2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准（加试）（定稿）.doc

2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）ABCDEFRK如图，E、F分别是ABC，ACD的内心，AC平分BAD，AC2ABAD，延长EC交CDF的外接圆于点K，延长FC交BCE的外接圆于点R若RKEF，求证：点A是BCD的外心证明：如图，连接ER，FK因为BACCAD，AC2ABAD，所以ABCADC，ABCACDABCDEFRK又EBCABC，ACFACD，所以EBCACF.由EBCERC得，ERCACF，所以ERAC同理FKAC，于是ERFK 20分又因为RKEF，所以四边形EFKR为平行四边形，从而ERFK因为ERAC，所以RECECAECB又因为EBCERC，ECEC，所以BECECR，从而BCER同理，CDFK，所以 BCCD由1，得ABCADC，于是ABACAD，即A为BCD外接圆的外心 40分二、（本题满分40分）求所有的正整数n，使得对于任意正实数a、b、c满足abc1，有abc(anbncn)解：（1）当n3时，取a，bc，则abc(anbncn)(2n1)所以n3不满足题意 10分（2）当n1时，abc(abc)abc()3，所以n1时，满足题意 20分（3）当n2时，原不等式也成立令xabbcca，则a2b2c212x，由(abbcca)23abc(abc)，得3abcx2于是，abc(a2b2c2)x2(12x)因此 0x，从而x2(12x)()3即abc(a2b2c2)x2(12x) 40分 三、（本题满分50分）设n为正整数，求满足以下条件的三元正整数组a，b，c的个数：（1）abn；（2）1cb；（3）a、b、c的最大公约数为1解：用(a，b，c)表示a、b、c的最大公约数令Sna，b，c| a、b、c为正整数，abn，1cb，(a，b，c)1，记Sn中元素的个数为 f(n) (nN*)显然f(1)1如果np，其中p为素数，1设a，b，cSn，若b1，则ap，c1；若bpt，1t1，则apt，(c，p)1，1cb；若bp，则a1，1cb因此，f(p)1(pt) pp1p(这里(x)为Euler函数) 20分下证：如果m，n为互素的正整数，那么f(mn)f(m)f(n)首先，对每个a，b，cSmn由于abmn令b1(b，n)，b2(b，m)，那么(b1，b2)1，再令a1(a，n)，a2(a，m)， 那么(a1，a2)1，而且a1b1n，a2b2m因为1(a，b，c)(a1a2，b1b2，c)(a1a2，b1b2)，c)(a1，a2)(b1，b2)，c)那么 (a1，b1，c)1，(a2，b2，c)1，令cic(modbi)，1cibi，i1，2那么(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c2)1，因此，a1，b1，c1Sn，a2，b2，c2Sm 30分其次，若a1，b1，c1Sn，a2，b2，c2Sm令aa1a2，bb1b2由于(m，n)1，从而(b1，b2)1由中国剩余定理，存在唯一的整数c，1cb，满足 40分显然(a1，b1，c)(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c)(a2，b2，c2)1，从而(a，b，c)(a，b)，c)(a1，b1)(a2，b2)，c)(a1，b1，c) (a2，b2，c)1因此，a，b，cSmn所以，f(mn)f(m)f(n)利用可知，f(n)n(1) 50分四、（本题满分50分）设a、b、c、d、e为正实数，且a2b2c2d2e22若5个正三角形的面积分别为a2，b2，c2，d2，e2求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为1的正三角形ABC证明：不妨设abcde0若a1，则面积为a2的三角形可覆盖ABC 10分若a1，则必有bc1，这是因为当c时，由于bc，则bc1；当c时，又a1，则b22a2c2d2e213c2(1c)2，所以bc1，从而ac1，ab1 20分用面积为a2，b2，c2的三个三角形覆盖的ABC，使得每个三角形都分别有一个顶点与ABC的一个顶点重合，且有两条边在ABC的两条边上于是，这三个三角形两两相交若这三个三角形能覆盖ABC，则结论成立否则有(ab1)(bc1)(ca1)1，得2abc0 30分令中间不能被a2，b2，c2的三个三角形所覆盖的正三角形面积为f 2，则f 21(a2b2c2)(ab1)2(bc1)2(ca1)2(2abc)2，得f2abc 40分下证：d f 若d，由abcd，则f2abc，从而 df若d，由a、b、c1，有d2d2d2