专升本《高等数学》176复习题及答案.doc

专升本高等数学试题（176题）一. 选择题： 1. 设函数，是的反函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是的极值点，则（ ） A. 必定存在，且 B. 必定存在，但不一定等于零 C. 可能不存在 D. 必定不存在 3. 设有直线，则该直线必定（ ） A. 过原点且垂直于x轴 B. 过原点且平行于x轴 C. 不过原点，但垂直于x轴 D. 不过原点，且不平行于x轴 *4. 幂级数在点处收敛，则级数（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与有关 5. 对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在点不连续是因为（ ） A. B. C. 不存在D. 不存在 7. 设为连续函数，且，则下列命题正确的是（ ） A. 为上的奇函数 B. 为上的偶函数 C. 可能为上的非奇非偶函数 D. 必定为上的非奇非偶函数 8. 设有单位向量，它同时与及都垂直，则为（ ） A. B. C. D. 9. 幂级数的收敛区间是（ ） A. B. C. D. 10. 按照微分方程通解的定义，的通解是（ ）A. B. C. D. （其中是任意常数）11. 微分方程 的通解为 .12. .13. 曲线 在 处的切线方程为 14 已知 A ， A* 为 A 的伴随阵，则 = . 15函数的连续区间是.16.17（1）轴在空间中的直线方程是. （2）过原点且与轴垂直的平面方程是18设函数,当时，函数在点x=1处连续.19设参数方程，（1）当是常数,是参数时，则.（2）当是常数，是参数时，则.20。21函数的间断点是。22若在处连续，则。23设，则 。24设，交换积分次序后。25已知则。26微分方程的通解 。27.(1+)-n=( ) A. 0 B e-2 C e2 D 2e-228. 下列函数在（-，+）内单调递减的是（ ）A y=-x B y=x2 C y=-x2 D y=cosx29. 设y=x -+5,设y=( )A -x - B -x C -x -+5 D -x -+530. 曲线y=x3-6x+2的拐点坐标（ ）A （0,4） B （0,2） C（0,3） D (0,-2)31. dx等于( )A sinx+c B sinx C cosx+c D cosx32. 等于（ ） A 1 B 2 C D -133. =( ) A B 11 C 0 D 534. 设函数z=e+,则=( )A e+(dx+dy) B 2e+(dx+dy)C ex+y (dx+dy) D -e+(dx+dy) 35. 若cotx是f(x)一个原函数，则f(x)等于（ ）A csc2x B -csc2x C sec2x D -sec2x36.设=7,则a的值是（） A B 1 C 5 D 737.已知函数f(x)在点x0处可等，且f (x0)=3,则等于（）A 3 B 0 C 2 D 638.当x 0时，sin(x2+5x3)与x2比较是（）A较高阶无穷小量B较低阶的无穷小量C等价无穷小量D同阶但不等价无穷小量39.设y=x-5+sinx，则y等于（）A -5x-6+cosx B -5x-4+cosx C -5x-4-cosx D -5x-6-cosx40.设y=，则f(1)等于（）A 0 B -1 C -3 D 341.等于（）A 2ex+3cosx+c B 2ex+3cosx C 2ex-3cosx D 142.等于（） A. 0 B. 1 C. D.43.设函数z=arctan，则等于（）A. B. C. D. 44.设y=e2x+y则=（） A. 2ye2x+y B. 2e2x+y C. e2x+y D .e2x+y二. 填空题： 1. _. 2. 设，则_. 3. 设，则_. 4. _. 5. 设，则_. 6. 已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为_. 7. 微分方程的通解是_. 8. 幂级数的收敛区间是_. 9. 设，则与同方向的单位向量_. 10. 交换二次积分的次序得_.11. 设为连续函数，则_。12. 函数的单调递减区间是_。13. 设是的一个原函数，则_。14. 设，则_。15. 设，其中k为常数，则_。16. 设，则_。17. 微分方程的通解为_。18. 点到平面的距离_。19. 幂级数的收敛区间是_（不含端点）。20. 方程的通解是_。21. 已知 则 ( ).（A）1 （B） （C） （D）22下列等式成立的是 （ ）.