高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 空间直角坐标系课件 北师大版必修2.ppt

3空间直角坐标系 3 1空间直角坐标系的建立3 2空间直角坐标系中点的坐标 1 了解空间直角坐标系 会利用空间直角坐标系表示点的位置 2 利用空间直角坐标系求关于点 线 面的对称点的坐标 1 空间直角坐标系 1 定义 在平面直角坐标系的基础上 通过原点o 再增加一条与xoy平面垂直的z轴 这样就建立了三个维度的空间直角坐标系 其中点o叫作原点 x y z轴统称为坐标轴 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面 2 画法 在平面上画空间直角坐标系时 一般使 xoy 135 或45 yoz 90 名师点拨本书建立的坐标系都是右手直角坐标系 即伸出右手 让四指与大拇指垂直 并使四指先指向x轴正方向 然后让四指沿握拳方向旋转90 指向y轴正方向 此时大拇指的指向即为z轴正向 也称这个坐标系为右手系 做一做1 下面表示空间直角坐标系的直观图中 是右手系的是 a b c d 答案 c 2 空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中 用一个三元有序数组来刻画空间点的位置 空间任意一点p的坐标记为 x y z 第一个是x坐标 第二个是y坐标 第三个是z坐标 在空间直角坐标系中 对于空间任意一点p 都可以用一个三元有序数组 x y z 来表示 反之 任何一个三元有序数组 x y z 都可以确定空间中的一个点p 这样 在空间直角坐标系中 点与三元有序数组之间就建立了一一对应的关系 空间中两点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 线段p1p2的中点为p0 x0 y0 z0 这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式 是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展 做一做2 1 点p 2 0 3 在空间直角坐标系中的位置是在 a y轴上b xoy平面上c xoz平面上d yoz平面上答案 c 做一做2 2 在空间直角坐标系中 x轴上的点的坐标可记为 a 0 b 0 b a 0 0 c 0 0 c d 0 b c 答案 b 做一做2 3 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 则点b1的坐标是 a 1 0 0 b 1 0 1 c 1 1 1 d 1 1 0 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 在空间直角坐标系中 作出点m 4 2 5 解 方法一 依据平移的方法 为了作出点m 4 2 5 可以按如下步骤进行 1 在x轴上取横坐标为4的点m1 2 将m1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向左平移2个单位长度 得到点m2 3 将点m2沿与z轴平行的方向向上平移5个单位长度 即可得到点m 如图所示 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二 以o为一个顶点 构造三条棱长分别为4 2 5的长方体 使此长方体在点o处的三条棱分别在x轴的正半轴 y轴的负半轴 z轴的正半轴上 则长方体中与顶点o相对的顶点即为所求的点m 图示略 方法三 在x轴上找到横坐标为4的点 过此点作与x轴垂直的平面 在y轴上找到纵坐标为 2的点 过此点作与y轴垂直的平面 在z轴上找到竖坐标为5的点 过此点作与z轴垂直的平面 则平面 交于一点 此交点即为所求的点m 图示略 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 若要作的点m x0 y0 z0 的坐标有两个为0 则此点是坐标轴上的点 可直接在坐标轴上作出此点 2 若要作的点m x0 y0 z0 的坐标有且只有一个为0 则此点不在坐标轴上 但在某一坐标平面内 可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点 3 若要作的点m x0 y0 z0 的坐标都不为0 则需要按照一定的步骤作出该点 一般有三种方法 1 先在x轴上取横坐标为x0的点m1 再将m1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向左 y00 平移 y0 个单位长度 得到点m2 再将点m2沿与z轴平行的方向向上 z0 0 或向下 z0 0 平移 z0 个单位长度 即可得到点m x0 y0 z0 题型一 题型二 题型三 题型四 2 以原点o为一个顶点 构造棱长分别为 x0 y0 z0 的长方体 三条棱的位置要与x0 y0 z0的符号一致 则长方体中与顶点o相对的顶点即为所求的点m 3 先在x轴上找到点m1 x0 0 0 过点m1作与x轴垂直的平面 再在y轴上找到点m2 0 y0 0 过点m2作与y轴垂直的平面 在z轴上找到点m3 0 0 z0 过点m3作与z轴垂直的平面 三个平面 交于一点 此交点即为所求的点m 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 在空间直角坐标系中 作出下列各点 a 2 4 4 b 3 4 2 c 4 0 3 解 a 2 4 4 b 3 4 2 c 4 0 3 的位置如图所示 