高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4(1).ppt

2 1平面向量的实际背景及基本概念 一 二 三 四 一 向量的概念 问题思考 1 在物理中 位移与距离是同一个概念吗 现实世界中有各种各样的量 如年龄 身高 体重 力 速度 面积 体积 温度等 怎样正确区分这些量呢 提示 位移与距离不是同一个概念 这些量中有些只有大小 没有方向 但有些既有大小又有方向 因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分 2 填空 1 向量 数学中 我们把既有大小 又有方向的量叫做向量 2 数量 把那些只有大小 没有方向的量 称为数量 一 二 三 四 3 我们曾经用单位圆中的有向线段定义了三角函数线 那么线段与有向线段相同吗 有向线段有哪几个要素 提示 线段与有向线段是不同的 有向线段有长度 方向 端点等要素 4 填空 1 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 其方向是由起点指向终点 以a为起点 b为终点的有向线段记作 如图所示 线段ab的长度也叫做有向线段的长度 记作书写有向线段时 起点写在终点的前面 上面标上箭头 2 有向线段的三个要素 起点 方向 长度 知道了有向线段的起点 方向 长度 它的终点就唯一确定了 一 二 三 四 5 做一做 下列说法正确的是 a 身高是一个向量b 温度有零上温度和零下温度之分 故温度是向量c 有向线段由方向和长度两个要素确定解析 有向线段的起点与终点互换 其方向相反 长度相等 故d项正确 答案 d 一 二 三 四 二 向量的表示 问题思考 1 对于一个实数 可以用数轴上的点表示 对于一个角的正弦 余弦和正切 可以用三角函数线表示 对于一个二次函数 可以用一条抛物线表示 数学中有许多量都可以用几何方式表示 你认为如何用几何方式表示向量最合适 提示 由于向量既有大小又有方向 因此可用有向线段来表示 一 二 三 四 2 填空 向量的表示法 1 几何表示 用有向线段表示 此时有向线段的方向就是向量的方向 向量的大小就是向量的长度 或称模 如向量的长度记作 2 字母表示 通常在印刷时 用黑体小写字母a b c 表示向量 书写时 写成带箭头的小写字母 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示 如以a为起点 以b为终点的向量记为 3 向量就是有向线段吗 提示 不是 二者不是同一概念 它们只是一种对应关系 一 二 三 四 4 向量与有向线段的区别与联系 1 区别 数学中的向量是自由向量 只有大小与方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 则这两个向量就相同 有向线段则有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小与方向相同 也是不同的有向线段 2 联系 向量可以用有向线段来表示 一 二 三 四 5 做一做 已知向量a如图所示 下列说法不正确的是 b 方向是由m指向nc 起点是md 终点是m解析 由向量的表示知 a b c正确 d不正确 答案 d 一 二 三 四 三 向量的模及两个特殊向量 问题思考 1 向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗 提示 向量的模可以为0 可以为1 但不可以为负数 2 填空 向量的模及两个特殊向量 2 两个特殊向量 零向量 长度为0的向量叫做零向量 记作0 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 叫做单位向量 一 二 三 四 3 做一做 下列说法正确的是 a 向量的模是一个正实数b 零向量没有方向c 单位向量的模等于1个长度单位d 零向量就是实数0解析 向量的模是一个非负实数 它的方向是任意的 但它不是实数0 故a b d均错 只有c正确 答案 c 一 二 三 四 四 向量的关系 问题思考 1 向量由其模和方向所确定 对于两个向量a b 就其模等与不等 方向同与不同而言 有哪几种可能情形 提示 有四种情形 模相等 方向相同 模相等 方向不相同 模不相等 方向相同 模不相等 方向不相同 2 填空 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 向量a与b相等 记作a b 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 因为向量完全是由它的方向和模确定 一 二 三 四 3 如果两个向量所在的直线互相平行 那么这两个向量的方向有什么关系 提示 方向相同或相反 4 填空 平行向量 1 定义 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 向量a与b平行 通常记作a b 2 规定 零向量与任一向量平行 即对于任意的向量a 都有0 a 3 共线向量 任意一组平行向量都可以移动到同一直线上 因此平行向量也叫做共线向量 一 二 三 四 5 做一做 下列说法正确的是 b 与实数类似 对于两个向量a b有a b a b a b三种关系c 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线一定平行d 若两个向量是共线向量 则向量所在的直线可以平行 也可以重合解析 由相等向量和平行向量的定义知 d正确 a b c不正确 答案 d 一 二 三 四 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平行向量方向一定相同 2 不相等向量一定不平行 3 与零向量相等的向量是零向量 4 与任何向量都平行的向量是零向量 5 共线向量一定在一条直线上 6 若两向量平行 则这两向量的方向相同或相反 答案 