高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理课件.ppt

第十一章计数原理 11 2二项式定理 高考数学 浙江专用 考点二项式定理及应用1 2017课标全国 理 4 5分 x y 2x y 5的展开式中x3y3的系数为 a 80b 40c 40d 80 五年高考 答案c本题考查二项式定理 求特定项的系数 2x y 5的展开式的通项为tr 1 2x 5 r y r 1 r 25 r x5 ryr 其中x2y3项的系数为 1 3 22 40 x3y2项的系数为 1 2 23 80 于是 x y 2x y 5的展开式中x3y3的系数为 40 80 40 2 2017课标全国 理 6 5分 1 x 6展开式中x2的系数为 a 15b 20c 30d 35 答案c本题考查二项式定理中项的系数问题 对于 1 x 6 若要得到x2项 可以在中选取1 此时 1 x 6中要选取含x2的项 则系数为 当在中选取时 1 x 6中要选取含x4的项 即系数为 所以 展开式中x2项的系数为 30 故选c 3 2014浙江 5 5分 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记xmyn项的系数为f m n 则f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 a 45b 60c 120d 210 答案c在 1 x 6的展开式中 xm的系数为 在 1 y 4的展开式中 yn的系数为 故f m n 从而f 3 0 20 f 2 1 60 f 1 2 36 f 0 3 4 故选c 4 2016四川 2 5分 设i为虚数单位 则 x i 6的展开式中含x4的项为 a 15x4b 15x4c 20ix4d 20ix4 答案at3 x4i2 15x4 故选a 易错警示易误认为i2 1而致错 评析正确应用二项展开式的通项是解题的关键 5 2015课标 10 5分 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 a 10b 20c 30d 60 答案c x2 x y 5 x2 x y 5的展开式中只有 x2 x 3y2中含x5y2 易知x5y2的系数为 30 故选c 6 2015湖北 3 5分 已知 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为 a 212b 211c 210d 29 答案d 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 得n 10 从而有 210 又 奇数项的二项式系数和为 29 评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质 组合数性质 考查运算求解能力 7 2015湖南 6 5分 已知的展开式中含的项的系数为30 则a a b c 6d 6 答案d的展开式的通项为tr 1 5 r a r 依题意 令5 2r 3 得r 1 a 1 30 a 6 故选d 8 2015陕西 4 5分 二项式 x 1 n n n 的展开式中x2的系数为15 则n a 4b 5c 6d 7 答案c因为 x 1 n的展开式中x2的系数为 所以 15 即 15 亦即n2 n 30 解得n 6 n 5舍 9 2014湖北 2 5分 若二项式的展开式中的系数是84 则实数a a 2b c 1d 答案ctr 1 2x 7 r 27 rar 令2r 7 3 得r 5 由22 a5 84得a 1 故选c 10 2014湖南 4 5分 的展开式中x2y3的系数是 a 20b 5c 5d 20 答案a展开式的通项为tk 1 2y k 1 k 22k 5x5 k yk 令5 k 2 得k 3 则展开式中x2y3的系数为 1 3 22 3 5 20 故选a 评析本题考查由二项式定理求指定项系数 组合数的计算 考查学生的运算求解能力 属于中档题 11 2017浙江 13 6分 已知多项式 x 1 3 x 2 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 则a4 a5 答案16 4 解析本题考查二项式定理 求指定项系数 组合数计算 考查运算求解能力 设 x 1 3 x3 b1x2 b2x b3 x 2 2 x2 c1x c2 则a4 b2c2 b3c1 12 22 13 2 16 a5 b3c2 13 