（A） 若 和 均发散，则 必发散 ； （B） 若 和 均发散，则 必发散 ； （C） 若 和 均发散，则 必发散 ； （D） 若 收敛， 发散，则 必发散23设函数在上连续可导，且，则当（ ）时，在处取得极大值.当时，当时，,当时，当时，,当时，当时，,当时，当时，.24设函数在点处可导，则25设函数，则积分（ ）. 26可微函数在点处有是函数在点取得极值的（ ）.充分条件， 必要条件，充分必要条件， 既非充分条件又非必要条件.27设级数和级数都发散，则级数是（ ）.发散， 条件收敛， 绝对收敛，可能发散或者可能收敛.28.函数的定义域为，则函数的定义域是 29. 当时，与不是等价无穷小量的是 30.设，其中，则下面结论中正确的是 31.曲线与轴所围图形的面积可表示为 32设为非零向量，且，则必有 33. (2x2-5x+4）= 34. = 35.设函数y=,求y/= 36.y=x3拐点坐标是 37.= 38.= 39. = 40.设二元函数y=sin(x2+y2),则= 41.已知zarcsin(xy),dz= 42.曲线y=e-x在点（0,1）处的切线斜率k= 43. (1-)2x= Ke2x x044.设函数f(x)= 在x=0处连续，则k 2cosx x045.函数-e-x是f(x)的一个原函数，则f(x) 46.函数y=x-ex的极值点x= 47.设函数y=cos2x ，求y= 48.曲线y=3x2-x+1在点（0,1）处的切线方程y= 49. 50. = 51. = 52.设z=exy,则全微分dz= 三. 解答题： 1. 计算 2. 设，求 3. 判定函数的单调区间 4. 求由方程所确定的隐函数的微分 5 设函数，求 6. 求曲线的渐近线 7. 设区域为D：，计算 8. 求极限。 9. 设，求。 10. 求函数在区间上的最大值与最小值。 11. 求不定积分。 12. 设由方程确定，求。 13. 若区域D：，计算二重积分。 14. 求过三点A（0，1，0），B（1，-1，0），C（1，2，1）的平面方程。 15. 判定级数的收敛性。 16. 求方程的一个特解。 17. 设为连续函数，且，求。 18. 设抛物线过原点（0，0）且当时，试确定a、b、c的值。使得抛物线与直线，所围成图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。 19. 求幂级数的和函数，并由此求级数的和。20. 求 .21.已知 , 求 .22.求不定积分 .23计算 , 其中 是直线 和 所围的封闭平面区域 .24.求幂级数 的和函数 .25. 已知：. 确定常量 的取值的范围 , 使 能由 唯一线性表示, 并写出该表示式 . 26. , 求矩阵 ， 使 为对角阵 .27. 设直线 : 在平面 上,而平面 与曲面 相切于点 , 求 , 的值.28. 将函数 展开成 的幂级数.29. 已知矩阵 ， 且 , 其中 为 的伴随矩阵 , 求矩阵 30 计算极限 . 31. 计算二重积分 ，其中 为直线 ，和 所围成的平面区域 .32设函数 在 内有且仅有 1 个零点，求正数 的取值范围 . 33已知矩阵 ， ，且矩阵 满足 ，其中 为单位阵 ，求 .34求函数的导数.35. 求函数在区间（1，2）中的极大值，极小值. 36. 求函数的n 阶导数.37计算积分. 38计算积分.39计算积分.40设函数，求偏导数和.41.把函数展开成的幂级数，并求出它的收敛区间.42.求二阶微分方程的通解.43.设是两个向量，且求的值，其中表示向量的模.44计算。 45设，求。46设函数 ，求。 47计算不定积分.48计算定积分。49求微分方程满足的特解。50求过直线 ，且垂直于已知平面的平面方程。51将函数展开成的幂级数，并指出收敛半径。52计算，其中由直线和双曲线所围成的封闭图形。53当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小，求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积。54.计算 55.设函数Z=ey(x2+y2) 求dz=？58.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值 1 259.（1）求直线y=2x y=x x=2 x=4所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 （2）求直线x=0 x=2 y=0 与抛物线 y=-x2+1 所围成的平面图形的面积S如图所示 A(2,-3)60.设ZZ（x,y）由下面方程所确定，试求dzyz2-xz3-1=0 61. 62.设函数y=x3e2x,求dy 64.计算 65.求函数y=的单调区间和极值66.