3.1指数函数的概念

3指数函数第一课时指数函数的概念、图像和性质预习课本P7073，思考并完成以下问题1指数函数的定义是什么？ 2指数函数yax(a1)和yax(0a1)的图像各是什么形状？ 3指数函数有哪些性质？ 1函数yax叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.点睛指数函数yax的底数规定大于数0且不等于1的理由为：(1)如果a0，(2)如果a0且a1.2指数函数yax(a0，a1，xR)的图像与性质a10a1图像性质定义域R值域(0，)定点过点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化x0时，y1；x0时，0y1x0时，0y1；x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数点睛研究函数yax(a0，a1)的图像和性质时，一定要注意a的取值范围1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)函数f(x)2x1是指数函数()(2)指数函数yax是单调函数()(3)当x0时，ax1；当x0时，ax1.()(4)指数函数yax既不是奇函数，也不是偶函数()答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数中是指数函数的是()Ay3x2By25xCy5x2Dy(a2)x(a2，且a1)答案：D3函数y3x与y3x的图像关于下列哪种图形对称()Ax轴By轴C直线yx D原点答案：B4已知指数函数f(x)的图像过点，则f(3)_.解析：设f(x)ax，则a4，a，即f(x)x，f(3)38.答案：85函数y2的定义域为_，值域为_答案：x|x4y|y0且y1指数函数的概念典例指出下列函数哪些是指数函数：(1)y3x； (2)yx2；(3)y3x; (4)y(3)x；(5)yx; (6)yxx；(7)y(6a3)x.解(1)(5)(7)为指数函数(2)底数不是常数，故不是指数函数；(3)是1与指数函数3x的乘积；(4)中底数30，a1，xR)这样的形式活学活用函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3 Ba1Ca3 Da0且a1解析：选C由指数函数定义知所以解得a3.与指数函数有关的定义域、值域问题典例求下列函数的定义域和值域(1)y8；(2)y .解(1)定义域为2，)；0，y81.值域为1，)(2)1x0，x10.即x0.函数y的定义域为0，)；令tx，0t1.01t1，01.y的值域为0,1)对于yaf(x)这类函数：(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解；由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域活学活用求下列函数的定义域和值域(1)y3；(2)y5x1.解：(1)要使函数y3有意义，只需1x0，即x1，所以函数的定义域为(，1设y3u，u，则u0，由函数y3u在0，)上是增函数，得y301，所以函数的值域为1，)(2)函数y5x1对任意的xR都成立，所以函数的定义域为R.因为5x0，所以5x11，所以函数的值域为(1，).利用指数函数的单调性比较大小典例比较下列各组数的大小：(1)0.24与；(2)与1；(3)1.8与2.6.解(1)考查函数yx.01，函数yx在定义域R内是减函数又0.24，0.24.(2)考查函数yx.01，函数yx在定义域R内是减函数又0，01.(3)考察函数yx.01，yx在定义域R内是减函数又1.82.6，1.82.6.比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断活学活用比较下列各题中两个值的大小(1)0.90.1与0.90.2；(2)0.3与30.2解：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y0.9x的两个函数值，由于底数0.91，指数函数y0.9x在R上是减函数，0.10.90.2.(2)0.330.3,31，函数y3x在R上是增函数，又0.30.2，30.330.2，即0.330.2.简单的指数不等式典例(1)解不等式2.(2)已知(a2a2)x(a2a2)1x，求x的取值范围解(1)(21) 2，原不等式等价于221.y2x是R上的增函数，2x21.x21.即x1，或x1.原不等式的解集是x|x1，或x1(2)a2a221，y(a2a2)x在R上是增函数x1x.解得x.x的取值范围是.(1)形如axay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解活学活用(1)已知3x30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x25，求实数x的取值范围解：(1)因为31，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数又250.22，所以0.2x0.22，则x2，即x的取值范围为(2，)层级一学业水平达标1若函数f(x)ax是指数函数，则f 的值为()A2B2C2 D2解析：选D函数f(x)是指数函数，a31，即a8.f(x)8x，f 82.2指数函数yax与ybx的图像如图所示，则()Aa0，b0Ba0，b0C0a1，b1D0a1,0b1解析：选C由指数函数的单调性可知0a1，b1.3若函数y(12a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为()A. B(，0)C. D.解析：选B函数y(12a)x在R上是增函数，12a1，即a0.4函数y的定义域是()A0，) B(，0C1，) D(，)解析：选B要使函数y有意义，则13x0，即3x1，x0.5设y140.9，y280.48，y31.5，则()Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2解析：选Dy140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5，又1.81.51.44且y2x为增函数，y1y3y2.6若函数yx在2，1上的最大值为m，最小值为n，则mn_.解析：函数yx在2，1上为减函数，ymax29，ymin13，即m9，n3，mn12.答案：127若x23x1，则x的取值范围是_解析：x4x22x，2x3x1，即x.答案：8已知函数f(x)4ax1(a0，且a1)的图像恒过定点P，则定点P的坐标是_解析：由x10，得x1，y415，即P点坐标为(1,5)答案：(1,5)9比较下列各题中两个值的大小；(1)1.82.2,1.83；(2)0.70.3,0.70.4；(3)1.90.4,0.92.4.解：(1)1.82.2,1.83可看作函数y1.8x的两个函数值，1.81，y1.8x在R上为增函数，1.82.21.83.(2)y0.7x在R上为减函数，又0.30.4，0.70.30.70.4.