高中数学 （主干知识+典例精析）8.1基本公式、直线的斜率与直线方程课件 理 新人教B版.ppt

第一节基本公式 直线的斜率与直线方程 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年3考高考指数 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 掌握确定直线位置的几何要素 2 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的三种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 3 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 4 掌握两点间的距离公式 1 基本公式 直线的斜率 方程以及两直线的位置关系是高考的重点 2 常和圆锥曲线综合命题 重点考查函数与方程 数形结合思想 3 多以选择题和填空题的形式出现 属于中低档题目 1 数轴上及平面直角坐标系中的基本公式 1 数轴上的基本公式 直线坐标系一条给出了 和 的直线叫做数轴 或者说在这条直线上建立了直线坐标系 原点 度量单位 正方向 向量的有关概念 位移是一个既有 又有 的量 通常叫做位移向量 简称为向量 从 到 的向量 记作点a叫做向量的 点b叫做向量的 线段ab的长叫做向量ab的长度 记作 数轴上 且 的向量叫做相等的向量 数轴上的两点a x1 b x2 则a b两点间的距离d a b ab 大小 方向 点a 点b 起点 终点 同向 等长 x2 x1 2 平面直角坐标系中的基本公式 两点的距离公式已知平面直角坐标系中的两点a x1 y1 b x2 y2 则d a b 中点公式已知平面直角坐标系中的两点a x1 y1 b x2 y2 点m x y 是线段ab的中点 则x y 即时应用 1 a b为数轴上的两点 b的坐标为 5 ba 6 则a的坐标为 解析 设a的坐标为x 则ba x 5 x 5 又 ba 6 x 5 6 x 11 答案 11 2 已知a 3 4 b 3 2 m为ab的中点 则m到点c 3 0 的距离为 解析 设m x y 则x 0 y 3 m 0 3 d m c 答案 2 直线中的有关概念 1 直线的倾斜角 定义 x轴 与直线 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 倾斜角的范围 2 直线的斜率 定义 直线y kx b中的 叫做这条直线的斜率 垂直于x轴的直线斜率不存在 正向 向上 零度角 0 180 系数k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k 若直线的倾斜角 则k tan 即时应用 1 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 2 直线 y 1 0的倾斜角为 解析 1 由斜率公式得 解得m 1 2 y 1 0的斜率 即倾斜角 的正切值tan 又 0 答案 1 1 2 3 直线方程的几种形式 即时应用 1 思考 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能否写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 提示 能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 当x1 x2且y1 y2时 直线方程为 可化为上式 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为 y y1也适合上式 当y1 y2x1 x2时 直线方程为 x x1也适合上式 综上可知 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 2 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 解析 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为即3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 两点间距离公式和中点公式 方法点睛 1 数轴的公式 1 数轴上的两点a x1 b x2 则向量的坐标ab x2 x1 a b两点间的距离为d a b ab x2 x1 2 数轴上的任意三点a b c 都有 和ac ab bc成立 2 两点间的距离公式平面直角坐标系中 两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 的距离表示为d p1 p2 1 当p1p2平行于x轴时 d p1 p2 x2 x1 2 当p1p2平行于y轴时 d p1 p2 y2 y1 3 当p2点是原点时 d p1 p2 提醒 要注意 ab与 ab 的不同 表示向量 它既有大小又有方向 ab表示向量的坐标 或数量 它是一个实数 ab 表示向量的大小 即线段ab的长度 例1 1 已知数轴上a b两点的坐标分别为x1 a b x2 a b 求ab ba d a b d b a 2 已知函数f x 求f x 的最小值 并求取得最小值时x的值 解题指南 1 明确ab为数轴上的数量 或坐标 明确d a b 为a b两点间的距离 2 将两被开方式配方 可发现f x 表示平面直角坐标系中动点p x 0 到两定点的距离之和 