高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文 北师大版.ppt

3 1导数的概念及运算 第三章导数及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 导数与导函数的概念 1 当x1趋于x0 即 x趋于0时 如果 那么这个值就是函数y f x 在x0点的瞬时变化率 在数学中 称瞬时变化率为函数y f x 在x0点的导数 通常用符号f x0 表示 记作f x0 知识梳理 平均变化率趋于一个固定的值 2 如果一个函数f x 在区间 a b 上的每一点x处都有导数 导数值记为f x f x 则f x 是关于x的函数 称f x 为f x 的导函数 通常也简称为导数 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 即k f x0 3 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna 4 导数的运算法则若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 1 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数 2 af x bg x af x bg x 3 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 f x0 与 f x0 表示的意义相同 3 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 4 函数f x sin x 的导数是f x cosx 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 若f x x ex 则f 1 1 2 4 5 6 答案 解析 2e 3 7 解析 f x ex xex f 1 2e 3 曲线y 在点m 0 处的切线方程为 x y 0 题组三易错自纠4 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图像 那么y f x y g x 的图像可能是 解析 1 2 4 5 6 3 7 答案 解析由y f x 的图像知 y f x 在 0 上是减少的 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也是减少的 故可排除a c 又由图像知y f x 与y g x 的图像在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图像在x x0处的切线的斜率相同 故可排除b 故选d 1 2 4 5 6 3 7 1 2 4 5 6 3 7 答案 解析 1 2 4 5 6 3 7 6 2018 青岛调研 已知f x x2 2xf 2018 2018lnx 则f 2018 等于a 2018b 2019c 2019d 2018 答案 即f 2018 2018 1 2019 7 已知函数f x ax3 x 1的图像在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 1 2 4 5 6 3 7 答案 1 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 又f 1 a 2 切线方程为y a 2 3a 1 x 1 又点 2 7 在切线上 可得a 1 题型分类深度剖析 1 f x x 2018 lnx 若f x0 2019 则x0等于a e2b 1c ln2d e 题型一导数的计算 自主演练 解析 答案 解析f x 2018 lnx x 2019 lnx 故由f x0 2019 得2019 lnx0 2019 则lnx0 0 解得x0 1 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于a 1b 2c 2d 0 解析 答案 解析f x 4ax3 2bx f x 为奇函数且f 1 2 f 1 2 3 已知f x x2 2xf 1 则f 0 解析 答案 4 解析 f x 2x 2f 1 f 1 2 2f 1 即f 1 2 f x 2x 4 f 0 4 导数计算的技巧求导之前 应对函数进行化简 然后求导 减少运算量 命题点1求切线方程典例 1 曲线f x 在x 0处的切线方程为 解析 题型二导数的几何意义 多维探究 解析根据题意可知切点坐标为 0 1 答案 2x y 1 0 则直线的方程为y 1 2 x 0 即2x y 1 0 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 答案 x y 1 0 解析 解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 又 f x 1 lnx 直线l的方程为y 1 1 lnx0 x 解得x0 1 y0 0 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 本例 2 中 若曲线y xlnx上点p的切线平行于直线2x y 1 0 则点p的坐标是 答案 e e 解析 解析y 1 lnx 令y 2 即1 lnx 2 x e 点p的坐标为 e e 命题点2求参数的值典例 1 直线y kx 1与曲线y x3 ax b相切于点a 1 3 则2a b 1 答案 解析由题意知 y x3 ax b的导数y 3x2 a 由此解得k 2 a 1 b 3 2a b 1 解析 2 2018届东莞外国语学校月考 曲线y 4x x2上两点a 4 0 b 2 4 若曲线上一点p处的切线恰好平行于弦ab 则点p的坐标是a 3 3 b 1 3 c 6 12 d 2 4 答案 解析 解析设点p x0 y0 a 4 0 b 2 4 在点p处的切线l平行于弦ab kl 2 根据导数的几何意义知当x x0时 y 4 2x0 2 即x0 3 点p x0 y0 在曲线y 4x x2上 命题点3导数与函数图像典例 1 已知函数y f x 的图像是下列四个图像之一 且其导函数y f x 的图像如图所示 则该函数的图像是 解析由y f x 的图像是先上升后下降可知 函数y f x 图像的切线的斜率先增大后减小 故选b 解析 答案 解析 2 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 0 答案 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值k f x0 3 函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况 跟踪训练 1 2017 山西孝义模拟 已知f x x2 则曲线y f x 过点p 1 0 的切线方程是 解析 f x 2x 切线方程为y 0 2x0 x 1 y 0或4x y 4 0 答案 解得x0 0或x0 2 所求切线方程为y 0或y 4 x 1 即y 0或4x y 4 0 解析 1 答案 典例若存在过点o 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 