第3章习题答案.doc

3-1 以速度前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为，炮弹和炮车的质 习题3-1图量分别为m和M，炮弹相对炮车的出口速率为v，如图所示。求炮车的反冲速率是多大?解 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为，根据动量守恒定律所以 此即为炮车的反冲速率。3-2 质量为M的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有N个人，质量均为m，站在车上。开始时车以速度向右运动，后来人相对于车以速度u向左快跑。试证明：(1)N个人一同跳离车以后，车速为(2)车上N个人均以相对于车的速度u向左相继跳离，N个人均跳离后，车速为证明 (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为，则所以 (2) 设第个人跳离车后，车的速度为，第x个人跳离车后，车的速度为，根据动量守恒定律得所以 此即车速的递推关系式，取得将上面所有的式子相加得此即为第N个人跳离车后的速度，即3-3 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。解 设枪筒长度为L，由动能定理知 其中 而， 所以有： 化简可得： 即枪筒长度为0.45m。3-4 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为证明 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律 切向 (2) 习题3-4图 法向 (3) 联立上述三式解得 又 所以 即 两边积分，且利用初始条件s=0时，得 即 由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即时，摩擦力所做的功为 3-5 某弹道火箭初始总质量t，内装m9.0t的燃料，由静止开始发射。发射时喷气速率，喷气流量为q125，二者都是常量。不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。解 取dt时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理 所以 火箭受到的反推力 (1)设燃料燃烧尽后火箭的速度为v，根据动量定理 (2)燃料燃烧时间 (3)联立(1)、(2)两式得 (4)将上式积分得 (5)联立(3)、(5)两式得 3-6 初始质量为的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率u垂直向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量为常量C。设初速为零，试求火箭上升速度与时间的函数关系。解 经过时间t后，火箭的速度为v，火箭受的反推力根据动量定理 联立两式得 对上式积分得 因此 此式即火箭的速度与时间t的函数关系式。 3-7 有一个二级火箭，每一级的喷气速率相对于火箭体都是u。发射前第一级火箭质量为，包括内装燃料质量，第二级火箭质量为，包括内装燃料；火箭由静止开始发射，当第一级火箭燃料用完时，其外壳即脱离开火箭体，设不计空气阻力和重力，求证当两级燃料全部燃烧完后，火箭达到的速度大小为证明 由第上题知，第一级火箭燃料烧尽时火箭的速率 (1)第二级火箭燃料燃尽时，火箭的速度为，火箭受的反推力 (q为喷气量) (2)根据动量定理 (3)联立(2)、(3)式 将上式两边积分得 所以 (4)联立(1)、(4)式得 这就是火箭的最终速度。3-8 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为m，轨道速度为。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为m。求：(1)在近日点地球的轨道速度； (2)两种情况下地球的角速度。解 设在近日点附近地球的轨道速度为，轨道半径为，角速度为；在远日点地球的轨道速度为，轨道半径为，角速度为。(1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。所以 (2) 3-9 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是，其时它的速率为；它离太阳最远时的速率是，这时它离太阳的距离是多少。解 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒由此得到 3-10 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离为439km，与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1，求它在远地点的速率是多大?解 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有得到 3-11 如图所示的刚性摆，由两根带有小球的轻棒构成，小球的质量为m，棒长为l。此摆可绕无摩擦的铰链O在竖直面内摆动。试写出：(1)此摆所受的对铰链的力矩；(2)此摆对铰链的角动量。解 (1) 此摆所受的对铰链O的力矩 习题3-11图(2) 此摆对铰链的角动量为L，转动惯量为I，则所以 3-12 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大?解 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1) 设两人质量均为m，到转轴的距离为，握住手以后绕中心角速度为，系统对转轴的转动惯量为，则有： (1) 又 (2) 联立（1），(2)式得 (2) 设两人相距1.0米时，角速度为，此时系统对转轴的转动惯量为，两人到转轴的距离为，则 (3) (4)又联立(2)-(4)式得本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。3-13 如图所示，一根轴沿x轴安装在轴承A和B上，并以匀角速旋转动着。轴上装有长为2d的轻棒，其两端各有质量为m的小球，棒与轴的夹角为。若以棒处在xOy平面内的时间开始计时，则图中所示时刻为t的情况。 (1)根据，试证明此两小球组成的系统对原点O的角动量 (2)求的表达式，并解释其含义，(3)若，则结论如何? 