高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修23.ppt

2 4正态分布 第二章随机变量及其分布 学习目标1 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2 了解变量落在区间 2 2 3 3 的概率大小 3 会用正态分布去解决实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一正态曲线 思考函数f x x r的图象如图所示 试确定函数f x 的解析式 由函数表达式可知 函数图象的对称轴为x 2 正态曲线的性质 曲线位于x轴 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线对称 梳理 1 正态曲线 上方 函数 x x 其中实数 0 为参数 我们称 x 的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线 x 曲线在x 处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 如图甲所示 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 总体的分布越集中 如图乙所示 1 知识点二正态分布 一般地 如果对于任何实数a b a b 随机变量x满足p a x b 则称随机变量x服从正态分布 正态分布完全由参数和确定 因此正态分布常记作n 2 如果随机变量x服从正态分布 则记为x n 2 知识点三3 原则 1 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 1 p x 2 p 2 x 2 3 p 3 x 3 2 通常服从正态分布n 2 的随机变量x只取 3 3 之间的值 0 6826 0 9974 0 9544 1 函数 x 中参数 的意义分别是样本的均值与方差 2 正态曲线是单峰的 其与x轴围成的面积是随参数 的变化而变化的 3 正态曲线可以关于y轴对称 思考辨析判断正误 题型探究 例1如图所示是一个正态分布的图象 试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式 求出随机变量总体的均值和方差 类型一正态曲线的图象的应用 解答 解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x 20对称 反思与感悟利用图象求正态分布密度函数的解析式 应抓住图象的两个实质性特点 一是对称轴为x 二是最大值为 这两点确定以后 相应参数 便确定了 代入f x 中便可求出相应的解析式 跟踪训练1某次我市高三教学质量检测中 甲 乙 丙三科考试成绩的直方图如图所示 由于人数众多 成绩分布的直方图可视为正态分布 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 a 甲科总体的标准差最小b 丙科总体的平均数最小c 乙科总体的标准差及平均数都居中d 甲 乙 丙的总体的平均数不相同 解析由题中图象可知三科总体的平均数 均值 相等 由正态密度曲线的性质 可知 越大 正态曲线越扁平 越小 正态曲线越尖陡 故三科总体的标准差从小到大依次为甲 乙 丙 故选a 答案 解析 例2设x n 1 22 试求 1 p 1 x 3 解因为x n 1 22 所以 1 2 p 1 x 3 p 1 2 x 1 2 p x 0 6826 类型二利用正态分布的对称性求概率 解答 2 p 3 x 5 解因为p 3 x 5 p 3 x 1 解答 3 p x 5 解答 引申探究本例条件不变 若p x c 1 p x c 1 求c的值 解因为x服从正态分布n 1 22 所以对应的正态曲线关于x 1对称 又p x c 1 p x c 1 解答 反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法 1 对称法 由于正态曲线是关于直线x 对称的 且概率的和为1 故关于直线x 对称的区间上概率相等 如 p x a 2 3 法 利用x落在区间 2 2 3 3 内的概率分别是0 6826 0 9544 0 9974求解 跟踪训练2已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 0 8 则p 0 2 等于a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 解析 随机变量 服从正态分布n 2 2 2 对称轴是x 2 p 4 0 8 p 4 p 0 0 2 p 0 4 0 6 p 0 2 0 3 故选c 答案 解析 例3有一种精密零件 其尺寸x 单位 mm 服从正态分布n 20 4 若这批零件共有5000个 试求 1 这批零件中尺寸在18 22mm间的零件所占的百分比 解 x n 20 4 20 2 18 22 于是尺寸在18 22mm间的零件所占的百分比大约是68 26 类型三正态分布的应用 解答 2 若规定尺寸在24 26mm间的零件不合格 则这批零件中不合格的零件大约有多少个 解 3 14 3 26 2 16 2 24 解答 因此尺寸在24 26mm间的零件大约有5000 2 15 108 个 反思与感悟解答正态分布的实际应用题 其关键是如何转化 同时应熟练掌握正态分布在 2 2 3 3 三个区间内的概率 在此过程中用到归纳思想和数形结合思想 跟踪训练3在某次考试中 某班同学的成绩服从正态分布n 80 52 现已知该班同学成绩在80 85分的有17人 该班同学成绩在90分以上的有多少人 解 成绩服从正态分布n 80 52 80 5 则 75 85 成绩在 75 85 内的同学占全班同学的68 26 成绩在 80 85 内的同学占全班同学的34 13 设该班有x人 则x 34 13 17 解得x 50 2 80 10 70 2 80 10 90 成绩在 70 90 内的同学占全班同学的95 44 成绩在90分以上的同学占全班同学的2 28 即有50 2 28 1 人 即成绩在90分以上的仅有1人 解答 达标检测 a 1 2c 1 2 1 2 1 2 解析根据正态曲线的特点 正态分布曲线是一条关于直线x 对称 在x 处取得最大值的连续曲线 当 一定时 越大 曲线的最高点越低且较平稳 反过来 越小 曲线的最高点越高且较陡峭 故选a 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 2 正态分布n 0 1 在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率为p1 p2 则二者大小关系为a p1 p2b p1 p2c p1 p2d 不确定 解析根据正态曲线的特点 图象关于x 0对称 可得在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率p1 p2相等 1 2 3 4 5 答案 解析 3 设随机变量 服从正态分布n 2 且二次方程x2 4x 0无实数根的概率为 则 等于a 1b 2c 4d 不能确定 1 2 3 4 5 解析依题意可知 90 15 故p 60 x 120 p 90 2 15 x 90 2 15 0 9544 1000 0 9544 954 故大约有学生954人 答案 解析 4 已知服从正态分布n 2 的随机变量在区间 2 2 和 3 3 内取值的概率分别为68 26 95 44 和99 74 若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩x服从正态分布n 90 152 则此次考试成绩在区间 60 120 内的学生大约有a 997人b 972人c 954人d 683人 1 2 3 4 5 又p x c 1 p x c 1 故有2 c 1 c 1 2 c 2 解答 5 设随机变量x n 2 9 若p x c 1 p x c 1 1 求c的值 解由x n 2