高中数学几类递推关系的求解.doc

杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文高中数学几类递推关系的求解Several types of recurrent relations to solve high math论文作者： 李存友 专 业： 数学与应用数学（师范） 指导老师： 郑德印 完成时间： 2014年 4 月 20日摘要递推数列是数学中很重要的一部分内容. 递推关系是数列的表示形式之一. 在高中数学中,递推数列占有举足轻重的地位. 在近几年高考中屡次出现关于递推数列的试题,并且往往作为压轴题目出现. 这充分体现了递推数列的重要性. 认识递推数列在数列诸表示形式中的地位,并能以递推数列为工具去解决与之有关的数学问题,已经成为高中数学的重要内容之一. 递推数列中包含了诸多数学思想方法,如函数与方程思想、化归思想、递归思想以及数学归纳法等. 本文主要研究了高中数学几类常见的递推关系，重点介绍了一阶递推关系和常系数二阶递推关系,主要使用了构造法,此外还简单介绍了迭代法. 最后,我们可以得出,对于常见的递推关系,要尽量试着转化为等差或等比的递推关系求解，此外对于累加型和累乘型递推关系,可以使用迭代法.Recurrent sequence is an important part of content in mathematics. The recursive relations is one of the representation of the sequence. In high school mathematics, recursive sequence occupies a pivotal position. In recent years repeatedly appears in the college entrance examination questions about recursion sequence, and often appear as last topic. This fully shows the importance of recursive sequence. Known recursive sequence in the sequence of various representations of position, and can count on recursive as tools to solve mathematical problems related to, has become one of the important content of high school math. Recursion sequence contains many mathematical thinking methods, such as the function and equation of thoughts, ideas, recursive thoughts and mathematical induction, etc. This paper mainly studied the high school mathematics the recursion relation of several kinds of common, mainly introduced first-order recurrence relations and the recursive relations of second order constant coefficient, main construction method, in addition to simple iterative method is introduced, finally, we can conclude that the common recursive relations, want to try as far as possible into the recursion relation of arithmetic or geometric solution, in addition to additive and multiplicative recursive relations, can use the iteration method. 关键词：数列；递推关系；通项公式: 构造法; 迭代法 Keywords:sequence; recurrent relations; general term formula; construction method; iterative method目 录1.引言42.2等差数列的递推关系42.3 等比数列的递推关系53. 一阶递推关系63.1 一阶线性递推关系63.3.1型63.1.2形如型113.1.3型123.1.4形如 型153.2 一阶非线性递推关系153.2.1型153.2.2分式线性递推关系164.二阶递推关系184.1 常系数二阶线性齐次递推关系184.2 常系数二阶线性非齐次递推关系235.结束语246.参考文献257.致谢261.引言数列是高中数学的重要内容,而递推数列近几年在高考中频繁出现,已经成为数学高考的重点. 同时,递推关系几乎在每个数学分支中都有着重要的作用. 