第五章线性系统频域分析终稿.doc

第五章线性系统频域分析终稿 第五章线性系统的频域分析?引言?5.1频率特性?5.2典型环节的频率特性?5.3系统开环频率特性的绘制?5.4频域稳定判据和系统的相对稳定性?5.5闭环系统的频域性能指标引言1.为什么要对系统进行频域分析？?时域分析法从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。 不利于工程研究之处?计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；?对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；?不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素；?不能直观地表现出系统的主要特征。 2.频域分析法的优点 (1)物理意义明确。 对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。 (2)可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。 (3)可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能。 (4)采用作图方法，计算量小，且非常直观。 5.1频率特性1.引例RC电路对于下图所示的RC电路，其传递函数为式中，=RC。 ()1)1()1()1oiU sCsU sR Cs s?（u o(t)RC ui(t)+-+-设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换()siniu tU t?22()iUU ss?221()1oUU ss s?2222()sin()arctan11toU Uut et?u o(t)表达式中第一项是暂态分量，第二项是稳态分量。 显然上述RC电路的稳态响应为?结论当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于。 22lim()sin()111sin11otUu ttU tj j?2222()sin()arctan11toU Uut et?若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求其复数比，可以得到式中?性频率特性G(j)上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比，且且G(j)=G(s)|s=j。 ?幅频特性A()输出信号幅值与输入信号幅值之比。 ?相频特性?()输出信号相角与输入信号相角之差。 ()1()()1jG j A ej?2211()11Aj?1()arctan1j?频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，A r=1=0.5=1=2=2.5=4曲线如下:40不不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。 2.控制系统在正弦信号作用下的稳态输出对于n阶LTI的闭环传递函数其中为n个互异的闭环特征根。 设输入正弦信号为12()()()()()()()()()nC sN sN sG sR sD s s p s p s p?12,np p p22()sin()Ar tA tR ss?因此有，拉氏反变换得2222121212()()()().nnA Ns ACs G ss Ds sba ab bsj sj s p s p s p?121212121().()nip t p t p t j t j tnnptj tj tiit sc t a e a e beb eb ebea eac tcet? (0)t?ct(t)和c s(t)分别为系统的暂态分量和稳态分量。 对于稳定的系统，其极点均具有负实部，有则系统在正弦信号作用下的稳态输出为其中，lim()0ttc t?12()j tj tsct aeae?122()()()|2s jA AG jaG s s jsj?222()()()|2s jAAG jaG s s jsj?因为G(s)是是实系数有理函数，则有()()()|()|()|j G j j G jG j G j e G j e?()()|()|j G jG jG j e?|()|;()cA A G jG j?从而有式中，稳态输出的振幅和相位分别为11()()()|()|2|()|sin()sin()jtj tsjt G j jt G j taea eeeA G jjA G jtG jAt?由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值是和输入同频率的正弦信号。 输出振幅是输入振幅的的|G(j)|倍倍，输出相位与输入相位相差G(j)度度。 3.频率特性的定义?幅频特性LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用用A()表示。 ?相频特性稳态输出相位与输入相位之差，用?()表示。 ?幅频A()和相频?()统称幅相频率特性。 ()()G j?()|()|AG j?()()()|()|()j jG jAeG j eG j?关于频率特性的几点说明频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件等均适用。 频率特性只适用于定常模型，否则不能用拉氏变换求解，也不存在这种稳态对应关系。 前面在推导频率特性时假设系统稳定。 如果系统不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态振荡c s(t)。 控制系统微分方程传递函数频率特性频率特性、传递函数和微分方程三种系统描述之间的关系频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 4.频率特性的几何表示法?在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。 ?常用的频率特性曲线:?幅相特性曲线-极坐标图(Nyquist图)?对数频率特性曲线-Bode图5.2典型环节的频率特性?用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。 ?本节介绍七种常用的典型环节的频率特性。 