超几何分布与二项分布的区别

1 超几何分布与二项分布的区别超几何分布与二项分布的区别 知识点 关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布 关键是要看随机变量是否满足超几何分布 的特征 一个总体 共有N个 内含有两种不同的事物 A M个 B NM 个 任取n个 其 中恰有X个A 符合该条件的即可断定是超几何分布 按照超几何分布的分布列 kn k MN M n N C C P Xk C 0 1 2 km 进行处理就可以了 二项分布必须同时满足以下两个条件 在一次试验中试验结果只有A与A这两个 且事件A发生的概率为 p 事件A发生的概率为1 p 试验可以独立重复地进行 即每 次重复做一次试验 事件A发生的概率都是同一常数 p 事件A发生的概率为1 p 1 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测 每一件一等品都能通过检测 每一件二 等品通过检测的概率为 2 3 现有 10 件产品 其中 6 件是一等品 4 件是二等品 随机选取 1 件产品 求能够通过检测的概率 随机选取 3 件产品 其中一等品的件数记为X 求X的分布列 随机选取 3 件产品 求这三件产品都不能通过检测的概率 2 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 为了搞好 接待工作 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者 将这 30 名志愿者 的身高编成如右所示的茎叶图 单位 cm 若身高在 175cm 以上 包括 175cm 定义 为 高个子 身高在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才担任 礼仪小姐 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中中提取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担 任 礼仪小姐 的人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 2 3 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查 瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉 记忆能力 某班学生共有 40 人 下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果 例如表中听觉 记忆能力为中等 且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人 视觉记忆能力 视觉 偏低中等偏高超常 偏低0751 中等183b 偏高2a01 听 觉 记 忆 能 力 超常0211 由于部分数据丢失 只知道从这 40 位学生中随机抽取一个 视觉记忆能力恰为中等 且 听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 2 5 试确定a b的值 从 40 人 中任意抽取 3 人 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 求随 机变量 的分布列 4 在某校教师趣味投篮比赛中 比赛规则是 每场投 6 个球 至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖 否则不获奖 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3 记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X 求 X 的分布列及数学期望 求教师甲在一场比赛中获奖的概率 已知教师乙在某场比赛中 6 个球中 恰好投进了 4 个球 求教师乙在这场比赛中获奖的概率 教师乙在这场比赛中获奖的 概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗 听觉 3 HC A1 A2 B1B2 L1 L2 A3 5 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康 要求产品在进入市场前必须 进行两轮核辐射检测 只有两轮都合格才能进行销售 否则不能销售 已知某产品第一 轮检测不合格的概率为 1 6 第二轮检测不合格的概率为 1 10 两轮检测是否合格相互没 有影响 求该产品不能销售的概率 如果产品可以销售 则每件产品可获利 40 元 如果产品不能销售 则每件产品 亏损 80 元 即获利 80 元 已知一箱中有产品 4 件 记一箱产品获利 X 元 求 X 的 分布列 并求出均值 E X 6 张先生家住 H 小区 他在 C 科技园区工作 从家开车到公司上班有 L1 L2 两条路 线 如图 L1 路线上有 A1 A2 A3 三个路口 各路口遇到红灯的概率均为 1 2 L2 路线上有 B1 B2 两个路口 各路口遇到红灯的概率依次为 3 4 3 5 若走 L1 路线 求最多遇到 1 次红灯的概率 若走 L2 路线 求遇到红灯次数X的数学期望 按照 平均遇到红灯次数最少 的要求 请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线 并说明理由 4 7 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2 3 4 层停靠 已知该电梯在 1 层载有 4 位乘 客 假设每位乘客在 2 3 4 层下电梯是等可能的 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率 用X表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数 求X的分布列和数学期望 8 某射击小组有甲 乙两名射手 甲的命中率为 1 2 3 p 乙的命中率为 2 p 在射击 