22 4 12 2017山东理 11 5分 已知 1 3x n的展开式中含有x2项的系数是54 则n 答案4 解析本题主要考查二项展开式 1 3x n的展开式的通项tr 1 3rxr 含有x2项的系数为32 54 n 4 13 2016北京 10 5分 在 1 2x 6的展开式中 x2的系数为 用数字作答 答案60 解析tr 1 16 r 2x r 2 r xr 令r 2 得t3 2 2x2 60 x2 故x2的系数为60 14 2016山东 12 5分 若的展开式中x5的系数是 80 则实数a 答案 2 解析tr 1 a5 r 令10 r 5 解之得r 2 所以a3 80 a 2 15 2016课标全国 14 5分 2x 5的展开式中 x3的系数是 用数字填写答案 答案10 解析tr 1 2x 5 r r 25 r 令5 3 得r 4 t5 10 x3 x3的系数为10 16 2016天津 10 5分 的展开式中x7的系数为 用数字作答 答案 56 解析tr 1 x16 2r x r 1 rx16 3r 令16 3r 7 得r 3 所以x7的系数为 1 3 56 易错警示本题中 展开式的通项易写错 尤其是符号 正负易混 需引起注意 评析本题主要考查二项式定理 对运算求解能力要求较高 属中档题 17 2015课标 15 5分 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32 则a 答案3 解析设f x a x 1 x 4 则其所有项的系数和为f 1 a 1 1 1 4 a 1 16 又奇数次幂项的系数和为 f 1 f 1 又f 1 0 a 1 16 32 a 3 评析二项展开式问题中 涉及系数和的问题 通常采用赋值法 18 2015北京 9 5分 在 2 x 5的展开式中 x3的系数为 用数字作答 答案40 解析 2 x 5的展开式的通项为tr 1 25 r xr r 0 1 5 则x3的系数为 22 40 19 2015天津 12 5分 在的展开式中 x2的系数为 答案 解析的展开式的通项为tr 1 x6 r x6 2r 令6 2r 2 得r 2 所以x2的系数为 20 2015重庆 12 5分 的展开式中x8的系数是 用数字作答 答案 解析二项展开式的通项为tr 1 x3 5 r 令15 3r 8 得r 2 于是展开式中x8的系数为 10 21 2015安徽 11 5分 的展开式中x5的系数是 用数字填写答案 答案35 解析展开式的通项为tk 1 x3 7 k x k x21 4k 令21 4k 5 得k 4 则展开式中x5的系数为 35 22 2015福建 11 4分 x 2 5的展开式中 x2的系数等于 用数字作答 答案80 解析tr 1 x5 r 2r r 0 1 5 令5 r 2 得r 3 所以x2的系数为 23 80 23 2015广东 9 5分 在 1 4的展开式中 x的系数为 答案6 解析 1 4的展开式的通项为tr 1 4 r 1 r 1 r 令 1 得r 2 从而x的系数为 1 2 6 24 2015四川 11 5分 在 2x 1 5的展开式中 含x2的项的系数是 用数字填写答案 答案 40 解析tr 1 2x 5 r 1 r 1 r 25 r x5 r 令5 r 2 则r 3 所以含x2的项的系数是 40 25 2014大纲全国 13 5分 的展开式中x2y2的系数为 用数字作答 答案70 解析tr 1 1 r 令得r 4 所以展开式中x2y2的系数为 1 4 70 26 2014安徽 13 5分 设a 0 n是大于1的自然数 的展开式为a0 a1x a2x2 anxn 若点ai i ai i 0 1 2 的位置如图所示 则a 答案3 解析根据题意知a0 1 a1 3 a2 4 结合二项式定理得即解得a 3 27 2014山东 14 5分 若的展开式中x3项的系数为20 则a2 b2的最小值为 答案2 解析tr 1 ax2 6 r a6 rbrx12 3r 令12 3r 3 则r 3 a3b3 20 即ab 1 a2 b2 2ab 2 即a2 b2的最小值为2 评析本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用 考查学生推理论证及运算求解能力 28 2014课标 13 5分 x a 10的展开式中 x7的系数为15 则a 用数字填写答案 答案 解析tr 1 x10 rar 令10 r 7 得r 3 a3 15 即a3 15 a3 a 29 2014课标 13 5分 x y x