(3)1.90.41.901,0.92.40.901，1.90.40.92.4.10求函数y (3x1)的值域解：令t2x28x1，则yt，又t2x28x12(x2)29，且3x1，当x2时，tmax9，当x1时，tmin9，故9t9，9y9，即39y39，故所求函数值域为39,39层级二应试能力达标1函数y的值域是()A(，0)B(0,1C1，) D(，1解析：选B由0且yx是减函数，知00且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域解：(1)因为函数图像过点，所以a21，则a.(2)由(1)知f(x)x1(x0)，由x0得，x11，于是00)个单位长度，则得到yaxb的图像；把yax的图像向右平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图像；把yax的图像向上平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图像；向下平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图像(2)对称规律函数yax的图像与yax的图像关于y轴对称；yax的图像与yax的图像关于x轴对称；函数yax的图像与yax的图像关于坐标原点对称活学活用函数yaxa(a0，且a1)的图像可能是()解析：选C当x1时，ya1a0，故函数yaxa的图像过定点(1,0)，结合图像可知选C.比较大小典例比较下列各值的大小：，2，3，.解先根据幂的特征，将这4个数分类：负数：3；大于1的数：，2；大于0且小于1的数：.中，22 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出yx，y2x的图像，再分别取x，x，比较对应函数值的大小，如图所示，故有32.指数幂的大小比较问题的三种类型及解法在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图像解决在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图像，依据底数a对指数函数图像的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图像比较大小活学活用比较下列各题中两个值的大小：(1)1.8，2.5；(2)0.5，0.5；(3)0.20.3,0.30.2.解：(1)因为01，所以函数yx在其定义域R上单调递减，又1.82.5，所以1.82.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数yx与yx的图像，如图所示当x0.5时，由图像观察可得0.50.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图像在函数y0.3x的图像的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x在R上是减函数可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.指数型函数性质的应用题点一：指数型函数的单调性问题1求函数y的单调区间解：令tx22x3，则由二次函数的性质可知该函数在(，1上为减函数，在1，)上为增函数，且yt为减函数，故函数y的单调增区间为(，1，单调减区间为1，)题点二：指数型函数的奇偶性问题2若函数ya为奇函数(1)确定a的值；(2)求函数的定义域解：(1)由奇函数的定义，可得f(x)f(x)0，即aa0，2a0.a.(2)y，2x10，即x0，函数y的定义域为x|x0题点三：指数型函数性质的综合问题3已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，当x(0,1)时，f(x).(1)求f(x)在(1,1)上的解析式；(2)求f(x)的值域解：(1)当x(1,0)时，x(0,1)函数f(x)为奇函数，f(x)f(x).又f(0)0.故当x(1,1)时，f(x)的解析式为f(x)(2)f(x)，x(0,1)为减函数，证明如下：设0x1x21，则f(x1)f(x2).0x1x21，2x22x10,210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1)上是减函数从而由奇函数的对称性知f(x)在(1,0)上递减当0x1时，f(x)，即f(x)；当1x0时，f(x)，即f(x).而f(0)0，故函数f(x)在(1,1)上的值域为0.(1)对于形如f(x)ag(x)(a0，且a1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数yax及函数g(x)的单调性来处理(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质 层级一学业水平达标1.如图所示是下列指数函数的图像，(1)yax；(2)ybx；(3)ycx；(4)ydx，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc解析：选B可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小，当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像越靠近x轴，所以ba1dc.2函数ya|x|(0a1)的图像是()解析：选Cya|x|(0a1)是偶函数，先画出x0时的图像，再作关于y轴对称的图像，0abc BbacCcba Dcab解析：选Da0.80.70.80.9b，a0.80.70.801，ba1.201，cab.6函数y4x2x1的值域是_解析：y(2x)222x，设2xt，则yt22t(t0)，y1，)答案：1，)7若已知函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为_解析：当x0时，即，3x0.当x0时，x，0x1.综上可知：3x1.答案：3,18设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)而f(x)x(exaex)axexxexxexaxex，a1，即a1.答案：19已知a0且a1，讨论f(x)a的单调性解：设ux23x22，则当x时，u是减函数，当x时，u是增函数又当a1时，yau是增函数，当0a1时，yau是减函数，所以当a1时，原函数f(x)a在上是减函数，在上是增函数当0a1时，原函数f(x)a在上是增函数，在上是减函数10已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当x0时，f(x)0，无解；当x0时，f(x)2x，由2x，得222x3220，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x2或2x，2x0，x1.(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，