1 2 3 4 5 6 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 给出以下说法 直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量 零向量的长度为零 方向是任意的 若a b都是单位向量 则a b 有向线段就是向量 单位向量大于零向量 其中正确说法的序号是 解析 直角坐标平面上的x轴 y轴是射线 但不是向量 故 错误 由零向量的定义可知 正确 若a b都是单位向量 则它们的模相等 但不一定有a b 故 错误 有向线段可以用来表示向量 但它不是向量 故 错误 单位向量的模大于零向量的模 但不能说单位向量大于零向量 向量之间不能比较大小 故 错误 答案 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 判断一个量是不是向量 关键看它是否同时具备向量的两个要素 大小和方向 2 零向量的方向是任意的 所有的零向量都相等 3 单位向量的长度都是1 但方向不确定 4 向量之间不能比较大小 但它们的模可以比较大小 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1下列说法正确的是 a 数量可以比较大小 向量也可以比较大小b 向量的模可以比较大小c 模为1的向量都是相等向量d 由于零向量的方向不确定 因此零向量不能与任意向量平行解析 向量不能比较大小 故a不正确 向量的模是一个数量 可以比较大小 故b正确 相等向量不但模相等 方向也相同 故c不正确 规定零向量与任意向量平行 故d不正确 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 在如图所示的坐标纸上 每个小方格的边长均为1 用直尺和圆规画出下列向量 分析先确定起点 再根据大小和方向确定出终点 即可画出向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 准确画出向量的方法是先确定向量的起点 再确定向量的方向 最后根据向量的大小确定向量的终点 2 注意事项 书写有向线段时 要注意起点和终点的不同 在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 b c是线段ad的三等分点 分别以图中各点为起点和终点 可以写出个向量 答案 12 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 判断下列命题是否正确 说明理由 3 两个共线向量 若它们的起点不同 则终点也一定不同 4 若向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 5 两个起点相同而且相等的向量 其终点必相同 6 两个有共同终点的向量 一定是共线向量 分析根据共线向量 相等向量的概念进行判断分析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 错误 平行向量也叫做共线向量 所以两个共线向量不一定在同一条直线上 3 错误 共线向量的长度不一定相等 当它们起点不同时 终点可以相同 4 错误 零向量的方向是任意的 而零向量与任意向量都平行 5 正确 由相等向量的定义可知 6 错误 任意两个向量的终点都可以是相同的 当它们起点不同时 可以不是共线向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量 再确定哪些是同向共线 2 寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段 再找同向与反向的向量 注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点 起点为终点的向量 3 对于共线向量所在直线的位置关系的判断 要注意直线平行或重合两种情况 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对向量的有关概念理解不清致误 典例 已知下列命题 若 a 0 则a为零向量 若 a b 则a b或a b 若a b 则 a b 所有单位向量都是相等向量 两个有共同起点 而且相等的向量 其终点必相同 其中正确的有 a 2个b 3个c 4个d 5个错解 c错解 错在什么地方 你能发现吗 怎样避免这类错误呢 提示 由于对零向量 单位向量 相等向量 平行向量等概念理解不清 混淆它们之间的区别与联系导致错选 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 正确 由 a b 得a与b的模相等 但不确定方向 故 错误 错误 所有单位向量的模都相等 都为1 但方向不确定 故 不正确 正确 答案 a防范措施明确向量及其相关概念的联系与区别 1 区分向量与数量 向量既强调大小 又强调方向 而数量只与大小有关 2 明确向量与有向线段的区别 有向线段有三要素 起点 方向 长度 只要起点不同 另外两个要素相同也不是同一条有向线段 但决定向量的要素只有两个 大小和方向 与表示向量的有向线段的起点无关 3 零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的 零向量的方向是任意的 4 平行向量也叫共线向量 当两共线向量的方向相同且模相等时 两向量为相等向量 1 2 3 4 5 1 下列各量中是向量的是 a 时间b 速度c 面积d 长度解析 速度既有大小又有方向 是向量 其余均是数量 答案 b 1 2 3 4 5 2 给出命题 零向量的长度为零 方向是任意的 若a b都是单位向量 则a b 向量相等 若两个向量是相等向量 则它们一定是共线向量 以上命题中 正确命题的序号是 a b c d 解析 根据零向量的定义可知 正确 根据单位向量的定义 单位向量的模相等