设函数z=(x,y)是由方程x2+y2+2x-2yz=ez所确定的隐函数，求dz67.求曲线y=ex,y=e-x与直线x=1所围成的平面图形面积四应用题： 1. 已知方程组 的通解为 ，（ 为任意常数）. 给定方程组 : 求 的通解, 并求 的非零公共解 .2.假定足球门宽为 4 米, 在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进(如图) . 问: 他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角 ?3.已知 ， 且 , 求方程组 的 通解 .4为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 （万元）时，销售量为 （吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？5设 ， ； 问：（1）在什么条件下， 可由 ， 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下， 可由 ， 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ， 不能由 ， 线性表示 ？6计算积分，其中是整数.7已知函数，其中常数满足，（1）证明函数在（0，1）内至少有一个根，（2）当时，证明函数在（0，1）内只有一个根.8.（本题8分）设函数在上连续，且，证明方程在内有且仅有一实根。9证明：若，则。10设是连续函数，求证积分。五证明题： 1. 设 有连续偏导数 , 且对任意 有 . 证明 ： 对 有 .2.设 在 内连续,且 , 证明: 总存在一点 , 使 得 .3.设向量 ， ， ， 是线性方程组 的一个基础解系 ，向量 不是 的解向量 ， 证明向量组 ， ， ， ， 线性无关 .专升本高等数学试题答案一. 选择题 1. 令 ，反函数为，选B 2. 应选C。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在 3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，故直线与x轴垂直，故应选A。 4. 在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。 5. 特征根为，由此可见（）是特征根，于是可设，应选C。6. C不存在。 7. C正确 例：，则在上非奇非偶，但。 8. ，应选C。 9. 故收敛区间是（-1，1），故选B。 10. ，故选A。11. 12. 13. 14 15连续区间是 ， 16，17（1）或者，或者（其中是参数）， （2） 18， 19（1）， （2）.20。21函数的间断点是。22若在处连续，则23。设，则。24设，交换积分次序后。25已知则。26微分方程的通解为，其中为任意常数。27.B 28. A 29.A 30.B 31.A 32.A 33.A 34.A 35.B36. D 37 .D 38 .C 39 .A 40 .C 41 .A 42. C 43.A 44. B二.填空题： 1. 2. 3. 解： 4. 解 5. （） 6. 平面的法向量为 平面的方程为即 7. 解： 通解为 8. 解：令， 由解得，于是收敛区间是 9. ， 10. 解：积分区域如图所示：D：，于是 11. 12. 当时，故y单调递减，故单调区间是（-2，1） 13. 14. 15. 16. 17. 方程改写为，两边积分得： 即 18. 点到平面的距离公式为 所求 19. ，收敛半径 由得：，故收敛区间是（-3，5） 20. 特征方程为：，特征根为通解为21. 22. 23.B 24.D 25.B 26.B 27.D28.C 29.D 30.D 31C 32.B 33.7 34. 35.(2-lnx) 36. (0,0) 37. ex2+C38. 1 39. 1- 40.2xcos(x2+y2) 41. (ydx+xdy) 42. -1 43.e-2 44.2 45. e-x 46. 0 47.-4cos2x 48. y=-x+1 49. +c 50. 2ex+3cosx+c 51. 52. dz=exy(ydx+xdy)三. 解答题： 1. 解： 2. 解： 3. 解： 当时，函数单调增加；当或时，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 4. 解：方程两边对求导（注意是的函数）： 解得 5. 解：设，则，两边求定积分得 解得：，于是 6. 解：（1） 曲线没有水平渐近线 （2），曲线有铅直渐近线 （3） 所以曲线有斜渐近线： 7. 