y 8的展开式中x2y7的系数为 用数字填写答案 答案 20 解析由二项展开式公式可知 含x2y7的项可表示为x xy7 y x2y6 故 x y x y 8的展开式中x2y7的系数为 8 28 20 30 2016浙江自选 计数原理与概率 模块 04 1 5分 已知 1 2x 4 1 x2 3 a0 a1x a2x2 a10 x10 求a2的值 解析因为 1 2x 4的展开式的通项为 2x r r 0 1 2 3 4 1 x2 3的展开式的通项为 x2 r r 0 1 2 3 所以a2 22 1 21 31 2015浙江自选 计数原理与概率 模块 04 1 5分 已知n为正整数 在 1 x 2n与 1 2x3 n展开式中x3项的系数相同 求n的值 解析 1 x 2n中x3项的系数为 1 2x3 n中x3项的系数为2n 由 2n得 2n 解得n 2 32 2014四川 2 5分 在x 1 x 6的展开式中 含x3项的系数为 a 30b 20c 15d 10 以下为教师用书专用 答案c在 1 x 6的展开式中 含x2的项为t3 x2 15x2 故在x 1 x 6的展开式中 含x3的项的系数为15 评析本题考查二项展开式中求指定项的系数 属容易题 但在 1 x 6前面乘以x后 易误求t4 x3 33 2013辽宁 7 5分 使 n n 的展开式中含有常数项的最小的n为 a 4b 5c 6d 7 答案btr 1 3x n r 3n r 3n r r 0 1 2 n 若tr 1是常数项 则有n r 0 即2n 5r r 0 1 n 当r 0 1时 n 0 不满足条件 当r 2时 n 5 故选b 34 2013江西 5 5分 展开式中的常数项为 a 80b 80c 40d 40 答案c此二项展开式的通项为tr 1 x2 5 r 1 r 2rx 3r 1 r 2r x10 5r 令10 5r 0 得r 2 所以常数项为t3 22 40 选c 35 2013课标全国 5 5分 已知 1 ax 1 x 5的展开式中x2的系数为5 则a a 4b 3c 2d 1 答案d由二项式定理得 1 x 5的展开式的通项为tr 1 xr 所以当r 2时 1 ax 1 x 5的展开式中x2的系数为 当r 1时 x2的系数为 a 所以 a 5 a 1 故选d 36 2013安徽 11 5分 若的展开式中x4的系数为7 则实数a 答案 解析二项展开式的通项为tr 1 x8 r ar 由8 r 4得r 3 故 a3 7 解得a 评析有关二项展开式的问题 先要准确地写出通项并进行计算 注意二项式系数与系数的区别 37 2013浙江 11 4分 设二项式的展开式中常数项为a 则a 答案 10 解析展开式的通项为tr 1 5 r 1 r 令 r 0 得r 3 当r 3时 t4 1 3 10 故a 10 38 2013四川 11 5分 二项式 x y 5的展开式中 含x2y3的项的系数是 用数字作答 答案10 解析二项展开式的通项为tk 1 x5 kyk 令k 3 则t4 x2y3 10 x2y3 故应填10 39 2013天津 10 5分 的二项展开式中的常数项为 答案15 解析通项tr 1 x6 r 1 r r 1 r 令6 r 0 得r 4 所以常数项为 1 4 15 1 2017浙江宁波二模 5月 3 1 2x 6展开式中含x2项的系数为 a 15b 30c 60d 120 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案c由二项展开式知 含x2项的系数为 22 60 故选c 2 2017浙江金华十校调研 5 在 1 x n a0 a1x a2x2 anxn中 若2a2 an 5 0 则正整数n的值是 a 7b 8c 9d 10 答案b由二项展开式的通项公式得tk 1 1n k x k 1 kxk 所以a2 1 n 5 1 n 所以0 2 1 n 所以n 5 且n为偶数 利用组合数的计算公式 知0 2 即 n 2 n 3 n 4 5 120 所以n 8 故选b 3 2017浙江金华十校联考 4月卷 3 若 x 1 8 1 a1x a2x2 a8x8 则a5 a 56b 56c 35d 35 答案b利用二项展开式的通项公式知 a5 1 5 56 故选b 4 2017浙江 超级全能生 联考 3月 2 在二项式的展开式中 常数项是 a 240b 240c 160d 160 答案c二项式的展开式的通项为tk 1 2x 6 k 1 k 26 kx6 2k 令6 2k 0 得k 3 则展开式中的常数项是 1 3 