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高等数学实施方案 2001-09-05 一、课程概况1. 课程的性质、任务 “高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。通过本课程的学习，要使学生掌握课程内容的基本概念和基本方法，逐步培养抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、对实际问题进行统计判断的能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能?br 2. 课程内容的设置及其指导思想 水利水电专业“高等数学”课程计划学时是153学时，内容包括“一元函数微积分”、“无穷级数”、“常微分方程”、“空间解析几何与向量代数”、“多元函数微积分”等高等数学内容（共11章）以及“概率统计”的内容。具体设置见教学大纲。“高等数学”课程的教学内容设置是根据电大水利水电专业专科层次的培养目标要求，以“必需、够用”为度，其指导思想是降低理论推导，加强基本概念和基本方法的训练，不追求繁琐的计算和变换技巧。二、学习者需求分析广播电视大学是远程开放教育，学习者主要是在职的成人和社会青年，他们学习的主要特征是：学习的目的性明确，他们或为提高自身的业务水平而学习，或为就业做准备而学习。因此要求所学内容要针对性强，能够学以致用。实践经验丰富，自学能力比较强。他们一般欢迎方便自学的学习媒体。工学矛盾突出、缺少必要的学习环境、负担较重。希望学习媒体具有方便、经济和效率高的特点基本素质参差不齐。要求学习媒体能够因材施教，需要教学服务系统的支持。三、教学实施方案（一）教学大纲教学大纲是课程教学的根本依据。“高等数学”教学大纲所规定的教学内容符合教育部理工专科层次“高等数学”、“概率统计”的教学基本要求，符合基础课内容设置“必需”、“够用”的基本原则。教学过程中，应遵循教学大纲实施教学。（二）教材1.文字教材 高等数学的文字教材包含高等数学（上、下）及概率统计基础两套教材。高等数学：高等数学文字主教材分上、下两册，柳重堪主编，中央电大出版社出版，同时配有高等数学学习指导书上、下两册，分别由张旭红、李林曙等编写，中央电大出版社出版.水利水电专业第一学期学习高等数学（上册）第一章至第八章内容，90学时；第二学期学习高等数学（下册）第九章至第十一章内容（不学第十二章、第十三章），36学时。概率统计：文字教材使用张旭红等编写的概率统计基础，在第二学期学完高等数学的三章内容后，学习本书的内容，27学时。2.录像教材 录像教材由柳重堪教授主讲，共72+34=106学时；（只含高等数学内容，不含概率统计内容），可与高等数学文字教材配套使?/font3.VCD教材VCD教材的内容（只含高等数学内容，不含概率统计内容）采用分标题、模块式讲座的教学方式，主要讲授课程的的基本概念和基本计算方法，以重要知识点为模块，利用VCD的可交互性，供学生自主学习使用。4CAI课件名称：高等数学学习辅导配合文字教材中的重要概念、定理以及典型例题，发挥CAI课件交互式教学的优势，对课程的重点内容进行教学辅导。栏目设置有：讲解、跟我学、自我检测、数学史以及模拟试卷（三）其他辅导措施 1. VBI辅导 每月利用VBI进行辅导一次，主要内容是各章内容的总结辅导。2. BBS辅导 每月利用BBS进行辅导一次，主要内容是各章自我检测题目解答、各章内容的总结辅导。4. 作业与考试 本课程学生的考核成绩采用期末考试成绩与平时作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80；平时作业满分为20分，占期末考核成绩的20。期末考试采用闭卷方式。平时作业以各章的自我检测题为主，由辅导教师按完成作业的质量评分。中央广播电视大学水利水电专业专科高等数学课程教学大纲第一部分 大纲说明一、课程的作用与任务“高等数学”课程是中央广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的大专工程技术和工程管理人才服务的。通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分、无穷级数和常微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分以及概率统计的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生初步受到用数学方法解决实际问题的能力训练通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。二、课程的教学基本要求1.微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系。使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要?/font2.使学生对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解。使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，培养学生辩证唯物主义观点，受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础3.通过无穷级数的学习，使学生对有限与无限、合成与分解的辩证关系有一个初步的了解。掌握一些有关的基本知?/font4.运动变化的客观世界中，很多现象和过程是通过微分方程来描述的。通过学习，使学生对微分方程有初步了解，知道它的某些解法。5.通过学习空间解析几何与向量代数的知识，提高学生空间想象能力和用代数方法研究几何图形的能力。6.通过学习多元函数微积分，使学生进一步建立变量的思想，提高处理多个变量问题的能力。7通过学习概率统计的知识，使学生了解概率论和数理统计的基本概念以及处理随机现象的基本方法。