解：积分区域如图所示（阴影部分） 8. 解： 9. 解： 所以 10. 解：函数在处不可导， 令得驻点，求得 于是y在上的最大值为，最小值为 11. 解：令，于是 12. 解：令，则 于是， 13. 解：D用极坐标表示为 14. 平面方程为： ，即 15. 解：因为是公比的等比级数从而收敛，再考察级数 其中满足， 由莱布尼兹判别法知收敛，级数收敛。（两收敛级数之和收敛） 16. 解：特征方程为，特征值 ，这里不是特征根，可设特解为： 代入原方程并整理得： 解得： 于是 17. 解：令，则 即 于是 18. 解：因抛物线过原点（0，0），有 依题意，如图所示阴影部分的面积为 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 令，得驻点： 由问题的几何意义可知，当，从而时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为 19. 解：令，则且有 又 于是 20.解: 原式 = 21.解: 因 在处连续. = 22.解: 原式 23.解: = . 24.解: 令 其中 , 解得: , . 25.解: 可由线性表示. 26.解: 的特征值为: 1,1,1,9. 的特征向量: 的特征向量: 27. 解 曲面在处的法向量为 平面方程为 , 即 . 直线的方程又可写为,代入平面的方程解得,. 28. 解 , , , , . =, . 29. 解: = 30 31 解法一 画出区域 D 的示意草图 解法二 画出区域 D 的示意草图 32 当时， 当 时， 所以本题答案是： 。 33解：APAAPBBPBBPAE AP（AB）BP（AB）E （APBP）（AB）E （AB）P（AB）E AB （AB）-1 P 34解 ：令， 则 35解：，驻点为 （法一） ， ， （极大值）， ， （极小值）. （法二）1（1，0）02正0负0正 -2递增1递减递增当时，（极大值），当时，（极小值） 36解：利用莱布尼兹公式 37解： 38解： C （其中C是任意常数） 39解： 2 2+=。 40解： . 41：解：， 收敛区间为（-1， 3）. 42.解：特征方程为，特征值为（二重根）， 齐次方程的通解是，其中是任意常数.的特解是， 所以微分方程的通解是，其中是任意常数 43解：. 44计算。解：= 又因为 所以=。 45设，求。解；= 46设函数 ，求。解： 47计算不定积分.解： = 48计算定积分。解：=。 49求微分方程满足的特解。解：微分方程对应的特征方程为 特征根为 而，所以为单根， 对应的齐次方程的通解为 非齐次方程的通解为代入原方程得 有通解 有有解 50求过直线 ，且垂直于已知平面的平面方程。解：通过直线的平面束方程为 即 要求与平面垂直，则必须 所求平面方程为 51将函数展开成的幂级数，并指出收敛半径。解： = = = 收敛半径 52计算，其中由直线和双曲线所围成的封闭图形。解： = = 53当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小，求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积。解：设所围面积为 令 ，所以为最小的面积 54. = lim=2 55.dz=dey(x2+y2)=ey(x2+y2)d(yx2+y3)=ey(x2+y2)(x2dy+2xydx+3y2dy)= ey(x2+y2)2xydx+(x3+3y2)dy56. =- cos(x2+1)+C57. =lin2x=58.解: =4-2x=0 x=2 =-4-2y=0 y=-224y=2x可解得A=-2 B=0 C2B2-AC=-40,A=-20f(2,-2)=8为极大值59.（1）Vx=- y=x=x3=56(2)S=dx+=(-+x) +(-x) =260.F(x,y,z)=yz2-xz3-1 =-z3, =z2, =2yz-3xz2=-= =-=- Dz=dx - -dy61 = 62. y=(x3)e2x+(e2x)x3=3x2e2x+2e2xx3 =x2e2x(3+2x) dy=x2e2x(3+2x)dx63 =cos(x2+1)+c64. =xln(2x+1) -=ln3-x-ln(2x+1) =-1+ln365. 1) 定义域x-1 2) y=3）令y0,得出x=0(注意x=1这一点也应该作为我们考虑单调区间的点)x0（0，+）（-，1）（-1，0）-10y无意义+-F(0)=1极小值无意义y函数在（-，1）U（-1,0）区间内单调递减，在（0，+）内单调递增该函数在x=0处取得极小值，极小值为11By=e-xy=ex66 =2x+2