23 160 故选c 5 2017浙江镇海中学模拟卷二 5 已知x10 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a10 x 1 10 则系数ai i 0 1 2 10 中最大的是 a a5b a4或a5c a4或a6d a5或a6 答案c本题考查二项式定理及二项式系数的性质 意在考查学生的运算求解能力和分类讨论的数学思想 因为x10 1 x 1 10 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 10 所以ai 1 i 要满足条件 则i必为偶数 再由二项式系数的性质知 a4 a6最大 故选c 二 填空题 6 2017浙江杭州二模 4月 12 若的展开式中所有二项式系数和为64 则n 展开式中的常数项是 答案6 240 解析由题知 2n 64 所以n 6 展开式的第 k 1 项为tk 1 2x 6 k 1 k 26 kx6 3k 令6 3k 0 知k 2 所以常数项为 1 2 26 2 240 7 2017浙江名校 杭州二中 交流卷三 15 已知 2x 1 3 2x 1 4 a0 a1x a2x2 a7x7 则a1 a3 a5 a7 答案54 解析令x 1 得a0 a1 a7 81 令x 1 得a0 a1 a7 27 两式相减得2 a1 a7 108 a1 a3 a5 a7 54 8 2017浙江嘉兴基础测试 11 在 2 x 6的展开式中 含x3的项的二项式系数为 系数为 用数字作答 答案20 160 解析展开式的通项为tk 1 26 k x k 所以含x3的项为t4 23 x 3 故其二项式系数为 20 系数为 23 160 9 2017浙江高考模拟训练冲刺卷一 12 设的展开式的各项系数之和为m 二项式系数之和为n 若m n 240 则n 展开式中含x2项的系数为 答案4 108 解析依题意有m 4n n 2n 由4n 2n 240 得n 4 tk 1 3x 4 k x k 34 kx4 2k 令4 2k 2 得k 1 故展开式中含x2项的系数为33 108 10 2016浙江金丽衢十二校第二次联考 计数原理与概率 模块 1 已知 x t 6 a0 a1x a2x2 a6x6 t 0 且的展开式中常数项为240 则a0 a2 a4 a6 答案32 解析二项式的展开式中的第r 1项为tr 1 x2 6 r 2t r x r 2t rx12 3r 令12 3r 0 得r 4 则24t4 240 解得t 1 x 1 6 a0 a1x a2x2 a6x6 分别令x 1和x 1 得26 a0 a1 a2 a6 0 a0 a1 a2 a6 两式左右两边分别相加得2 a0 a2 a4 a6 26 故a0 a2 a4 a6 32 1 2017浙江稽阳联谊学校高三4月联考 4 的展开式中含的项是 a 第8项b 第9项c 第10项d 第11项 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案b二项展开式的通项tk 1 2 k 令 k 1 解得k 8 所以所求项是第9项 故选b 2 2017浙江台州4月调研卷 一模 8 已知的展开式中各项系数的和为32 则展开式中系数最大的项为 a 270 x 1b 270 xc 405x3d 243x5 答案b令x 1 得 a 1 5 32 所以a 3 则展开式的通项tk 1 35 k 1 k x5 2k 仅需考虑k为偶数的情形 此时t1 35x5 243x5 t3 33 x 270 x t5 3 x 3 15x 3 故展开式中系数最大的项为270 x 故选b 3 2017浙江温州2月模拟 6 若二项式的展开式中各项系数和为32 则该展开式中含x项的系数为 a 1b 5c 10d 20 答案b令x 1 得2n 32 所以n 5 展开式的通项tk 1 5 k 令 1 解得k 1 故展开式中含x项的系数为 5 故选b 4 2017浙江镇海中学模拟卷一 5 在的二项展开式中 常数项为210 则实数a的值是 a 1b 1c 1d 2 答案c本题考查二项式定理 设第 k 1 项为常数项 则有tk 1 a k 则由5 k 0 解得k 6 则常数项为 a 6 210 解得a 1 故选c 5 2017浙江镇海中学模拟卷四 6 已知1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x 2017 a0 a1x a2x2 a3x3 a2017x2017 则a2 a4 a6 a2016的值是