三、课程的教学要求层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。第二部分 学时、教学安排、教材与教学环节一、学时分配本课程共8.5学分，课内学时153，其中电视课学时117，VCD学时36，学时分配如下：项目内 容课内学时电视学时VCD学时非电视学时一元函数微积分 1. 函 数 5411极限与连续 8632第3章导数与微分131043第4章导数的应用151243第5章 不定积分12943第6章 定积分及其应用151233小计68531915无穷级数与常微分方程第7章 无穷级数（不含傅里叶级数）8830第8章 常微分方程141133小计221963合计90722518多元函数微积分第9章 空间解析几何 与向量代数111130第10章 多元函数微分学131340第11章 重积分121022小计363492概率统计 1. 概率基础知识 2. 几种统计方法 10171017小计2727合计6334929二、教学安排高等数学课程分两个学期讲授，第一学期90学时，学习内容包括第1章到第8章的内容；第二学期63学时，学习内容包括第9章到第11章内容，以及概率统计的内容。三、教材根据远距离教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，教材分主教材和辅导教材。主教材是课程的基本内容，是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行解释、归纳、总结，通过例题介绍学习方法，提高解题能力。文字教材是学生学习的主要用书，是学生获得知识和提高能力的重要媒体之一，教材中对概念的叙述要直观无误，论证要清楚，要适合成人以业余学习为主的特点，便于自学。四、教学环节1.电视课本课程配有系统讲授型的电视课，是重要的教学环节，是学生获得本课程知识的重要媒体之一。2VCD教材本课程配有讲座形式的VCD光盘教材，是学生获得本课程主要知识、进行自主学习的重要媒体之一。3.CAI课件本课程配有一套CAI课件光盘（一张），是学生提高学习兴趣，开阔视野、进行自主练习、测试的重要媒体之一。4自学与面授助学学生可以通过自学、收看电视课或使用VCD教材进行学习，通过CAI课件辅助学习，各地可以采取灵活多样的助学方式，帮助学生学习。如疑难解答，定点定时的章节讲解、帮学生批改作业等等。面授助学要服务于教学大纲、教材或电视课，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析问题、解决问题的能力。5.作业数学课是理论性较强的学科，为了加深对概念的理解和掌握，学生必须通过做练习题来熟悉各种公式的运用，消化、掌握所学的知识。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手?/font6考试期末考试是教学的重要环节，本课程的考核成绩采用期末考试成绩与平时作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80；平时作业满分为20分，占期末考核成绩的20。期末考试采用闭卷方式。平时作业按完成作业的质量评分。 第三部分教学内容和教学要求一、函数、极限与连续(13学时)(一)教学内容函数：常量与变量，函数的定义函数的表示方法：解析法，图示法、表格函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数难点：建立函数关系，极限概念(二)教学基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。3. 掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。4. 了解复合函数、初等函数的概念。5. 会列简单应用问题的函数关系式。6. 了解极限、左右极限的概念7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较8. 掌握极限的四则运算法则.9. 会用两个重要极限求极限。10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。12. 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。二、一元函数微分学(28学时)(一)教学内容导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分四则运算法则，一阶微分形式的不变性中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述导数应用：用洛必塔法则求“”、“”型未定式极限，函数的单调性判 别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，弧微分重点：导数概念和导数的计算，导数的应难点：复合函数求导，隐函数求导(二)教学基本要求1. 理解导数与微分概念(微分用 dyydx 定义)，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。3. 熟练掌握复合函数的求导法则。4. 掌握隐函数的微分法，会用取对数的方法求导数，会求参数表示的函数的一阶导?/font5. 知道一阶微分形式的不变性。6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式。8. 掌握洛比塔法则，会用它求“”、“”型不定式极限。9. 了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。11.会用二阶导数求曲线凹凸区间（包括判别），会求曲线的拐点。12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。三、一元函数积分学(27学时)(一)教学内容不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。