）在点 A 处的切线平行于 x 轴 （ ）求 a 的值及函数 y=f（ x）的极值； （ ）若不等式 x） 3 k 3） x 在 x3 时恒成立，证明： k 1 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求 a 的值及函数 y=f（ x）的极值； （ ）若不等式 x） 3 k 3） x 在 x3 时恒成立，利用参数分离法 ，求函数的最值即可证明： k 1 【解答】 解：（ ）由题意知 f（ x） =a， 1 分， A（ 0， 1）且曲线 y=f（ x）在点 A 处的切线平行于 x 轴， f（ 0） =a=0， a=13 分 此时， f（ x） =1 令 f（ x） =0 得 x=0 当 x 变化时， f（ x）与 f（ x）变化情况如下表 x （ ，0） 0 （ 0， +） f（ x） 0 + f（ x） =x 单调递减 极小值 1 单调递增 f（ x）有极小值 1，无极大值 5 分 （ ）证明：由 x） 3 k 3） x 得 6 分 令 ， 7 分， 8 分， x3 e， 又 1 0， g（ x） 0 g（ x）在 3， +）上为增函数 10 分 11 分 k 112 分 选修 4何证明选讲 22如图所示，点 P 是圆 B 延长线上的一点， 于点 C，直线