比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测 在一次检测中 若两人命中次数相 等且都不少于一发 则称该射击小组为 先进和谐组 若 2 1 2 p 求该小组在一次检测中荣获 先进和谐组 的概率 计划在 2011 年每月进行 1 次检测 设这 12 次检测中该小组获得 先进和谐组 的次数 如果 5E 求 2 p 的取值范围 9 A B是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由 4 只小白鼠组成 其中 2 只服用A 另 2 只服用B 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多 就称该试验组为甲类组 设每只小白 鼠服用A有效的概率为3 2 服用B有效的概率为2 1 求一个试验组为甲类组的概率 观察 3 个试验组 用 表示这 3 个试验 组中甲类组的个数 求 的分布列和数学期望 5 10 盒子中装有大小相同的 10 只小球 其中 2 只红球 4 只黑球 4 只白球 规定 一次摸出 3 只球 如果这 3只球是同色的 就奖励 10 元 否则罚款 2 元 若某人摸一次球 求他获奖励的概率 若有 10 人参加摸球游戏 每人摸一次 摸后放回 记随机变量 为获奖励的人 数 i 求 1 P ii 求这 10 人所得钱数的期望 结果用分数表示 参考数据 10 141 152 课后练习巩固课后练习巩固 1 空气质量指数PM2 5 单位 3 m g 表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量 这 个值越高 代表空气污染越严重 PM2 5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示 PM2 5日均浓度 0 3535 7575 115115 150150 250 250 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的PM2 5日均浓度指数数据茎叶图 如图 5 所示 1 试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数 2 在甲城市这 15 个监测数据中任取2个 设X为空气质量类别为优或良 的天数 求X的分布列及数学期望 2 根据空气质量指数 AQI 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 AQI 数值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量级别一级二级三级四级五级六级 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图 5 6 一 一 4一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一 一 一 一 一 0 2 一 一 6 4 8 10 a 克 3 克 克 克 克 克 克 克 0 032 0 02 0 018 45 35 2515 5O 某市 2013 年 10 月 1 日 10 月 30 日 对空气质量指数 AQI 进行监测 获得数据后得到 如图 4 的条形图 1 估计该城市本月 按 30 天计 空气质量类别为中 度污染的概率 2 在上述 30 个监测数据中任取 2 个 设 为空气 质量类别颜色为紫色的天数 求 的分布列 3 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生 其数学成绩 均为整 数 的频率分布直方图如图所示 I 估计这次测试数学成绩的平均分 II 假设在 90 100 段的学生的数学成绩都不相同 且都超过 94 分 若将频率视为 概率 现用简单随机抽样的方法 从 95 96 97 98 99 100 这 6 个数中任意抽取 2 个数 有放回地抽取了 3 次 记这 3 次抽取中 恰好是两个学生的数学成绩的次数为 求 的分布列及数学期望 E 4 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球 从中随机抽取50个作 为样本 称出它们的重量 单位 克 重量分组区间为 5 15 15 25 25 35 35 45 由此得到样本的重量频率分布直方图 如图3 1 求a的值 2 根据样本数据 试估计盒子中小球重量的平均值 注 设样本数据第i组的频率为 i p 第i组区间的中点值为 i x 1 2 3 in 空气质量类别颜 色 绿色黄色橙色红色紫色褐红色 7 则样本数据的平均值为 112233nn Xx px px px p 3 从盒子中随机抽取3个小球 其中重量在 5 15 内 的小球个数为 求 的分布列和数学期望 5 甲 乙两队参加奥运知识竞赛 每队3人 每人回答一个问题 答对为本队赢得一 分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 乙队中3人答对的概率分别为 2 2 1 3 3 2 且各人回答正确与否相互之间没有影响 用 表示甲队的总得分 1 求随机变量 的分布列和数学期望 2 用A表示 甲 乙两个队总得分之和等于3 这一事件 用B表示 甲队总得分大 于乙队总得分 这一事件 求 P AB 6 PM2 5 是指大气中直径小于或等于 2 5 微米的颗粒物 也称为可吸入肺颗粒物 我 国 PM2 5 标准采用世卫组织设定的最宽限值 即 PM2 5 日均值在 35 微克 立方米以下 空气质量为一级 在 35 微克 立方米 75 微克 立方米之间空气质量为二级 在 75 微 克 立方米以上空气质量为超标 某试点城市环保局从该市市区 2013 年上半年每天的 PM2 5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本 监测值如右下图茎叶图所示 十 位为茎 个位为叶 1 在这 15 天的 PM2 5 日均监测数据中 求其中位数 8 2 从这 15 天的数据中任取 2 天数据 记 表示抽 到 PM2 5 监测数据超标的天数 求 的分布列及数学 期望 3 以这 15 天的 PM2 5 日均值来估计一年的空气质 量情况 则一年 按 360 天计算 