原函数存在定理，牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。定积分的近似计算(梯形法)，无穷积分。定积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积，平面曲线的弧长，变力做功，引力、侧压力等重点：积分概念与计算，在几何上的应用难点：积分的计算(二)教学基本要求1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。掌握第二换元积分法。3.会求较简单的有理分式函数（分母为二次多项式）的积分。4.了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。5.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。6.熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。7.掌握定积分的换元积分法和分部积分法。8. 了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。9. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。四、无穷级数(13学时)(一) 教学内容无穷级数：无穷级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念。级数收敛的必要条件，几何级数、p-级数的收敛条件正项级数：比较判别法、比值判别法交错级数：莱布尼兹判别法幂级数：收敛半径及其求法，收敛区间泰勒级数： ，ex ,sinx,cosx,ln(1+x)五个函数的马克劳林级数展开式重点：正项级数、幂级数收敛判别法，收敛半径的求法难点：初等函数展成泰勒级数(二)教学基本要求1.了解无穷级数的收敛与发散概念及其主要性质，尤其是无穷级数收敛的必要条件，知道几何级数和p级数收敛的条件。2.掌握正项级数收敛性的比值判别法。3.理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法。五、常微分方程(14学时)(一)教学内容基本概念：微分方程及其阶、解(特解、通解)、初始条件一阶微分方程：变量可分离的微分方程，齐次型微分方程，一阶线性微分方程(齐次或非齐次)可降阶的二阶方程二阶线性微分方程：解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的通解的求法，二阶常系数线性非齐次微分方程(特殊自由项)的特解及通解的求法微分方程应用举重点：基本概念，一阶微分方程和二阶线性常系数微分方程的?/font难点：列微分方程，二阶线性常系数非齐次微分方程特解的求法(二)教学基本要求1.了解微分方程，阶，解(特解、通解)，线性，齐次，非齐次，初始条件等概念。2.熟练掌握变量可分离的微分方程的解法。3.熟练掌握一阶线性方程的解法。4. 了解特征方程和特征根概念。熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法。5.掌握二阶线性常系数非齐次方程(自由项为及，其中为多项式)的特解求法待定系数法，并写出通解。六、空间解析几何与向量代数(11学时) (一)教学内容空间直角坐标：空间直角坐标系，点的坐标，两点间距离公向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的加减法，数乘向量，向量的坐标，向径，方向余弦，方向角，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件空间平面：平面的点法式方程，一般方程空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程。平面与直线的位置关系的讨论空间曲面与曲线：曲线方程的概念，球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程重点：向量概念，向量的运算，平面的点法式方程，直线的标准方程。难点：建立空间概念，向量的向量积。(二)教学基本要1.了解空间直角坐标系，掌握两点间的距离公式。2.掌握向量概念：模、单位向量、方向余弦，特别是向量的坐标表示。3.掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。4.掌握平面的点法式方程和一般方程，会求点到平面的距离5.掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会进行方程间的互化。6.会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。7.知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。七、多元函数微分学(13学时)(一)教学内容多元函数：定义，二元函数的几何表示，二元函数的极限、连续介绍偏导数与全微分：偏导数定义和求法，高阶偏导数，全微分及全微分存在定理的叙述，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及求法，条件极值与拉格朗日乘数重点：偏导数与全微分计算，多元函数的极值难点：复合函数偏导数，多元函数的极值应用问题(二)教学基本要求1.知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。2.熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法3.熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数偏导数。4能熟练地求全微分。5会求曲线的