如何建立递推关系,已给的递推关系有什么性质,以及如何求解递推关系等等,是递推关系中的几个基本问题. 研究递推数列要建立在等差数列和等比数列的基础之上,因为等差数列和等比数列是高中数学中两类基础的数列,也是最简单的两类数列. 等差数列和等比数列具有很多特殊的性质. 如果知道了等差数列和等比数列的递推关系,可以很容易求出它们的通项,以及它们的前n项和等. 鉴于等差数列和等比数列的诸多特点,等差数列和等比数列在解决其他类型数列方面具有基础性作用. 在研究数列问题时,数列的通项公式往往是首要解决的问题. 在高中数学中，数列的通项公式的求法有多种,但利用构造新数列把非特殊数列转化为等差,等比两种典型的特殊数列是最为重要的. 但由于构造新数列需要比较灵活的变形技巧,学生在应用构造新数列求数列通项时却往往会感到力不从心. 实际上，在高中数学中,很多递推关系可以通过构造从而使之成为等差数列或等比数列,这是研究递推数列的最常用方法,对于某些类型的递推关系,这种构造方法很难处理或者无法处理,这需要其他的方法来解决. 2.递推关系的概念 2.1 递推关系的定义递推公式是指数列的任意若干项所满足的一个确定关系式（比较常见的通常是给出数列中的相邻两项间的关系），由递推公式和相应的若干项可以确定一个数列；利用递推关系给出的数列称为递推数列定义1：对于任意正整数n,由公式所确定的数列叫做递推数列.k叫做递推数列的阶数.这个公式叫做递推公式.若是整式，并且的次数都是一次的，则这个数列称为线性递推数列.否则就称作非线性递推数列.若中不含常数项，就称该递推关系为齐次递推关系，否则就称为非齐次递推关系.若的系数都是常数，则称该递推关系为常系数递推关系.2.2等差数列的递推关系 定义2：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.等差数列的递推关系是，.其中表示数列的第项，为常数.等差数列的特点是任意后前两项的差是同一个常数，后一项减去前一项的差称为公差，通常用字母来表示公差.如果已知数列的首项和公差，那么如何求等差数列的通项公式？可采用如下方法：由于等差数列的递推关系为,因此,.于是有,.因此，,.当时上式也成立.因此，等差数列的通项公式是.2.3 等比数列的递推关系定义3：如果一个数列第二项起，数列的每一项与前一项的比值都是同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.等比数列的递推关系是.其中.叫做该等比数列的公比.等比数列的递推关系特点是每一项与前一项的比值都是同一个常数.若已知等比数列的首项和公比，那么如何求等比数列的通项公式?我们可采用以下方法：由等比数列的递推关系,可得,.因此，,.当时上式也成立.故该等比数列的通项公式为.3. 一阶递推关系3.1 一阶线性递推关系定义4：递推关系=叫做一阶线性递推关系.若是常数，则叫一阶常系数线性递推关系.3.3.1型定理1：已知数列的首项和递推关系,().则数列的通项公式为=.证明：由递推关系,可得.于是,-=,-=.因此,=().结合原递推关系,消去得=.故数列的通项公式为=.也可以用构造法来证明,方法如下：设,则与原递推公式对比有,=.于是,.=.=-=故数列的通项公式是=.例1 已知数列满足递推关系,首项=1，求该数列的通项公式.分析：此类型的数列可以构造新数列使其成为等比数列.解 ：根据该递推关系的特点,可设,解得.因此,，.把+1看作一个新数列的第n项，于是,数列是首项为2，公比为2的等比数列.因此,.故该数列的通项公式是,.解法2：由递推关系可得，.因此有=2,=2.因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列.于是,=.结合原递推关系,消去得.故数列的通项公式为.解法3(迭代法)：由递推关系可得,其中.当时也满足上式.故数列的通项公式为=.例2 已知数列满足递推关系，,求数列的通项公式.解：设,那么有.与原递推公式比较有，解得.于是,.把看作数列的第n项.于是,是首项为3,公比为3的等比数列.因此有，.于是，.故的通项公式为,.例3 已知数列满足递推关系，,求数列的通项公式.解：设,那么有.与原递推公式比较有，解得.于是,.是首项为6,公比为3的等比数列.把看作数列的第n项.因此，.于是，.故的通项公式为,.例4 (2008湖北理科第21题) 已知数列满足.其中为常数.求数列的通项公式. 解 令,其中为待定系数.即.又,则解得.由此可得数列为等比数列.则,化简得.故数列的通项公式为.小结1：对于形如,的数列，求其通项公式可以用以下构造方法：设，则与原递推公式比较有,解出p和q.把看作是的n项.于是可以看出数列通常是一个等比数列(除非).先求出的通项，从而可求出的通项.3.1.2形如型对于此类可以使用迭代法.其思路如下：=.例5 已知数列满足递推关系，,求数列的通项公式.解：由递推关系,得,.,.,.当也满足上述.因此，数列的通项为,.例6（2007年北京高考理数第15题）数列中，=2.=+ (c是常数，n=1,2,3),且,成公比不为1的等比数列.（I）求c的值. (II)求的通项公式. 解：（I）由题意可知：=2,=,=2+.由于,成等比数列，因此有=.解得或者.当时,=不符合题意，因此舍去.故.(II)当时，因为-=,-=,-=.所以=.