中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级 参考答案 1 解析 设随机选取一件产品 能够通过检测的事件为A 分 事件A等于事件 选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测 2 分 15 13 3 2 10 4 10 6 Ap 由题可知X可能取值为 0 1 2 3 30 46 3 10 1 0 30 C C P X C 21 46 3 10 3 1 10 C C P X C 12 46 3 10 1 2 2 C C P X C 03 46 3 10 1 3 6 C C P X C 8 分 故X的分布列为 9 分 设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为B 10 分 事件B等于事件 随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测 所以 3 111 303810 P B 13 分 X0123 P 30 1 10 3 2 1 6 1 9 2 解析 根据茎叶图 有 高个子 12 人 非高个子 18 人 1 分 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 6 1 30 5 2 分 所以选中的 高个子 有 2 6 1 12 人 非高个子 有 3 6 1 18 人 3 分 用事件A表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件A表示 没有一名 高个子 被选中 则 P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 1 5 分 因此 至少有一人是 高个子 的 概率是10 7 6 分 依题意 的取值为0 1 2 3 7 分 55 14 C C 0 3 12 3 8 P 55 28 C CC 1 3 12 2 8 1 4 P 55 12 C CC 2 3 12 1 8 2 4 P 55 1 C C 3 3 12 3 4 P 9 分 因此 的分布列如下 0 123 p 55 14 55 28 55 12 55 1 10 分 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0 E 12 分 3 解析 由表格数据可知 视觉记忆能力恰为中等 且听觉记忆能力为中等或 中等以上的学生共有 10 a 人 记 视觉记忆能力恰为中等 且听觉记忆能力为中等或 中等以上 为事件A 则 102 405 a P A 解得 6a 从而 40 32 40382ba 由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 3 40 C 其中具有听觉记忆能力或视觉 10 记忆能力偏高或超常的学生共 24 人 从 40 位学生中任意抽取 3 位 其中恰有k位具有听 觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 3 2416 kk C C 所以从 40 位学生中任意 抽取 3 位 其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 3 2416 3 40 kk C C Pk C 0 1 2 3 k 的可能取值为 0 1 2 3 因为 03 2416 3 40 14 0 247 C C P C 12 2416 3 40 72 1 247 C C P C 21 2416 3 40 552 2 1235 C C P C 30 2416 3 40 253 3 1235 C C P C 所以 的分布列为 0123 P 14 247 72 247 552 1235 253 1235 4 解析 X 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 5 6 依条件可知 X B 6 2 3 6 6 21 33 kk k P XkC 0 1 2 3 4 5 6k 所以 X 的分布列为 X0123456 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 所以 1 0 1 1 122 603 1604 2405 1926 64 729 EX 2916 4 729 或因为 X B 6 2 3 所以 2 64 3 EX 即 X 的数学期望为 4 设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A 则 224156 44 1212232 3333381 P ACC 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 81 设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B 则 24 44 6 6 2 5 A A P B A 此处为 2 4 4 6 2 5 C C 会 11 更好 因为样本空间基于 已知 6 个球中恰好投进了 4 个球 即教师乙在这场比赛中获奖 的概率为 2 5 显然 23232 58081 所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 概率不相等 5 解析 记 该产品不能销售 为事件 A 则 111 1 1 1 6104 P A 所以 该产品不能销售的概率为 1 4 4 分 由已知 可知 X 的取值为 320 200 80 40 160 5 分 4 11 320 4256 P X 13 4 133 200 4464 P XC 222 4 1327 80 44128 P XC 33 4 1327 40 4464 P XC 4 381 160 4256 P X 10 分 所以 X 的分布列为 X 320 200 8040160 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 11 分 E X 11272781 3202008040160 2566412864256 40 故均值 E X 为 40 12 