高中数学 223、4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 2 3直线与平面平行的性质2 2 4平面与平面平行的性质 一 阅读教材p58 61回答1 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么 此定理可用符号表示为 2 若a b 则a b的位置关系为 这条直线就和交线平行 a a b a b a b或a与b异面 3 两个平面平行的性质 1 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的直线必于另一平面 用符号表示为 2 如果两个平行平面同时和第三平面相交 那么它们的 用符号表示为 平行 a a 交线互相平行 a b a b 二 解答下列各题1 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等吗 答案 相等 证明 如图ab cd ab与cd确定一个平面 ad bc ad bc 四边形abcd是平行四边形 ab cd 2 已知 如图 点p是平面 外的一点 直线pab pcd分别与 相交于点a b和c d 1 求证 ac bd 2 已知pa 4cm ab 5cm pc 3cm 求pd的长 解析 1 证明 平面pac ac 平面pac bd ac bd 本节学习重点 线面平行 面面平行的性质定理 本节学习难点 平行关系的相互转化 1 直线和平面平行的性质定理的证明要抓住以下两点 其一是由于已知直线与已知平面平行 则这条已知直线和已知平面内的所有直线都没有公共点 其二是过已知直线的平面与已知平面的交线与已知直线在同一平面内 根据以上两点 就可以判定已知直线和交线互相平行了 这个定理可以简记为 若线面平行 则线线平行 理解直线与平面平行的性质定理时 要注意条件 经过这条直线的平面与这个平面相交 防止误解为 一条直线平行于一个平面 就平行于这个平面内的一切直线 若题目条件中出现了线面平行的条件 我们往往寻找或作一个平面经过这条直线并与已知平面相交 这样就可用上性质定理了 所以 找 或 作出 满足题意要求的平面 就成为应用定理的关键所在 线面平行的性质定理还启发我们 要证线面平行 不妨先假定线面平行已经成立 运用性质定理寻找满足要求的直线 这是证明线面平行时常用的方法 2 过平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线 则这条直线在这个平面内 用符号表示为 l 点p p m m l m 如图 3 如果平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 那么另一条也平行于这个平面 4 平行平面的性质 1 若两个平面平行 则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面 2 两个平行平面均和第三个平面相交 则交线平行 两个平行平面均和第三个平面相交 那么它们的交线平行 这一性质是判定 线线平行 的重要依据 同时给出了在两平行平面内作出平行直线的重要方法是过其中一个平面内的一条直线a作平面 可作无数个平面 和另一个平面交线为b 则a b 5 平行转化要理清通过上几节的学习不难概括出线线 线面 面面平行的相互转化关系 由此易知三者之间可以进行相互转化 因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程 在解题时要把握这一点 灵活确定转化思路和方向 例1 过正方体ac1的棱bb1作一平面交平面cdd1c1于ee1 求证 bb1 ee1 证明 如右图 cc1 bb1 cc1 平面cdd1c1 bb1 平面cdd1c1 bb1 平面cdd1c1 bb1 平面bee1b1 平面bee1b1 平面cdd1c1 ee1 bb1 ee1 已知 l a a 求证 a l 证明 1 过a作平面 交平面 于b a a b 2 同样 过a作平面 交平面 于c a a c b c 3 又 b 且c b 4 又平面 经过b交 于l b l 5 又a b a l 点评 注意上述证明过程共5个环节 第 1 个环节和第 2 个环节是应用线面平行的性质定理和公理4得出线线平行b c 第 3 个环节又由线面平行的判定定理得出线面平行b 第 4 个环节再由线面平行的性质定理得出b l 最后由公理4得出a l 要注意理顺思路 实际证明过程不需要加上面五个序号 线面平行的判定定理与性质定理经常交替使用 也就是通过 线线平行 推出 线面平行 再通过 线面平行 推出新的 线线平行 例2 如图所示 四面体a bcd被一平面所截 截面efgh是一个矩形 1 求证 cd 平面efgh 2 求异面直线ab cd所成的角 解析 1 证明 截面efgh是一个矩形 ef gh 又ef 平面bcd gh 平面bcd ef 平面bcd而ef 平面acd 平面acd 平面bcd cd ef cd cd 平面efgh 2 解 由 1 知cd ef 同理ab fg efg为异面直线ab cd所成的角 efg 90 ab cd所成的角为90 三个平面 两两相交 有三条交线l1 l2 l3 如果l1 l2 求证 l3与l1 l2都平行 解析 如图 已知 l1 l2 l3 l1 l2 求证 l3 l2 l1 总结评述 1 已知 线面平行 一般直接考虑用性质 利用构造法找或作出经过已知直线的平面与已知平面相交的交线 2 要证 线面平行 一般先假设 线面平行 已经成立 把它作为已知条件 用性质去探索找寻经过已知直线的平面与已知平面相交 从而找到平面内的那条直线 3 要证 线线平行 一是把它们转化为 线面平行 利用 线面平行 性质得已知直线与交线平行 二是利用两个平面平行的性质定理 三是利用 线面垂直 的性质定理 后面马上要学到 四是利用公理4 关键是结合已知条件创造能够应用定理的条件 证明与平行有关的问题时 线面平行 的判定定理 性质定理 公理4常结合起来使用 并常用下面的关系 