求曲线的切线方程 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 几何画板展示 错解展示 现场纠错 解易知点o 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当o 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得当x 0时 y 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 2 当o 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点p x0 y0 纠错心得求曲线过一点的切线方程 要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况 课时作业 1 函数f x x 2a x a 2的导数为a 2 x2 a2 b 2 x2 a2 c 3 x2 a2 d 3 x2 a2 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析f x x a 2 x 2a 2x 2a x a x a 2x 4a 3 x2 a2 解析 答案 2 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图像如图所示 则导函数f x 的图像可能是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析原函数的单调性是当x0时 f x 的单调性变化依次为增 减 增 故当x0 当x 0时 f x 的符号变化依次为 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 西安质检 曲线f x x3 x 3在点p处的切线平行于直线y 2x 1 则p点的坐标为a 1 3 b 1 3 c 1 3 或 1 3 d 1 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析f x 3x2 1 令f x 2 则3x2 1 2 解得x 1或x 1 p 1 3 或 1 3 经检验 点 1 3 1 3 均不在直线y 2x 1上 故选c 解析 4 若直线y x是曲线y x3 3x2 px的切线 则实数p的值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 y 3x2 6x p 设切点为p x0 y0 5 2018 广州调研 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 6 2017 重庆诊断 已知函数f x sinx 其导函数为f x 则f 2019 f 2019 f 2019 f 2019 的值为a 0b 2c 2017d 2017 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f 2019 f 2019 f 2019 f 2019 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知函数f x axlnx x 0 其中a为实数 f x 为f x 的导函数 若f 1 3 则a的值为 3 由于f 1 a 1 ln1 a 又f 1 3 所以a 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2016 全国 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 2x y 0 解析设x 0 则 x0时 f x ex 1 x f x ex 1 1 故f 1 2 所以曲线在点 1 2 处的切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 解析 解析 9 设点p是曲线y x3 上的任意一点 p点处切线倾斜角 的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10 2018 成都质检 已知f x g x 分别是二次函数f x 和三次函数g x 的导函数 且它们在同一平面直角坐标系内的图像如图所示 1 若f 1 1 则f 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由图可得f x x g x x2 设f x ax2 bx c a 0 g x dx3 ex2 mx n d 0 则f x 2ax b x g x 3dx2 2ex m x2 2 设函数h x f x g x 则h 1 h 0 h 1 的大小关系为 用 连接 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 h 0 h 1 h 1 11 已知函数f x x3 4x2 5x 4 1 求曲线f x 在点 2 f 2 处的切线方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 f x 3x2 8x 5 f 2 1 又f 2 2 曲线在点 2 f 2 处的切线方程为y 2 x 2 即x y 4 0 2 求经过点a 2 2 的曲线f x 的切线方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得 x0 2 2 x0 1 0 解得x0 2或1 经过点a 2 2 的曲线f x 的切线方程为x y 4 0或y 2 0 12 已知曲线y x3 x 2在点p0处的切线l1平行于直线4x y 1 0 且点p0在第三象限 1 求p0的坐标 解由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知令3x2 1 4 解得x 1 当x 1时 y 0 当x 1时 y 4 又 点p0在第三象限 切点p0的坐标为 1 4 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若直线l l1 且l也过切点p0 求直线l的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 直线l l1 l1的斜率为4 解答 l过切点p0 点p0的坐标为 1 4 即x 4y 17 0 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 14 2017 上饶模拟 若点p是曲线y x2 lnx上任意一点 则点p到直线y x 2距离的最小值为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析由题意知y x2 lnx的定义域为 0 当点p是曲线的切线中与直线y x 2平行的直线的切点时 点p到直线y x 2的距离最小 如图所示 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 15 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 拓展