最后利用数形结合的思想求解 规范解答 1 ab x2 x1 a b a b 2b ba x1 x2 a b a b 2b d a b x2 x1 2 b d b a x1 x2 2 b 2 f x 上式表示点p x 0 与点m 2 2 的距离加上点p x 0 与点n 1 1 的距离 即求x轴上一点p x 0 到点m 2 2 n 1 1 的距离之和的最小值 由图利用对称可知 函数f x 的最小值为两点n 1 1 和m 2 2 间的距离 f x min 再由两点式直线方程得直线n m的方程为3x y 4 0 令y 0得x 故x 时 f x 取得最小值 互动探究 若本例 2 中f x 求f x 的最大值 并求取得最大值时x的值 解析 f x 上式表示p x 0 到m 2 2 与到n 1 1 的距离之差 f x max mn的方程为x y 0 令y 0得x 0 当x 0时 f x max 反思 感悟 1 第 1 小题要注意区分ab ba d a b d b a 等符号的意义 2 第 2 小题要有转化的思想和意识 将问题转化到熟悉的 几何问题 来求解 变式备选 已知平行四边形的三个顶点是a 3 2 b 5 2 c 1 4 求它的第四个顶点d的坐标 解析 如图 若abcd1成平行四边形 对角线ac bd1互相平分 ac bd1的中点重合 设d1 x1 y1 由中点坐标公式有 点d1的坐标为 3 0 若abd2c成平行四边形 则同理可求得点d2的坐标为 1 8 若ad3bc成平行四边形 则同理可求得点d3的坐标为 9 4 综上所述 点d的坐标为 3 0 或 1 8 或 9 4 直线的倾斜角与斜率 方法点睛 1 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式求斜率 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 提醒 对于直线的倾斜角 斜率k tan 90 若已知其一的范围可求另一个的范围 例2 1 2012 济南模拟 直线xsin ycos 0的倾斜角 是 a b c d 2 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 3 2012 福州模拟 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 a 0 b c 0 d 解题指南 1 将一般式化成斜截式求出斜率 再求倾斜角 2 直线l的斜率的取值范围 可由直线pa pb的斜率确定 也可先写出直线l的方程 再由点a b在直线l的异侧 或一点在l上 求解 3 直线倾斜角与直线的斜率有关 而已知直线的方程 因此可先求直线的斜率 由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围 规范解答 1 选d 由题意得 直线方程为y tan k tan tan 0 2 方法一 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以kpa kpb 如图所示 因此 直线l的斜率k的取值范围为k 4或k 方法二 依题设知 直线l的方程为 y 1 k x 1 即kx y 1 k 0 若直线l与线段ab有交点 则a b两点在直线l的异侧 或a b之一在l上 故 2k 4 k 3k 3 k 0 即 k 4 4k 3 0 解得 k 4或k 答案 k 4或k 3 选b 因为直线x a2 1 y 1 0的斜率k 且 1 0 所以直线的倾斜角的取值范围是 互动探究 本例 3 中的直线方程改为 a2 1 x y 1 0 结果如何 解析 由直线方程 a2 1 x y 1 0可得该直线的斜率k a2 1 1 所以直线的倾斜角 的取值范围为0 或 反思 感悟 1 直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索 如本例第 3 题由直线的方程 可求出直线的斜率 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围 2 已知倾斜角的取值范围 求斜率的取值范围 实质上是求k tan 的值域问题 已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围 实质上是在 0 上解关于正切函数的三角不等式问题 由于函数k tan 在 0 上不单调 故一般借助函数图象来解决此类问题 求直线的方程 方法点睛 1 直线方程有以下几种主要形式点斜式 两点式 一般式 斜截式和截距式 重点应理解和掌握直线方程的点斜式 并在此基础上研究直线方程的其他几种形式 掌握它们之间的联系和区别 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 求直线方程的常用方法有 1 直接法 根据已知条件 选择恰当形式的直线方程 直接求出方程中系数 写出直线方程 2 待定系数法 先根据已知条件设出直线方程 再根据已知条件构造关于待定系数的方程 组 求系数 最后代入求出直线方程 提醒 点斜式 斜截式 截距式 两点式都有各自的使用条件 应注意区分 如点斜式 斜截式必须是直线斜率存在时才能使用 例3 已知直线l通过点 2 5 且斜率为 1 求直线的一般方程 2 求直线在x轴 y轴上的截距 3 写出直线的截距式方程 解题指南 1 先写出直线的点斜式方程 再将其转化为一般式 2 3 求出直线与两坐标轴的交点坐标 从而指出两个截距 进而再写出截距式方程 规范解答 1 l通过点 2 5 斜率为 点斜式方程为y 5 x 2 