专题 空间向量 简单几何体

高考网 /专题 空间向量 简单几何体一 能力培养1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力二 问题探讨问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD中,ABCDABCD(1)求异面直线B与C所成的角的大小;(2)求异面直线B与C之间的距离;(3)求直线B与平面CD所成的角的大小;(4)求证:平面BD/平面C;(5)求证:直线A平面BD; (6)求证:平面AB平面BD;(7)求点到平面C的距离; (8)求二面角C的大小.ACBABC问题2已知斜三棱柱ABCD的侧面AC与底面垂直,且AC, A=C.(1)求侧棱A和底面ABC所成的角的大小;(2)求侧面AB和底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面AB的距离.三 习题探讨选择题1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为A, B, C, D,2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱的距离是A, B, C, D,ABCDEF4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是A, B,C, D,5棱长为的正八面体的外接球的体积是A, B, C, D,填空题6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面 的位置关系是 .7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件 时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)ABCDABCD图(1)ABENM图(2)CDF9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB与EF所连直线平行; AB与CD所在直线异面;MN与BF所在直线成; MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)解答题10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC分别交AB,AC于D,E.将沿 DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.ABOCDEOA11如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ参考答案:问题1(1)解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)得,设与所成的角为,则,又,得所以异面直线B与C所成的角的大小为.(2)设点M在B上,点N在C上,且MN是B与C的公垂线,令M,N,则由,得,解得,所以,得,即异面直线B与C之间的距离为.(3)解:设平面CD的法向量为,而,由,有,得,于是,设与所成的角为,则,又,有.所以直线B与平面CD所成的角为.(4)证明:由/C,C平面C,得/平面C,又BD/,平面C,得BD/平面C,而,于是平面BD/平面C.(5)证明:A(1,0,0),(0,1,1),有及,得,于是,直线A平面BD.(6)证明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.(7)解:可得C=C=,有由,得,即,得所以点到平面的距离为.(8)解:由(3)得平面CD的法向量为=,它即为平面的法向量.设平面的法向量为,则, 又由,得,所以设与所成的角为,则所以二面角的大小为.问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).又由面AC面ABC,且A=C,知点,平面ABC的法向量.(1),得于是,侧棱和底面ABC所成的角的大小是.(2)设面AB的法向量,则由得,.于是,又平面ABC的法向量,得,有.所以侧面AB和底面ABC所成二面角的大小是.(3)从点C向面AB引垂线,D为垂足,则所以点C到侧面AB的距离是.习题1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为,则AM=VM,=,得在中,即,得.则,有.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.2 ,选B.3设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,则,得,有或(舍去),所以,选B.4由DEEF,EF/AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得,于是.,选B.5可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.6当时,AB/;当时,AB/或AB;当时,AB/或与斜交.7由,得(1)当时,有,得;(2)当时,有,得.8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9将展开的平面图形还原为正方体,可得只,正确.10解:设的高AO交DE于点,令,由AO=,有,在中,有得.当时,到直线BC的最小距离为6.11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必为正数解,且小于.由,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当时, BC上不存在点