4 本题也可用反证法 同一法 请读者自己探讨 解析 证法1 则在平面 内一定有两相交直线a b和平面 平行 过a b分别作平面交 于a b 则有a a b b 同理可以在平面 内找到两直线a b 使得a a b b a b 故 证法2 采用反证法 假设平面 和平面 相交 则两个平面至少有一个公共点p 即存在点p满足p p 于是过平面 外点p有两个平面 都和平面 平行 这与 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 矛盾 故假设不成立 已知三个平面 满足 直线a与这三个平面依次交于点a b c 直线b与这三个平面依次交于点e f g 求证 证明 连接ag交 于h 连bh fh ae cg 平面acg bh 平面acg cg bh cg 同理ae hf 点评 当a与b共面时 有ae bf cg 上述证明过程也是正确的 只是此时b h f三点共线 连结ce 可同理证明 连结af 连结eb 连结cf 连结gb 并都延长后与第三个平面相交 同理可证明 当a与b异面时 可过a 或b c 作b的平行线或过e 或f g 作a的平行线 再利用面面平行的性质定理可证得结论 以上思路都遵循同一个原则 即 化异为共 例4 如图 已知平面 直线ab分别交 于a b 直线cd交 于c d m n分别在线段ab cd上 且求证 mn 平面 分析 本题应分两种情况分别研究 当ab cd共面时 易得mn bd 可推出mn 平面 当ab cd异面时 可通过作辅助平面化异为共 由 面面平行 推出 线线平行 ad dc为平行四边形 ad cd ae cn 即aenc为平行四边形 所以ac en d d 因为me bd bd me 所以me 同理 en 所以平面men 平面 所以mn 解法探究 本例通过过点a作ad cd 实现化 异 为 共 ab与ad 相交 ad 与cd平行 借助ad 实现ab与cd的联系 同理还可以过c作ab的平行线 过b作cd的平行线 过d作ab的平行线 其效果是完全相同的 还可以连结ad 或bc 实现化 异 为 共 过m作me bd交ad于e 或过m作me ac交bc于e 连结en 进行推证 这也是常用的 化异为共 的方法 如图 平面 平面 线段gh与 分别交于a b 线段hf与 分别交于f e 线段gd与 分别交于c d 且ga 9 ab 12 bh 16 s acf 72 则 bde的面积为 答案 96 例5 在长方体木料abcd a b c d 的a c 面上有一点p 如图所示 其中p点不在对角线b d 上 过p点和底面对角线bd 将木料踞开 应该如何画线 请说明理由 分析 p bd bd与p确定一个平面pbd与平面a b c d 相交于过p的直线l 则l bd b d bd 故只须过p作l b d 即可 解析 连结b d 在平面a c 上过点p画直线ef b d 分别交b c c d 于点e f 由公理4得ef bd 连结be和df 因为ef 平面befd bd 平面befd 所以be df和ef就是所要画的线 有一块木料如图所示 已知棱bc平行于面a c 要经过木料表面a b c d 内的一点p和棱bc将木料锯开 应怎样画线 解析 bc 面a b c d 面bcc b 经过bc和a b c d 交于b c bc b c 如图 在面a c 内过p作ef b c 交a b 于e 交c d 于f 依公理4知ef bc ef 平面bcp 连be和cf 则be cf ef就是所要画的线 例6 已知直线a 直线b b 平面 a 求证 直线a 平面 错解 在 内任取一点a 在 内过a点作直线c 使c b 由a b 已知 可得a c 公理4 辨析 证明没有用到条件 b 平面 若将此条件去掉 结论显然不成立 因而证明是错误的 错误出在 在 内过a作直线c 使c b 这一作图没有依据 正确的做法应该是在 内取一点a后 由点a与直线b确定一个平面 与 交于直线c 去证a c 进而得出a 正解 在平面 内任取一点p b p b 直线b与点p确定平面 与 有公共点p 与 必相交 设 c 则b c a b a c 又a c a 一 选择题1 下列命题中正确的个数是 若直线a不在 内 则a 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 若直线l与平面 平行 则l与 内的任意一条直线都平行 如果两条平行线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 若l与平面 平行 则l与 内任何一条直线都没有公共点 平行于同一平面的两直线可以相交 a 1b 2c 3d 4 答案 b 解析 a a时 a不在 内 错 直线l与 相交时 l上有无数个点不在 内 故 错 l 时 内的直线与l平行或异面 故 错 a b b 时a 或a 故 错 l 则l与 无公共点 l与 内任何一条直线都无公共点 正确 长方体中 a1c1与b1d1都与平面abcd平行 正确 2 下列四个命题中 不正确的命题是 a 如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直 那么也和另一条垂直b 已知直线a b c a b c与a b都不相交 若c与a所成的角为 则c与b所成的角也等于 c 如果空间四个点不共面 则四个点中可能有三个点共线d 若直线a 平面 点p 则过p作a的平行线一定在 内 答案 c 解析 a b d正确 对于c 若有三点共线 则四点必共面 故c错 二 填空题3 p为 abc所在平面外一点 平面 平面abc 交线段pa pb pc于a b c 若pa a a 2 3 则s a b c s abc 三 解答题4 已知a b是异面直线 a a b b且ab a ab b m n分别为直线a b上任意一点 o是ab的中点 平面 经过o点 a b mn p 求证 p是mn的中点 解析 连结an交 于q b oq bn 同理pq am o是ab中点 oq为 abn的中位线 q为an中点 pq为