整理可得其一般式方程为3x 4y 14 0 2 令x 0得y 令y 0得x 直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为 3 由 2 可知直线l的截距式方程为 1 互动探究 本例中将 斜率为 改为 斜率不存在 结果如何 解析 1 当斜率不存在时 直线方程为x 2 化为一般式方程为x 2 0 2 直线与x轴的交点为 2 0 与y轴无交点 直线在x轴上的截距为 2 在y轴上无截距 3 不能用截距式来表示它的方程 反思 感悟 1 求解直线方程时 要选择适当的形式 并注意各自的使用范围 2 求直线方程时 若不能断定直线是否具有斜率时 应对斜率存在与不存在加以讨论 在用截距式时 应先判断截距是否为0 若不确定 则需分类讨论 3 注意 截距 不一定是正数 变式备选 求适合下列条件的直线方程 1 经过点p 3 2 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 2 经过点a 1 3 倾斜角等于直线y 3x的倾斜角的2倍 解析 1 设直线l在x轴 y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 l的方程为y x 即2x 3y 0 若a 0 则设l的方程为 1 l过点 3 2 1 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 2 由已知 设直线y 3x的倾斜角为 则所求直线的倾斜角为2 tan 3 tan2 又直线经过点a 1 3 因此所求直线方程为y 3 x 1 即3x 4y 15 0 直线方程的综合应用 方法点睛 直线方程综合问题的类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的某函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识 如方程解的个数 根的存在问题 不等式的性质 基本不等式等 来解决 例4 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 解题指南 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标 写出表示 abo的面积的表达式 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 方法一 由题可设a a 0 b 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 1 l过点p 3 2 1 b 且a 3 b 2 从而s abo a b 故有s abo a 3 6 2 6 12 当且仅当a 3 即a 6时 s abo min 12 此时b 4 此时直线l的方程为 1 即2x 3y 12 0 方法二 由题可设直线方程为 1 a 0 b 0 代入p 3 2 得 1 2 得ab 24 从而s abo ab 12 当且仅当 时 等号成立 s abo取最小值12 此时k 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 3 0 b 0 2 3k s abo 2 3k 3 12 12 12 当且仅当 9k 即k 时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 方法四 如图所示 过p分别作x轴 y轴的垂线pm pn 垂足分别为m n 设 pam bpn 显然 0 则s abo s pbn s四边形npmo s pma 3 3 tan 6 2 2 6 tan 6 2 12 当且仅当tan 即tan 时 s abo取最小值12 此时直线l的斜率为 其方程为2x 3y 12 0 反思 感悟 1 此题是直线方程的综合应用 解题时 可灵活运用直线方程的各种形式 以便简化运算 2 以直线为载体的面积 距离的最值问题 一般要结合函数 不等式的知识或利用对称性解决 变式训练 已知直线l kx y 1 2k 0 k r 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于a 交y轴正半轴于b aob的面积为s o为坐标原点 求s的最小值并求此时直线l的方程 解析 1 直线l的方程是 k x 2 1 y 0 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 2 由方程知 当k 0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1 2k 要使直线不经过第四象限 则必须有当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 3 由l的方程 得a 0 b 0 1 2k s oa ob 1 2k 4k 4 2 2 4 4 成立的条件是k 0且4k 即k smin 4 此时直线l的方程为 x 2y 4 0 依题意得 解得k 0 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 创新探究 与直线方程有关的创新命题 典例 2011 安徽高考 在平面直角坐标系中 如果x与y都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线y kx b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当