习题3-13图解 (1) 由图可知(2) 由的表达式可看出，只有y，z分量，说明轴承只提供对y，z轴的力矩，以保证系统旋转。(3) 当时，即角动量不随时间变化。说明轴承无需提供力矩。3-14 如图所示，将质量为 m的球，以速率射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?解 设地球和弹簧枪的共同速度为，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 (1) 习题3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量 (2)联立以上两式得 3-15 已知某人造卫星的近地点高度为，远地点高度为，地球的半径为。试求卫星在近地点和远地点处的速率。解 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即。在近地点和远地点速度方向与轨道半径方向垂直。故 (1)设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为和，由机械能守恒定律得 (2)在地球表面附近有 (3)联立以上三式解得 3-16 如图所示，有一门质量为M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v应是多大?解 大炮从静止滑动距离L的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为V，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得 (1) 大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面 习题3-16图光滑），故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为v， 沿斜面方向的分量为，又因炮车末态静止，则 (2) 由(1)、(2)两式得 3-17 求半圆形的均匀薄板的质心。解 设圆半径为R，质量为m，建立如图所示的坐标系，设质心坐标为，取图示面积元， 则 ，由对称性知：所以质心的坐标为3-18 水分子的结构如图所示。两个氢原子与氧原子的中心距离都是0.958，它们与氧原子中心的连线的夹角为，求水分子的质心。习题318图解 建立如图所示坐标系，设质心坐标为，则所以水分子的质心坐标为(0，0.0648)3-19 三个质点组成的系统，其中=4kg，坐标为(1，3)；=8kg，坐标为(4，1)；=4kg，坐标为(-2，2)(SI)。设它们分别受力=14N，沿x方向；=16N，沿y方向；6N，沿负x方向。质点间无相互作用力。求：(1)各质点的加速度；(2)开始时质心的坐标；(3)质心的加速度。解 (1) 各质点的加速度 (2) 设开始时质心的坐标为，则(3) ，和所组成的系统所受的合力所以质心的加速度是 3-20 如图所示，浮吊的质量M20t，从岸上吊起m=2t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由转到，设杆长l=8m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。习题3-20图解法一 取吊车和重物组成的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，因此在由转到时，质心的位置不变。取质心为坐标原点，如图所示。设在在由转到时吊车在水平方向上移动的距离为x，重物在水平方向上移动的距离为y，则=时Ma-mb=0a+b=lsin=时M(a-x)-m(b-y)=0(a-x)+ (b-y)=lsin联立上述四式得 解法二 以岸边为参考系，选如图坐标系，因水的阻力不计，因此浮吊在x方向动量守恒。该M以V向岸边靠拢，m相对M以u向左运动，相对岸边的速度为u-V。吊杆转动角度前后，在水平方向动量守恒，即 依题意，m在水平方向相对浮吊移动的距离为经历时间在t时间内，M在x方向移动的距离为3-21 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。若在处释放质子，问：(1)在离开大原子核很远的地方，质子的速率为多大? (2)如果在处释放质子呢?解 当时，将原子核和质子看作一个系统，可忽略重力作用，则在原子核的引力场中，系统的能量守恒，故，又，其中为质子的质量， 习题3-21图得到 (1) 时，所以 (2) 时，所以 3-22 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为，倔强系数为k。当t0时，弹簧长度为。滑块得一水平速度，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。 习题3-22图解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即 (1)小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得3-23 如图所示，两飞船和在绕地球的两个圆形轨道上作逆时针方向飞行，两轨道同处一个平面内，半径分别为和。现从上沿其轨道的切向发射的补给火箭，使其速度能在抵达时与的轨道相切。补给火箭发射后，就在自由飞行的条件下完成其旅程。试求：(1)补给火箭相对于的发射速率；(2)补给火箭到达B处的速率；(3) 的轨道速率；(4)对比(2)和(3)的结果后，为了使和连接，还应当采取什么措施? 习题3-23图解 (1) 补给火箭的轨道是一个半椭圆，设其相对于地心的速率为，则 为求补给火箭相对于的速率，先要知道相对于地心的速率，由于作半径为的圆周运动，由牛顿运动定律和万有引力公式得所以 (2)设补给火箭到达B处的速率为，根据动量守恒有 (m为补给火箭的质量)所以 (3) 设的轨道速率为，根据牛顿运动定律和万有引力公式，有所以 (4) 对比(2)和(3)可知，。所以补给火箭抵达B后，必须开动引擎使其速率增至的轨道速率，否则不能连结。3-24 求证：两个小球在一维弹性撞过程中，最大弹性形变势能为式中、是小球的质量，、是碰撞前小球的速率。解 在弹性碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，当二者速度相等时，弹性势能最大，此时，由动量守恒定律，得 (1)