步步高大一轮复习讲义数学幂函数.doc

2.6幂函数1幂函数的概念一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2幂函数的图像与性质由幂函数yx、y、yx2、yx1、yx3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在_上都有定义；(2)幂函数的图像都过点_；(3)当0时，幂函数的图像都过点_与_，且在(0，)上是_；(4)当g(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)探究提高求幂函数解析式的步骤：(1)设出幂函数的一般形式yx (为常数)；(2)根据已知条件求出的值；(3)写出幂函数的解析式 已知幂函数y(mZ)的图像与y轴有公共点，且其图像关于y轴对称，求m的值，并作出其图像题型三利用幂函数的性质比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)0.20.5和0.40.3.探究提高在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键 比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)，；(4)，和.题型四幂函数的综合应用例4已知幂函数f(x)(mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)f(a1)的实数a的取值范围3.利用转化思想求参数范围试题：(12分)若函数f(x)(x2mx1)0的定义域为R，求实数m的取值范围审题视角(1)从幂函数的视角看，幂指数为.f(x)的定义域为R，转化为mx24xm20恒成立，且x2mx10.(2)mx24xm20恒成立转化为ymx24xm2开口向上，且与x轴无交点规范解答解设g(x)mx24xm2，h(x)x2mx1，原题可转化为对一切xR有g(x)0且h(x)0恒成立由得3分即m1.6分由得2(m)240，即2m2.10分综上可得1m0且h(x)0恒成立是解题的关键(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g(x)0和h(x)0在R上恒成立作进一步转化(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx24xm20恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x2mx10的隐含条件，致使范围扩大.方法与技巧1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数2比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系3幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0，曲线下凸失误与防范1幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点2作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像3利用幂函数的图像和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1幂函数yf(x)的图像过点，那么f(8)的值为() A2 B64C. D.2如图是函数y(m，nN*，m、n互质)的图像，则()Am，n是奇数，且1Cm是偶数，n是奇数，且13(2011陕西)函数y的图像是()二、填空题4若幂函数y(m23m3)的图像不经过原点，则实数m的值为_5已知ax，b，c，x(0,1)，(0,1)，则a，b，c的大小顺序是_6若(a1)(32a)，则a的取值范围是_三、解答题7设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数当1xf(x3)B组专项能力提升题组一、选择题1设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca2已知幂函数f(x)(t3t1)(tN)是偶函数，则实数t的值为()A0 B1或1C1 D0或13若函数f(x)，则不等式f(x)的解集为()A1,2)3，)B(，31，)C.D(1，3，)二、填空题4函数y(m2m1)是幂函数且在x(0，)时为减函数，则实数m的值为_5已知函数f(x)x(01，则f(x)1；若0x1，则0f(x)0时，若f(x1)f(x2)，则x1x2；若0x1x2，则.其中正确的命题序号是_6已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_7已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”在函数：f1(x)，f2(x)x，f3(x)x2中，其中_是“保三角形函数”(填上正确的函数序号)三、解答题8已知函数f(x)(kZ)满足f(2)0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为4，？若存在，求出q；若不存在，请说明理由答案要点梳理1yx2(1)(0，)(2)(1,1) (3)(0,0)(1,1)递增的 (4)递减的3(2)定义域：RRR0，)x|xR且x0值域：R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性：奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性：增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，)时，减；x(，0)时，减基础自测1二、四2.3.4.D题型分类深度剖析例1解y(m22m2)(2n3)为幂函数m22m21且2n30.m3，m1且n.又m210，m3且n.变式训练1解(1)若f(x)是正比例函数，则，解得m1.当m1时，f(x)为正比例函数(2)若f(x)为反比例函数，则，解得m1.当m1时，f(x)为反比例函数(3)若f(x)为二次函数，则，解得m.当m时，f(x)为二次函数(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，解得m1.当m1时，f(x)为幂函数例2解(1)设f(x)x，其图像过点(，2)，故2()，解得2，f(x)x2.设g(x)x，其图像过点，2，解得2，g(x)x2.(2)在同一坐标系下作出f(x)x2与g(x)x2的图像，如图所示由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(1,1)与(1,1)当x1或xg(x)；当x1或x1时，f(x)g(x)；当1x1且x0时，f(x)0，即m23m40，解得4m1.又mZ，m3，2，1,0.当m3或m0时，函数可化为yx4，符合题意，其图像如图.当m2或m1时，函数可化为yx6，符合题意，其图像如图.图 图综上所述，m的值为3，2，1,0.例3解(1)函数y在(0，)上是递增函数，且0.950.96.(2)，由于函数y在(0，)上是减函数，即.(3)由于函数y0.2x在R上是减函数，0.20.50.20.3，又函数yx0.3在(0，)上是增函数，0.20.30.40.3，故0.20.530.7.(2)函数yx3是增函数，0.213，.(4)1；01；0，.例4解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图像关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或af(a1)得解得1a.a的取值范围为1，)课时规范训练A组1C2.C3.B4.1或25ca0，n22n30，解得1nf(x3)转化为x2xx3.