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 4 ad 3 aa1 5 n为棱cc1的中点 分别以ab ad aa1所在的直线为x y z轴 建立空间直角坐标系 1 求点a b c d a1 b1 c1 d1的坐标 2 求点n的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 显然a 0 0 0 因为点b在x轴的正半轴上 且 ob 4 所以b 4 0 0 同理可得d 0 3 0 a1 0 0 5 由于点c在坐标平面xoy内 bc ab cd ad 则点c 4 3 0 同理可得b1 4 0 5 d1 0 3 5 与点c的坐标相比 点c1的坐标中只有竖坐标与点c不同 cc1 aa1 5 则点c1 4 3 5 题型一 题型二 题型三 题型四 反思建立空间直角坐标系要把握以下原则 尽可能选取互相垂直的三个平面的交点为原点 尽可能多地把点放在坐标平面或坐标轴上 在长方体中 通常以长方体的一个顶点为原点 以这个顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 棱长为1 建立适当的空间直角坐标系 并求点e f的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 1 求点b1关于平面xoy对称的点的坐标 2 求点b1关于z轴对称的点的坐标 3 求点b1关于原点对称的点的坐标 分析 坐标系已经给出 解答本题只需先求出点b1的坐标 在此基础上借助点关于点 线 平面的对称原则求解即可 题型一 题型二 题型三 题型四 解 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 易求得点b1的坐标为 a a a 1 点b1关于平面xoy对称的点的坐标为 a a a 2 点b1关于z轴对称的点的坐标为 a a a 3 点b1关于原点对称的点的坐标为 a a a 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 在空间直角坐标系中 点p 2 1 4 关于x轴对称的点的坐标是 关于xoy平面对称的点的坐标是 关于点a 1 0 2 对称的点的坐标是 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 点p关于x轴对称后 它在x轴的分量不变 在y轴 z轴上的分量变为原来的相反数 所以点p关于x轴的对称点p1的坐标为 2 1 4 点p关于xoy平面对称后 它在x轴 y轴上的分量均不变 在z轴上的分量变为原来的相反数 所以点p关于xoy平面的对称点p2的坐标为 2 1 4 设点p关于点a的对称点的坐标为p3 x y z 由中点坐标公式可得故点p关于点a 1 0 2 对称的点p3的坐标为 4 1 0 答案 2 1 4 2 1 4 4 1 0 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 由于建系不当而致误 例4 正三棱柱abc a1b1c1各棱长均为1 建立正确的坐标系求点b的坐标时 下列建系方式正确的有 1 以a1为原点 在平面a1b1c1内作a1c1的垂线为x轴 a1c1和aa1所在直线为y轴和z轴建立空间直角坐标系 2 以a为原点 分别以ab ac a1a所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 3 以a1为原点 分别以a1b1 a1c1 a1a所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 4 取ac的中点o和a1c1的中点o1 可得bo ac 以o为原点 分别以ob oc oo1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 a 2 3 b 2 4 c 1 4 d 3 4 题型一 题型二 题型三 题型四 错解 选a或b或d错因分析 将 2 3 误认为x轴和y轴垂直 实际上在正三棱柱abc a1b1c1中 bac b1a1c1 60 所以 2 3 中的x轴与y轴不垂直 不符合空间直角坐标系的建系要求 正解 在空间直角坐标系中 三个坐标轴的位置关系是两两互相垂直 2 3 中x轴和y轴不垂直 1 4 中三个坐标轴两两互相垂直 故选c 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 ab ac 2 bac 90 m是cc1的中点 q是bc的中点 试建立空间直角坐标系 写出点b c c1 m q的坐标 解 因建系不同 所得各点坐标也不同 如以a为原点 分别以ab ac aa1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 则b 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 m 0 2 1 q 1 1 0 12345 1 设a 2 3 1 b 4 7 1 则线段ab的中点在空间直角坐标系中的位置是 a 在y轴上b 在xoy面内c 在xoz面内d 在yoz面内解析 根据中点坐标公式可知 ab的中点坐标为p 3 2 0 故点p在xoy面内 答案 b 12345 答案 d 12345 3 已知点a 3 1 4 则点a关于原点的对称点a 的坐标为 a 1 3 4 b 4 1 3 c 3 1 4 d 4 1 3 答案 c 12345 4 在空间直角坐标系中 点m 2 4 3 在xoz平面上的射影为m 则m 关于原点的对称点是 解析 点m在xoz平面上的射影m 的坐标为 2 0 3