3.1.1 实数指数幂及其运算

张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1整数指数幂 (1)正整数指数幂：一个数a的n次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则： ； ； ； (3)整数指数幂：规定： 2根式 (l)n次方根：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 (2)方根的性质：零的任何次方根都等于0，即： 当n为奇数时， ；当n为偶数时， 3分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是： 为既约分数）正数的负分数指数幂的意义是： 为既约分数）(2)运算性质：其中 要点核心解读1关于分数指数幂的概念这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别 (2)关于分数指数幂需要注意：在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法 2关于指数运算问题 (1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一(3)分数指数幂的运算常采用的思路有： 对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， 除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算(4)根式的运算应该注意的几点：注意根式的符号：an为奇数时，与a的符号一致；bn为偶数时， 对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律 3正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系 (1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质 (2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m、n都是正整数，且性质中限定mn，为了取消mn的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质可以归人性质，性质可以归人性质，这样上述5条可归纳为3条，即，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使对任意整数都成立，不得不规定a0及60.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算例1 化简下列各式： 解析 (1)由题目可获取以下主要信息：两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。解答本题可先算乘方，后算乘除，其中0.01可写成(2)化简整数指数幂时，应先运用法则以及负整数指数幂的定义，将它们化为单个的指数幂的乘积形式，再运用法则即达到化简的目的答案 (1)原式=(2)原式= 母题迁移 1化简下列各式，考点2 分数指数幂的运算例2 计算：解析 原式=点拨 一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于用运算性质进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的母题迁移 2化简下列各式：考点3 含指数幂的条件求值例3 根据下列条件求值：(1)已知的值；(2)已知的值解析 (1)由两边平方得两边再平方，得又 原式=(2)由已知得 原式= 点拨 本题的解答过程中，灵活处理了化简过程，将已知条件待所求值的代数式比较后选择将已知条件进行处理如(1)或将代数式作变形处理如(2) 母题迁移 3已知求的值考点4指数幂运算的综合问题例4 化简下面的各式：解析 根据根式与分数指数幂的互化，消去根号以及将负指数幂化为正指数幂等，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简(1)方法一：消去负指数后解：方法二：利用运算性质解：方法三：利用倒数的性质解： 点拨 根式的运算一般都转换成分数指数幂计算，当式子中含有根式与分数指数幂时应统一为分数指数幂进行计算，当根式中是具体数字时，要考虑运用配方法计算 母题迁移4已知：对于正整数a、b、c，满足条件对于非零实数x、y、z、w，若求证：优化分层测训学业水平溅试1在中，最大的数是( ) 中x的取值范围是( ) 3已知则x=( ) 4将下列根式化为指数形式： ； ； .5化简： ; ; .6化简：高考能力测试 （测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分8 =40分）1对任意实数a，下列等式正确的是( ) 2已知则的值为( ) 3计算的结果为( ) 4下列结论中，正确命题的个数为( )当a0时，函数的定义域为若则 5下列各式中，运算错误的是( ) 6的结果是( ) 7计算的结果是( ) 8化简的结果是( ) 二、填空题（5分4 =20分）9若则 10 11 12 三、解答题（10分4 =40分）13.化简：14