高中数学 1.2直线与圆的位置关系课件 理 新人教A版选修4.ppt

第二节直线与圆的位置关系 三年15考高考指数 1 圆的切线的判定和性质是本讲的重点内容 也是考试的热点内容 2 考查圆的切线的判定方法 主要出现在证明题中 考查圆的切线的性质 主要是判定定理及其他知识的综合应用 3 切割线定理通常与三角形相似 弦切角 公切线长等知识综合命题 1 圆周角定理和圆心角定理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于的度数 推论1 同弧或等弧所对的相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 圆心角 它所对弧 圆周角 弧 直角 直径 即时应用 1 判断下列说法是否正确 请在括号内填 或 圆心角等于圆周角的2倍 相等的圆周角所对的弧也相等 2 如图 在 o中 所对的圆周角和圆心角分别是 bac boc 且 bac 50 则 boc 解析 1 若弧不一样 则圆心角与圆周角的关系不确定 故错误 半径不同 弧亦不相同 故错误 2 由圆周角定理得 boc 2 bac boc 100 答案 1 2 100 2 圆内接四边形的性质与判定定理1 圆的内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的 定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 1 性质 互补 内角的对角 2 判定 共圆 即时应用 1 如图 四边形abcd内接于 o a 70 则 c 2 如图 在 o中 cbe是圆内接四边形abcd的一个外角 adc 120 则 cbe 解析 1 由圆内接四边形的性质定理1得 a c 180 c 110 2 由圆内接四边形的性质定理2得 cbe adc 120 答案 1 110 2 120 3 圆的切线的性质与判定及弦切角定理 1 圆的切线的性质与判定性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的 半径 切点 圆心 圆周角 即时应用 1 如图 pa切 o于点a po 4 opa 30 则 o的半径等于 2 如图 ab是 o的直径 ac是弦 直线ce和 o切于点c ad ce于d 若 abc 27 则 cad 解析 1 pa切 o于点a oa pa 在rt aop中 po 4 opa 30 oa po sin30 2 2 由弦切角定理得 acd cba 27 在rt acd中 adc 90 cad 90 27 63 答案 1 2 2 63 4 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 2 割线定理从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 相等 3 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 4 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长 圆心和这一点的连线两条切线的夹角 比例中项 相等 平分 即时应用 1 如图 弦ab与cd相交于p点 pa 4 pb 2 则pc pd 2 如图 pe是 o的切线 pab与pcd是 o的割线 pa ab 1 则pe pc pd 3 如图 o的切线pa pb pa 4 apb 40 则pb apo 解析 1 由相交弦定理得 pa pb pc pd pc pd 8 2 由切割线定理得 pe2 pa pb pa pa ab 1 2 2 pe 由割线定理得 pc pd pa pb 2 3 由切线长定理得pa pb 4 apo apb 20 答案 1 8 2 2 3 420 圆周角定理 方法点睛 1 圆周角定理的应用涉及圆周角的题目 经常利用圆周角与它所对的弧相互转化 即圆周角的度数可以转化成它所对弧的度数 而弧的度数又可以转化为圆周角的度数 2 圆周角定理的两个推论的理解这两个推论为证明角相等 弧相等以及线段相等提供了新思路 应用这两个推论时 要根据具体条件灵活运用 例1 1 如图 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 30 则圆o的面积等于 2 ab是圆o的直径 cd垂直平分oa 那么在 1 2 3 4中等于30 角的个数是 解题指南 1 可通过作辅助线 把圆周角问题转化为圆心角问题加以解决 2 先证明 aoc是等边三角形 再求四个角的度数 规范解答 1 连接ao ob 因为 acb 30 所以 aob 60 所以 aob为等边三角形 故圆o的半径r oa ab 4 圆o的面积s r2 16 2 ab是 o的直径 acb 90 又 cd垂直平分oa ac oc 又 oa oc aoc是等边三角形 1 2 30 3 90 1 2 30 又 ob oc 4 3 30 答案 1 16 2 4 互动探究 本例 1 中其他条件不变 只改变 acb的大小 若 acb 45 则圆o的面积等于 解析 连接oa ob acb 45 aob 90 aob是等腰直角三角形 ab 4 圆o的半径r oa ob 圆o的面积为 r2 2 8 答案 8 反思 感悟 圆周角定理常见的两种转化方式 圆周角与圆心角之间互相转化 圆周角与圆周角之间互相转化 如本题 1 还可以作直径 利用推论转化为圆周角为30 的直角三角形加以解决 变式备选 已知 o是 abc的外接圆 a 70 则 boc的度数为 解析 由圆周角定理 得 boc 2 a 2 70 140 答案 140 圆的切线的性质与判定和弦切角定理 方法点睛 1 圆的切线的性质与判定方法利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算 有时需添加辅助线 其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线 从而可以构造直角三角形 利用直角三角形边角关系求解 或利用勾股定理求解 或利用三角形相似求解等 2 弦切角定理的解题思路在解此类题的过程中 首先观察分析图形的特点 认准图形中圆的切线所形成的弦切角 再利用弦切角定理 寻找相等的角 往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最终的结论 例2 1 如图 已知ab是 o的直径 直线cd与 o相切于点c ac平分 dab ad cd 若ad 2 ac 则ab的长为 2 如图 pt切 o于t pba是过圆心o的一条割线 atm 65 则 p 解题指南 1 先证 adc acb 再利用相似三角形的性质 计算出结果 2 可连接bt 利用弦切角定理及外角定理求 p的度数 规范解答 1 如图 连接bc ac平分 dab dac cab ab为 o的直径 acb 90 又ad cd adc 90 adc acb ac2 ad ab ad 2 ac ab 2 连接bt 则 atb 90 且 atm abt 而 ptb 90 atm 90 65 25 p abt ptb 65 25 40 答案 1 2 40 互动探究 本例 1 中图形及条件不变 若ad 2 ac 3 则bc 解析 由 adc acb 得即答案 反思 感悟 利用切线的性质以及相似三角形等相关知识是解决此类问题的重要依据 变式备选 如图 o是 abc的外接圆 ab ac 过点a作ap bc 交bo的延长线于点p 若 o的半径r 5 bc 8 则线段ap的长为 解析 过点a作ae bc 交bc于点e ab ac ae平分bc 点o在ae上 又 ap bc ae ap ap为 o的切线 be bc 4 oe 3 又 aop boe oeb oap obe opa 即 答案 与圆有关的比例线段 方法点睛 与圆有关的比例线段的应用及注意事项 1 本考点包括相交弦定理 割线定理 切割线定理和切线长定理 这些定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 2 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 例3 1 o的两条弦ab cd相交于p 已知ap 2 bp 6 cp pd 1 3 则pd 2 o的割线pab交 o于a b两点 割线pcd经过圆心o pe是 o的切线 已知pa 6 ab po 12 则pe o的半径r 解题指南 1 由相交弦定理及已知条件可求pd的长 2 由切割线定理 可求出pe的长 再利用割线定理或切割线定理求出 o的半径 规范解答 1 由相交弦定理得pc pd pa pb 即pd2 2 6 pd2 36 pd 6 2 由切割线定理 得pe2 pa pb pa pa ab 6 6 80 pe 由割线定理 得 pc pd pa pb 即 12 r 12 r 6 6 144 r2 80 r2 64 r 8 答案 1 6 2 8 互动探究 本例 2 中的图形不变 把已知条件改为pe 4 pa 2 则ab的长为 解析 由切割线定理 得pe2 pa pb pa pa ab 即42 2 2 ab 解得ab 6 所以ab的长为6 答案 6 反思 感悟 在涉及与圆有关的比例线段的计算时 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理