一、极坐标图(Nyquist图)?极坐标图是将频率作为参变量，在直角坐标或极坐标平面上，当当时时，将幅频与相频特性同时表示在复数平面上。 01()jY?()X?()?()A?0?01/21/2/3/4/5/A()10.890.7070.450.320.240.20?()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90( (11)比例环节比例环节的频率特性为显然，它与频率无关。 ()G jK?()()0A K?0K()jY?()X?( (22)积分环节积分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性为211()jG jej?()1()90A?0()jY?()X?幅频特性与角频率成反比，相频特性恒为90( (33)微分环节微分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性为2()jG jje?()()90A?0()jY?()X?0?微分环节的幅频特性等于角频率，而相频特性恒为90。 (4)惯性环节惯性环节的频率特性1()1G jj T?221()1()arctgATT?22221()()()11TG jj XjYT T?写成实部和虚部形式，即幅频特性和相频特性222()0.5()0.5X Y?惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。 010.5()jY?()X?()?()A?0?221TT?2211T?( (55)一阶微分环节频率特性幅频特性和相频特性为()1Gjj T?22()1()arctgA TT?01()jY?()X?0?( (66)二阶振荡环节频率特性幅频特性和相频特性21()12()G jjT jT?2222221() (1) (2)2()arctg1AT TTT?22222arctg (1)1()2()arctg (1)1TTTTTT?10 (0)()0180()Gj?01?=0.4?=0.6?=1()jY?()X?0?频率特性的端点取值1()nT?1()2Gjj? (7)延迟环节频率特性幅频特性和相频特性()jG je?()1()A?01()jY?()X?0? 二、对数频率特性Bode图?在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率特性曲线又称Bode图图，由对数幅频特性和对数相频特性组成。 ?Bode图的横坐标按lg分度（10为底的常用对数），即对数分度，单位为弧度/秒秒（rad/s）?对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位是分贝（dB）。 ?对数相频曲线纵坐标按?()线性分度，单位是度。 ?由此构成的坐标系称为半对数坐标系。 ()20lg()20lg()L GjA?对数分度和线性分度010814567239?10814567239100804050602030?0一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程十倍频程十倍频程十倍频程L（a)线性分度（b)对数分度?几点说明?对数频率特性采用的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。 ?采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程；?=0不可能在横坐标上表示出来；?横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。 ( (11)比例环节比例环节的频率特性为显然，它与频率无关。 对数幅频特性和相频特性为()GjK?()20lg()0L K?20lgK00dB()()?()(dB)L?K0的部分?单位圆内部?L()0的部分?Nyquist图上的负实轴?Bode图上相频特性的180线。 2.正穿越和负穿越?幅相曲线沿增加方向绕(-1，j0)点的圈数也可以根据幅相曲线在(-,-1)的负实轴的穿越次数确定。 ?开环幅相特性曲线G(j)H(j)，沿增加方向，由上往下穿过(-,-1)的负实轴一次，称为一个正穿越；?由下往上穿过(-,-1)的负实轴一次，称为一个负穿越;?G(j)H(j)曲线从(-,-1)的负实轴开始向下（向上）称为半个正（负）穿越。 +1/2次穿越-1/2次穿越3.对数频率稳定判据?闭环系统稳定的充分必要条件是，当由00变到时，在开环对数幅频特性L()0的频段内，相频特性?()穿越180线的次数(正穿越与负穿越次数之差)为P/2。 P为s平面右半部开环极点数目。 ?注意，乃氏判据中，s沿着乃氏回线顺时针方向移动一周，故由变到+，所以伯德图中由由0变变到时，穿越次数为P/2，而不是P。 ?例例系统开环传递函数为试用对数稳定判据判断其稳定性。 ()() (1)KG sH ssTs?-40dB/dec00-90-180-20dB/dec20lgK()()?1/T?()(dB)L?解系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点，即即P=0，而在L()0的频段内，相频特性?()不穿越180线，故闭环系统必然稳定。 5.5系统的相对稳定性?相对稳定性若系统开环传递函数没有右半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线G(j)H(j)离(1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高；反之，G(j)H(j)离(1,j0)点越近，则闭环系统的稳定程度越低；如果G(j)H(j)穿过(1,j0)点点，则闭环系统处于临界稳定状态。 ?稳定裕度衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常用的有相角裕度和幅值裕度K g。 相角裕度和增益裕度度0-90-180-2700-90-180-270稳定系统(c)正相角裕度正增益裕度负增益裕度负相角裕度不稳定系统(d)0A正相角裕度-110A-11稳定系统(a)不稳定系统(b)负增益裕度负相角裕度正增益裕度()(dB)L?()()?()(dB)L?()()?()jY?()X?()jY?()X?1gK?1gK?1.相角裕度?值在频率特性上对应于幅值A()1(即L()=0)的角频率称为剪切频率(截止频率)，以c表示，在剪切频率处，相频特性距180线的相位差叫做相角裕度。 