高中数学 2.1.2 余弦定理同步课件 北师大版必修5.ppt

1 了解用向量法推导余弦定理的过程 难点 2 掌握余弦定理的内容及余弦定理的公式变形 初步对余弦定理进行应用 重点 3 能够应用正 余弦定理解决综合问题 重点 易混点 一 余弦定理 几何法证明余弦定理 证明 过c作cd ab 垂足为d 则在rt cdb中 根据勾股定理可得 a2 cd2 bd2 在rt adc中 cd2 b2 ad2 又 bd2 c ad 2 c2 2c ad ad2 a2 b2 ad2 c2 2c ad ad2 b2 c2 2c ad又 在rt adc中 ad b cosa a2 b2 c2 2bccosa类似地可以证明b2 a2 c2 2accosbc2 a2 b2 2abcosc 余弦定理和勾股定理有什么关系 提示 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系 余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理的基本应用余弦定理及推论的应用 1 余弦定理的主要作用是已知两边及两边的夹角求第三边 或已知三边求角 所得结论是唯一的 同时 利用余弦定理也可以实现边角转化 2 余弦定理及其推论共有六个基本公式 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 应用时要注意适当选取 有时可结合正弦定理求解 利用余弦定理解三角形时 要注意根据条件恰当选取公式 一般地 求边长时 使用余弦定理 求角时使用定理的推论 例1 在 abc中 bc a ac b 且a b是方程x2 2 0的两根 c 120 1 求ab的长 2 求 abc的面积 审题指导 利用一元二次方程中根与系数的关系可求出a b ab 利用余弦定理和完全平方公式可将ab用a b ab表示出来 由ab可想到利用s abc absinc求面积 规范解答 1 因为a b是方程x2 2 0的两根 所以 由余弦定理得ab2 b2 a2 2abcos120 a b 2 ab 10 ab 2 根据三角形面积公式得s abc 变式训练 如图 在 abc中 已知b 45 d是bc边上的一点 ad 10 ac 14 dc 6 求ab的长 解析 在 adc中 ad 10 ac 14 dc 6 由余弦定理得cos adc adc 120 adb 60 在 abd中 ad 10 b 45 adb 60 由正弦定理得 ab 例 在 abc中 如果a b c 2 1 求这个三角形的最小角 审题指导 本题可先由a b c的比例关系 找到最小的边 即最小的角 然后借助余弦定理求解 规范解答 在三角形中 大边对大角 小边对小角 根据已知条件判断最小边应为a a b c 2 1 可设a 2k b c 1 k k 0 易知a b c 故最小角为角a 由余弦定理得cosa 故a 45 变式备选 若把本例中的条件变为sina sinb sinc 1 1 求最大角 解析 sina sinb sinc a b c 1 1 设a 1 k b 1 k c k 0 易知b a c 故最大角为角c 由余弦定理得cosc c 120 判断三角形的形状判断三角形形状常用的方法 1 依据已知条件的边角关系判断三角形的形状时 主要有以下两种方法 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方得出边的相互关系 从而判断三角形的形状 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 2 判断三角形形状时常见的结论 设a b c是 abc的角a b c的对边 a2 b2 c2 a是直角 abc是直角三角形a2 b2 c2 a是钝角 abc是钝角三角形a2 b2 c2 a是锐角 abc是锐角三角形 例2 在 abc中 若b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 试判断三角形的形状 审题指导 解答本题先由正弦定理将边转化为角 然后由三角恒等变换进行化简 得出结论 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系 然后由边的关系确定三角形形状 规范解答 方法一 由 2r r为 abc外接圆半径 条件转化为4r2 sin2c sin2b 4r2 sin2c sin2b 8r2 sinb sinc cosb cosc 又sinb sinc 0 sinb sinc cosb cosc 即cos b c 0 又0 b c 180 b c 90 a 90 故 abc为直角三角形 方法二 将已知等式变形为b2 1 cos2c c2 1 cos2b 2bccosbcosc 即有b2 c2 b2 c2 2bc 即b2 c2 a2 即b2 c2 a2 abc为直角三角形 变式训练 在 abc中 bcosa acosb 试分别利用余弦定理和正弦定理两种方法判断三角形的形状 解析 方法一 利用余弦定理化角为边 bcosa acosb b b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 a b 故此三角形是等腰三角形 方法二 利用正弦定理化边为角 bcosa acosb 又b 2rsinb a 2rsina r为 abc外接圆的半径 2rsinbcosa 2rsinacosb sinacosb cosasinb 0 sin a b 0 0 a b a b a b 0 即a b 故此三角形是等腰三角形 误区警示 由sin a b 0求角时 要注意对a b的范围进行讨论 三角形面积问题解决面积问题的注意事项 有关三角形面积问题 有时需要和正弦定理 余弦定理相结合 并不一定是单纯只考查面积公式 所以对正弦定理 余弦定理等公式要熟练记忆并掌握其用法 还要注意方程思想的应用 例3 2011 枣庄高二检测 在 abc中 内角a b c对的边分别是a b c 已知c 2 c 1 若 abc的面积等于 求a b 2 若sinb 2sina 求 abc的面积 审题指导 1 根据余弦定理和三角形面积公式可得到关于a b的方程组 解方程组即得a b 2 将条件用正弦定理转化即可 规范解答 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 又c 2 c 所以a2 b2 ab 4 1 因为 abc的面积等于 所以absinc 得ab 4 联立方程组解得a 2 b 2 2 由题意得sinb 2sina 由正弦定理得b 2a 联立方程组解得a b 所以 abc的面积s 变式训练 在 abc中 bc 1 ab 2 cosb 1 求ac 2 求 abc的面积 解题提示 本题可直接利用余弦定理求ac 再利用面积公式求解即可 解析 1 由余弦定理可得 ac2 ab2 bc2 2ab bccosb 4 1 2 2 1 4 ac 2 2 由cosb 可得 sinb s abc ab bc sinb 2 1 典例 12分 在不等边三角形abc中 a为最大边 如果a2 b2 c2 求a的取值范围 审题指导 利用余弦定理可判断cosa的范围 再利用cosa的范围确定a的范围 但要注意三角形中大边对大角 小边对小角这一性质 规范解答 a2 b2 c2 cosa 0 3分由于cosa在 0 上为减函数 且cos 0 a 6分又 a为最大边 abc为不等边三角形 a 9分 a的取值范围是 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知锐角三角形的三边长分别为2 3 x 则x的取值范围是 解析 在锐角三角形中 答案 1 在 abc中 若a 2 b c 则a的度数是 a 30 b 45 c 60 d 75 解析 选a cosa a 30 2 在 abc中 a2 b2 c2 bc 则a等于 a 60 b 45 c 120 d 30 解析 选c 由余弦定理及已知可得cosa a 120 3 边长分别为5 7 8的三角形的最大角与最小角的和是 a 90 b 120 c 135 d 150 解析 选b 设边长为7的边所对的角为a 利用余弦定理算出中间的角 cosa a 60 故选b 4 在 abc中 a b c分别是角a b c所对的边 已知a b 3 c 30 则a 解析 由余弦定理可得c2 3 9 2 3cos30 3 c a a c 30 答案 30 5 在 abc中 化简b