高考数学总复习 12圆的有关性质与定理课件 理 新人教B版选修41.ppt

第二节直线与圆的位置关系 一 圆周角定理 弦切角定理1 圆周角定理 1 定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的 2 推论推论1 直径 或半圆 所对的圆周角是 推论2 同弧或等弧所对的相等 推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的 2 弦切角定理 1 定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的 2 推论 弦切角等于它所夹弧所对的 一半 直角 圆周角 直径 一半 圆周角 1 课本习题改编 如图 p是圆o外一点 过p引圆o的两条割线pb pd pa ab cd 3 则pc等于 a 2或 5b 2c 3d 10解析 设pc x 由割线定理知pa pb pc pd 答案 b 2 2013年广州模拟 如图 四边形abcd内接于 o bc是直径 mn与 o相切 切点为a mab 35 则 d a 35 b 90 c 125 d 150 解析 连接bd 则 mab adb 35 bc是 o的直径 bdc 90 所以 d adb bdc 125 答案 c 3 2013年天津十二校联考 如图所示 ea是圆o的切线 割线eb交圆o于点c c在直径ab上的射影为d cd 2 bd 4 则ea 答案 b 4 课本习题改编 如图 pa切 o于点a 割线pbc经过圆心o ob pb 1 oa绕点o逆时针旋转60 到od 则pd的长为 解析 在rt oap中 op 2oa 2 apo 30 在 pod中 易得od 1 pod 120 根据余弦定理 得pd2 12 22 2 1 2cos120 7 pd 答案 5 2012年高考湖南卷 如图所示 过点p的直线与 o相交于a b两点 若pa 1 ab 2 po 3 则 o的半径等于 解析 利用割线定理求解 设 o的半径为r r 0 pa 1 ab 2 pb pa ab 3 延长po交 o于点c 则pc po r 3 r 设po交 o于点d 则pd 3 r 由圆的割线定理知 pa pb pd pc 1 3 3 r 3 r 9 r2 3 r 答案 考向一圆周角 弦切角和圆的切线问题 例1 2013年银川模拟 如图 已知ab是 o的直径 锐角 dab的平分线ac交 o于点c 作cd ad 垂足为d 直线cd与ab的延长线交于点e 1 求证 直线cd为 o的切线 2 当ab 2be 且ce 时 求ad的长 解析 1 证明 连接oc ac平分 dab dac cab oa oc oca cab oca dac ad co cd ad oc de cd为 o的切线 2 ab 2bo ab 2be bo be co 设bo be co x 则oe 2x 在rt oce中 oc2 ce2 oe2 则x2 2 2x 2 x 1 ae 3 e 30 ad 1 2013年安徽六校联考 已知c点在圆o直径be的延长线上 ca切圆o于a点 dc是 acb的平分线交ae于点f 交ab于d点 1 求 adf的度数 2 若ab ac 求ac bc 解析 1 ac为圆o的切线 b eac 又知dc是 acb的平分线 acd dcb b dcb eac acd 即 adf afd 又因为be为圆o的直径 dae 90 考向二圆内接四边形的性质定理及判定定理 例2 2011年高考课标全国卷 如图 d e分别为 abc的边ab ac上的点 且不与 abc的顶点重合 已知ae的长为m ac的长为n ad ab的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根 1 证明 c b d e四点共圆 2 若 a 90 且m 4 n 6 求c b d e所在圆的半径 解析 1 证明 如图 连接de 在 ade和 acb中 ad ab mn ae ac 即 又 dae cab 从而 ade acb 因此 ade acb 所以c b d e四点共圆 2 m 4 n 6时 方程x2 14x mn 0的两根为x1 2 x2 12 故ad 2 ab 12 2 2011年高考辽宁卷 如图 a b c d四点在同一圆上 ad的延长线与bc的延长线交于e点 且ec ed 1 证明 cd ab 2 延长cd到f 延长dc到g 使得ef eg 证明 a b g f四点共圆 证明 1 因为ec ed 所以 edc ecd 因为a b c d四点在同一圆上 所以 edc eba 故 ecd eba 所以cd ab 2 由 1 知 ae be 因为ef eg 故 efd egc 从而 fed gec 连接af bg 则 efa egb 故 fae gbe 又cd ab edc ecd 所以 fab gba 所以 afg gba 180 故a b g f四点共圆 考向三与圆有关的比例线段 例3 2012年高考辽宁卷 如图 o和 o 相交于a b两点 过a作两圆的切线分别交两圆于c d两点 连接db并延长交 o于点e 证明 1 ac bd ad ab 2 ac ae 3 2013年大连三校联考 如图 o的半径ob垂直于直径ac m为ao上一点 bm的延长线交 o于n 过n点的切线交ca的延长线于p 1 求证 pm2 pa pc 2 若 o的半径为2 oa om 求mn的长 解析 1 证明 连结on 则on pn 且 obn为等腰三角形 则 obn onb pmn omb 90 obn pnm 90 onb pmn pnm pm pn 由条件 根据切割线定理 有pn2 pa pc 所以pm2 pa pc 答题模板 几何证明问题 典例 10分 2012年高考课标全国卷 如图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 思路导析 1 连接af 利用平行关系构造平行四边形可得结论 2 先证 bcd和 gbd为等腰三角形 再证明两三角形顶角相等即可 规范解答 1 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 3分而cf ad 连接af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 5分因为cf ab 所以bc af 故cd bc 6分 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 所以 bgd bdg 8分由bc cd知 cbd cdb 又因为 dgb efc dbc 所以 bcd gbd 10分 名师点评 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这一些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据之一 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角 4 圆内接四边形的性质也要熟练掌握 利用该性质可得到角相等 进而为三角形的相似创造了条件 1 2012年高考陕西卷 如图 在圆o中 直径ab与弦cd垂直 垂足为e ef db 垂足为f 若ab 6 ae 1 则df db 解析 利用相交弦定理及射影定理求解 由题意知 ab 6 ae 1 be