即即?上图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在c的频率下，允许相角再增加（迟后）度才达到临界稳定状态。 () (180)180()c c?2.幅值裕度K g?在相频特性等于180的频率g（穿越频率）处，开环幅频特性A(g)的倒数，称为增益裕度，记做K g。 即?在在Bode图上，幅值裕度改以分贝(dB)表示1()g gK A?20lg()()g ggKAL?相角裕度和增益裕度度0-90-180-2700-90-180-270稳定系统(c)正相角裕度正增益裕度负增益裕度负相角裕度不稳定系统(d)0A正相角裕度-110A-11稳定系统(a)不稳定系统(b)负增益裕度负相角裕度正增益裕度()(dB)L?()()?()(dB)L?()()?()jY?()X?()jY?()X?1gK?1gK?几点说明对于个稳定的最小相位系统，其相角裕度应为正值，增益裕度应大于1；严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。 但在粗略估计系统的暂态响应指标时，主要对相角裕度提出要求。 为使系统有满意的稳定储备，以及得到较满意的暂态响应，在工程实践中，一般希望3060?6dBgK?2gK?对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。 上述相角裕度意味着，系统开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率应大于40dB/dec，且有一定宽度。 在实际中常取20dB/dec。 在闭环稳定条件下，稳定裕度越大，反映系统稳定程度越高。 稳定裕度也间接反映了系统动态过程的平稳性，裕度大意味着超调小、振荡弱，阻尼大。 5.6闭环频率响应?R s?Y s?Gs?H s由此，得闭环频率特性为低频段高频段.?0A?r?b?rA?0707.0A2?b0?A?闭环频域指标谐振频率谐振峰值截止频率波峰所对应的频率为谐振频率幅值的最大值与零频值之比，即闭环频域特性幅值下降到零频值的0.707倍时，所对应的频率又称带宽。 55-6开环频率特性与控制系统性能的关系 一、控制系统性能指标时域指标静态指标动态指标频域指标开环频域指标闭环频域指标 二、二阶系统性能指标间的关系可见，具有一一对应关系，当当一定时，另外有，即相角裕度相同时，越大，越小，即系统的响应速度越快但但越大，系统的带宽越宽，容易引入噪声，故需折中考虑。 开环闭环频域指标与时域指标之间的近似关系21121.512.51sin sins ct?1%0.160.41%3590sin? 三、高阶系统性能指标间的关系 四、Bode图中各频段与系统性能的关系?低频段:L()的近似曲线在第一个转折频率之前的区段.低频段反映了系统的稳态性能确定开环增益K K的方法K()vG sK s?如何确定?,v KK20lg(j)20lg(/)20lg20lgvvG KK?( (11)K20lg0G?令令K?vlg20Kv rK?1?0dec dB20?L?K20lg20lg GK?( (22)=11时?L0?40dB dec?a?1?中频段:周围的区段?1?20dB dec?0c?2?L因此，中频段反映了系统的动态性能由公式可知，一定时，大小决定了响应速度的大小经验表明，为了使闭环系统稳定并具有足够的相角裕度，开环对数幅频特性最好以-20dB/dec的斜率穿越0dB线。 ?高频段?在幅频特性曲线中频段以后（）的区段.高频段对系统的性能指标影响不大，一般只要求高频部分有较负的斜率，幅值衰减的快一些即可。 114第五节频域响应分析?在频域中对系统进行分析时，除了稳定性分析外，还要对系统的动态性能进行分析。 ?频域性能指标有幅值穿越频率，相位穿越频率，相角裕度，幅值裕度，谐振频率，谐振峰值，系统带宽和带宽频率等。 超调量超调量C(t)上升时间tr峰值时间tp调节时间ts误差带稳态误差)(?to1.0t控制系统性能指标115闭环频率性能指标零频值A (0)，A max谐振频率w r和谐振峰值M r带宽频率w b，A(w b)0.707A (0)w bw rA (0)A max0.707A (0)w)21(1212?rM)1(21112?rrMM?频域指标和时域指标的关系谐振峰值和系统超调量的关系，对于二阶系统2n n22nn2n0s2ss G2s ssG?)()()(116谐振频率及系统带宽与时域指标的关系%10021?ep由%1001122?r rrrM MMMpe?得到可知M r在在1.21.5时，?p20%30%，系统将获得满意的过渡过程。 )210(212?n r22105.0ln11?nsnpt t2222105.0ln211121?s rp rtt对于给定的阻尼比，二阶系统的谐振频率w r和和tp、t s成反比。 117同理，二阶系统带宽频率可由下式求出422222442)21 (21) (2)(?n bnnnbj j24222422105.01ln442)21 (11442)21(?s bpbtt同样，对于给定的阻尼比，二阶系统的带宽频率w b和和tp、t s成反比。 一般来说，频带宽的系统有利于提高响应速度，但同时又容易引入高频噪声，应均衡考虑118高低频段特性与动态性能的关系低频段主要影响静态特性，如稳态误差高频段要衰减得快些，抑制噪声相角裕度和阻尼比的关系) (2)()(22?j jjGnno?由开环频率特性和剪切频率定义1)(?c ojG?得到242214)(?nc240021422290180?arctg arctgarctgnc在在时，它们之间近似为7.0?01.0?6.03.0603000?，当开环对数频率特性与时域指标开环对数幅频特性“三频段”概念?()M? (0)M0r?b?1?2?中频低高rM0.707 (0)M?2?中频低高1?()L?c?低频段低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段，低频段决定了系统的稳态精度。 ?中频段中频段指开环幅相特性曲线在截止频率附近的区段。 c?下面通过两个典型情况分析中频段特性对闭环系统动态特性的影响。 ?()L?20db/dec (1)v?40db/dec (2)v?0v?0KK （1）通过截止频率的斜率为-20dB/dec c?假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec则，开环传递函数为