又因为,所以=,()当n=1时也满足上式，因此=，（n=1,2,3,）3.1.3型例7 已知数列满足：，求数列的通项公式 解：设,则有.对比原递推公式可知.于是,.数列是首项为3，公比为3的等比数列.因此,.故的通项公式是.例8 已知数列满足：，.求数列的通项公式解：设,则.对比原递推公式可知 解得.于是,.数列是首项为3，公比为3的等比数列.因此,.故的通项公式是,.例9 已知数列满足：，求数列的通项公式解：设，则.对比原递推公式可知.解得.于是，,.于是,是首项为3,公比为3的等比数列.因此，.故的通项公式是.小结2：对于形如,的数列,求其通项公式可采用以下方法：设，则.与原递推关系比较可以解出p,q,r.把看作是数列的第n项.是等比数列（除外）.先求的通项公式，然后即可求出的通项公式.3.1.4形如 型此类型可采用迭代法.其原理如下：例10 已知数列满足递推关系,.求数列的通项公式.解：由递推关系可得 ，.当时也满足上式.故数列的通项公式为,.3.2 一阶非线性递推关系3.2.1型例11 已知数列满足递推关系,.求数列的通项.解：由于，由数学归纳法易证对于一切正整数n恒成立.将递推关系两端取对数，有.则.构造后有,.数列是首项为2，公比为2的等比数列.于是，.则.故的通项公式是.小结3：一般地，对于形如,的递推关系.求其通项可以使用如下方法：先由数学归纳法证明对于一切正整数n恒成立.之后将递推公式两边取对数，可以得到,.随后设先求出的通项，而后即可求出的通项.3.2.2分式线性递推关系形如的递推关系叫做分式线性递推关系，求解此类递推关系，可以使用构造法.例12 已知数列满足递推关系,.求数列的通项.解：易知对一切正整数n恒成立.于是，有,则有.其中.于是，数列是首项为1，公差为2的等差数列.因此，,从而.故数列的通项为,.例13 (2008年陕西高考理数第22题) 已知数列的首项，求的通项公式.解：由递推关系,得.令，解得.则数列为等比数列.从而,解得.故数列的通项公式为.小结4：对于由分式递推关系确定的数列,对左右两边进行倒数是一种常用的技巧和方法.通过取倒数再构造新数列,最终把数列化归为等比或等差数列,进而求出原数列的通项公式.具体方法如下：对于形如,的数列，可以取倒数，于是=,则.若,则是一个等差数列.若,属于上面已探讨过的一阶递推数列,再次利用构造法即可.4.二阶递推关系定义5：形如的递推关系叫做常系数二阶线性递推关系.如果,那么该递推关系就叫做常系数二阶线性齐次递推关系.如果,那么就该递推关系叫做常系数二阶线性非齐次递推关系.4.1 常系数二阶线性齐次递推关系 例14 1202年意大利数学家斐波那契提出了一个美妙的数列斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、在现代物理、晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了斐波纳契数列季刊，专门刊载这方面的研究成果。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：，怎样求出斐波那契数列的通项公式?解: 设 ，则.根据待定系数法可知,解得第一组解 , 或者第二组解.当取第一组解时，其中数列是首项为，公比为的等比数列.故 当取第二组解时，其中.数列是首项为，公比为的等比数列.故 .消去得.即斐波那契数列的通项公式为.例15 数列满足递推关系=5-6,=1,求数列的通项公式。解 设 ，则.于是，解得或者.当取时，.数列是首项为3，公比为3的等比数列.于是=.接下来有两种方法可以解决此问题方法1：当取时，数列是首项和公比都为2的等比数列.于是，又因为=.解得,数列的通项公式是.方法2(迭代法)：由于=.所以.即.=+=+=.因此.故数列的通项公式是.4.2 常系数二阶线性非齐次递推关系形如,的递推关系叫做常系数二阶非齐次递推关系.其通项求解方法与常系数二阶线性齐次递推关系的求解方法类似，也是利用构造法.例16 已知数列满足递推关系，,.求数列的通项公式.解：设,则.对比原递推公式可知，解得第一组解和第二组解.取第一组解有，,.于是是首项为2,公比为2的等比数列.从而,.取第二组解有，,.于是是首项为3,公比为3的等比数列.从而,.消去得.故的通项公式为.本题在求出后也可以转化为的数列来求解.方法如下：由于.则.此式可以变形为.于是，数列是首项为3，公比为3的等比数列.从而.故数列的通项公式为.小结5：对于常系数二阶线性非齐次递推关系,可以采用以下构造法，设.与原递推关系对比，可以解出和.通常，数列会是一个等比数列（时除外）.先求出的通项，进而可求出的通项.对于非常系数二阶递推关系，难有统一的解决方法，需要具体情况具体分析.鉴于笔者能力有限，在此不做研究.5.结束语本文主要探究了一阶递推关系和常系数二阶线性递推关系的求法.主要提到了构造法和迭代法.这两种方法各有特点，针对性也不尽相同.迭代法主要用于解决的累加型和的累乘型.迭代法的思路是不断地用前一项表示后一项，依次进行下去，最终用第一项表示第n项.而构造法运用了化归思想，通过变形把原数列转化为一个新数列，使这个新数列是等比数列或等差数列.先求出这个新数列的通项公式,然后即可求出原数列的通项公式.构造法的重点是要根据递推关系的特点，选择合适的变形方法来构造新数列.根据不同的递推关系类型，进行构造新数列，这也是构造法的难点.6.参考文献参考文献1 曹汝成，组合数学M广州：华南理工大学出版社，1