高考数学一轮复习 13.2 导数的应用课件.ppt

13 2导数的应用 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 基础梳理1 函数的单调性与导数的符号的关系 在某个区间上 增函数 减函数 常数函数 2 函数的极值与最值的辨析 1 定义设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 判别f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 极大值 f x 0 f x 0 思考探究1 如果f x 在其定义域内恒有f x 0 则f x 是否一定是其定义域上的增函数 为什么 2 对于函数y x3 在x 0处能取得极值吗 提示 在x 0处不能取得极值 因为f x 3x2 0恒成立 在x 0两侧单调性没发生变化 课前热身答案 d 2 函数f x x3 3x 1在 3 0 上的最大值 最小值分别是 a 1 1b 1 17c 3 17d 9 19答案 c 3 2012 高考福建卷 已知f x x3 6x2 9x abc a b c 且f a f b f c 0 现给出如下结论 f 0 f 1 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 a b c d 解析 选c f x x3 6x2 9x abc f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 令f x 0 得x 1或x 3 依题意有 函数f x x3 6x2 9x abc的图象与x轴有三个不同的交点 故f 1 f 3 0 即 1 6 9 abc 33 6 32 9 3 abc 0 0 abc 4 f 0 abc 0 f 1 4 abc 0 f 3 abc 0 故 是对的 应选c 4 f x x x b 2在x 2处有极大值 则常数b的值为 答案 6 解析 y x2 81 令y 0 解得x 9 9舍去 当00 当x 9时 y 0 则当x 9时 y取得最大值 故最大年利润的年产量为9万件 答案 9万件 思路分析 求f x 并求解不等式f x 0及f x 0 解 f x x2 a2 2 x a2 1 x 1 x a2 1 a2 1 1 当a 0时 f x 0 f x 在r上为增函数 当a 0时 a2 1 1 f x 0时 x a2 1或x 1 f x 0时 1 x a2 1 增区间为 a2 1 1 减区间为 1 a2 1 名师点评 对于含有参数的函数研究单调性时 要根据参数是否影响f x 正负取值来确定是否讨论参数 考点2用导数求函数的极值对于求极值的问题 首先明确函数的定义域 并用导数为0的点把定义域分割成几部分 然后列表判断导数在各部分取值的正负 极值点从表中就很清楚地显示出来 求函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 a 1 的极值 解 由已知得f x 6x x a 1 令f x 0 得x1 0 x2 a 1 当a 1时 f x 6x2 f x 在 上单调递增 f x 没有极值 当a 1时 f x f x 随x的变化情况如下表 由上表可知 当x 0时 f x 有极大值f 0 且f 0 1 当x a 1 f x 有极小值f a 1 且f a 1 1 a 1 3 综上所述 当a 1时 f x 没有极值 当a 1时 f x 的极大值为f 0 1 思维总结 f x0 0只是x0为极值的必要条件 务必有在x0两侧f x 单调发生变化 才能确定f x0 为极值点 跟踪训练1 若本例中的函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 在x 0处取得极值 求a的取值范围 考点3用导数求函数的最值或值域 1 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再判断 只需直接与端点的函数值比较即可获得 2 当连续函数的极值只有一个时 相应的极值必为函数的最值 已知a为实数 f x x2 4 x a 1 求f x 的导数 2 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 思路分析 1 第一问先展开 后对x求导 优于直接按积的导数求导 2 第二问是利用导数求函数的最值 应注意最大 小 值是函数在f x 0的根处及端点处值的最大 小 者 跟踪训练2 本例中 若f 1 0 求f x 在 0 1 上的值域 考点4生活中的优化问题生活中的利润最大 用料最省等优化问题 可转化为函数最值 结合导数求解 思路分析 1 可直接求关于t的二次函数的最值 2 中可将收益看作关于x的函数 求其最值 从而有g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 又当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取得最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销时 该公司由此获得的收益最大 思维总结 在 2 中g x 只有一个极值 就是其最值 方法技巧1 求可导函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间上是减函数 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 3 已知f x 在区间 a b 上的单调性 求参数的范围时 则根据f x 0或f x 0在 a b 内恒成立 注意验证等号是否成立 失误防范1 求函数单调区间时 要先求定义域 对于不连续的函数的单调区间不可用 联结合并 2 利用极值求字母参数时 要注意将所求字母参数的值代入验证 是否符合取极值的条件 命题预测从近两年的高考试题来看 导数的综合应用是高考的热点之一 每年必考且题型多为解答题 题目难易程度属中 高档题 并且多为压轴题 主要是借用导数处理函数的单调性 极值 最值等问题 进而研究函数 数列的有关不等式 在2012年的高考中 各省市考题都对此进行了考查 如大纲全国卷试题 利用极值和单调性求字母参数的取值 江苏卷利用导数与函数极值的关系 在数学思想方法上突出考查数形结合 分类讨论及综合分析问题解决问题的能力 预测2014年导数的综合应用仍是高考的热点 会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力 难度可能中等或较大 规范解答 本题满分12分 2011 高考大纲全国卷 已知函数f x x3 3ax2 3 6a x 12a 4 a r 1 证明 曲线y f x 在x 0处的切线过点 2 2 2 若f x 在x x0处取得极