分 6 解析 设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件 则 0312 33 1111 2222 P ACC 4 分 所以走 L1 路线 最多遇到 1 次红灯的概率为 1 2 依题意 X的可能取值为 0 1 2 5 分 12 331 0 1 1 4510 P X 33339 1 1 1 454520 P X 339 2 4520 P X 8 分 故随机变量X的分布列为 X012 P 1 10 9 20 9 20 19927 012 10202020 EX 10 分 设选择 L1 路线遇到红灯次数为Y 随机变量Y服从二项分布 1 3 2 YB 所以 13 3 22 EY 12 分 因为EX EY 所以选择 L2 路线上班最 好 14 分 7 解析 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为A 分 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 3 3 分 则 4 265 1 1 381 P AP A 6 分 X的可能取值为 0 1 2 3 4 7 分 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 3 且每个人下电梯互不影响 所以 1 4 3 XB 9 分 X01234 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 11 分 14 4 33 E X 13 分 13 8 解析 11 22 2 11 12 21 11 3 32 23 32 23 PCC 6 分 该小组在一次检测中荣获 先进和谐组 的概率 1122 2222222 2 12 284 1 3 33 399 PCCppppp 而 12 BP 所以 12EP 由 5E 知 2 22 84 12 5 99 pp 解得 2 3 1 4 p 12 分 9 解析 设 i A 表示事件 一个试验组中 服用A有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 i B 表示事件 一个试验组中 服用B有效的小白鼠有i只 i 0 1 2 依题意有 1 124 2 339 P A 2 224 339 P A 0 111 224 P B 1 111 2 222 P B 所求的概率为 010212 1414144 4949299 PP B AP B AP B A 的可能取值为 0 1 2 3 且 B 3 4 9 3 3 45 0 1 2 3 99 kkk PkCk 的分布列为 0123 P 125 729 100 243 80 243 64 729 所以数学期望 44 3 93 E 10 解析 3 4 2 10 21 15 C p C i 由题意知 1 10 15 B 则 1019 10 141141 1 1 0 1 1 1515157 PPPC 14 ii 设 为在一局中的输赢 则 1146 102 15155 E 所以 6 10 1010 12 5 EE 即这 10 人所得钱数的期望为 12 课后巩固参考答案 1 解 1 由茎叶图可知 甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类 别为优或良的天数为 5 天 1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天 2 分 2 X的取值为 0 1 2 3 分 因为 02 510 2 15 C C3 0 C7 P X 5 分 11 510 2 15 C C10 1 C21 P X 7 分 20 510 2 15 C C2 2 C21 P X 9 分 所以X的分布列为 X012 P 7 3 21 10 21 2 所以数学期望 3 2 21 2 2 21 10 1 7 3 0 EX 2 解 1 由条形统计图可知 空气质量类别为中度污染的天数为 6 1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61 305 P 4 分 2 随机变量 的可能取值为0 1 2 5 分 则 2 26 2 30 65 0 87 C P C 7 分 11 426 2 30 104 1 435 C C P C 9 分 10 分 15 2 4 2 30 2 2 145 C P C 11 分 所以 的分布列为 0 12 P 65 87 104 435 2 145 3 解 I 利用中值估算抽样学生的平均分 45 0 05 55 0 15 65 0 2 75 0 3 85 0 25 95 0 05 72 3 分 众数的估计值为 75 分 5 分 所以 估计这次考试的平均分是 72 分 6 分 注 这里的众数 平均值为估计量 若遗漏估计或大约等词语扣一分 II 从 95 96 97 98 99 100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 2 6 15C 有 15 种结果 学生的成绩在 90 100 段的人数是 0 005 10 80 4 人 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 2 4 6C 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 62 155 P 8 分 随机变量 的可能取值为 0 1 2 3 则有 3 3 23 0 1 2 3 55 kkk PkCk 变量 的分布列为 0123 P 8 125 36 125 54 125 27 125 10 分 E 83654546 0123 1251251251255 12 分 4 1 解 由题意 得 0 020 0320 018101x 1 分 解得 0 03x 2 分 2 解 50个样本小球重量的平均值为 16 0 2 100 32 200 3 300 18 4024 6X 克 3 分 由样本估计总体 可估计盒子中小球重量的平均值约为24 6克 4 分 3 解 利用样本估计总体 该盒子中小球重量在 5 15 内的概率为0 2 则 1 3 5 B 5 分 的取值为0 1 2