高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3 数学归纳法与贝努利不等式 2.3.1 数学归纳法课件 北师大版选修45.ppt

3数学归纳法与贝努利不等式 3 1数学归纳法 1 理解数学归纳法的原理和实质 2 掌握用数学归纳法证明与正整数有关的命题的两个步骤 并能灵活运用 对数学归纳法的理解 1 数学归纳法原理 数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题 若当n取第1个值n0时该命题成立 又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k 1个值时该命题成立 则该命题对一切自然数n n0都成立 2 数学归纳法 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题 证明需要经过两个步骤 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时命题正确 假设当n k时 k n k n0 命题正确 证明当n k 1时命题也正确 在完成了上述两个步骤之后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确 做一做1 在用数学归纳法证明多边形内角和定理时 第一步应检验 a 当n 1时成立b 当n 2时成立c 当n 3时成立d 当n 4时成立解析 多边形中至少有三条边 故应先验证当n 3时成立 答案 c a 当n k 1时等式成立b 当n k 2时等式成立c 当n 2k 2时等式成立d 当n 2 k 2 时等式成立 解析 因为已假设当n k k 2 且k为偶数 时命题为真 即当n k 2时命题为真 而选项中n k 1为奇数 n 2k 2和n 2 k 2 均不满足递推关系 所以只有n k 2满足条件 答案 b a 2kb 2k 1c 2k 1d 2k 1答案 a 题型一 题型二 题型三 题型一用数学归纳法证明恒等问题 分析 在证明时 要严格按数学归纳法的步骤进行 并要特别注意当n k 1时等式两边的式子 与当n k时等式两边的式子之间的联系 明确增加了哪些项 减少了哪些项 题型一 题型二 题型三 反思在解本题时 当由n k到n k 1时 等式的左边增加了一项 这里容易因忽略而出错 题型一 题型二 题型三 变式训练1 用数学归纳法证明 题型一 题型二 题型三 题型二用数学归纳法证明整除问题 例2 用数学归纳法证明 n3 5n n n 能被6整除 分析 这是一个与整除有关的命题 它涉及全体正整数 第一步应证明当n 1时成立 第二步应明确目标 在假设k3 5k能被6整除的前提下 证明 k 1 3 5 k 1 也能被6整除 题型一 题型二 题型三 证明 1 当n 1时 n3 5n 6显然能被6整除 命题成立 2 假设当n k k n 且k 1 时 命题成立 即k3 5k能被6整除 则当n k 1时 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k2 3k 6 k3 5k 3k k 1 6 由假设知k3 5k能够被6整除 而k k 1 是偶数 故3k k 1 能够被6整除 从而 k3 5k 3k k 1 6 即 k 1 3 5 k 1 能够被6整除 因此 当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 命题对一切正整数成立 即n3 5n n n 能被6整除 反思用数学归纳法证明有关整除性问题的关键是寻找f k 1 与f k 之间的递推关系 基本策略就是 往后退 从f k 1 中将f k 分离出来 题型一 题型二 题型三 变式训练2 用数学归纳法证明 1 3 x n n n 能被x 2整除 证明 1 当n 1时 1 3 x x 2 能被x 2整除 命题成立 2 假设当n k k n 且k 1 时 1 3 x n能被x 2整除 则可设1 3 x k x 2 f x f x 为k 1次多项式 则当n k 1时 1 3 x k 1 1 3 x 3 x k 1 3 x 1 x 2 f x 1 3 x x 2 3 x f x x 2 x 2 3 x f x x 2 1 3 x f x 能被x 2整除 即当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 对n n 1 3 x n能被x 2整除 题型一 题型二 题型三 题型三利用数学归纳法证明几何问题 例3 平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2 n n 个部分 分析 因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 如果再有一个圆和这n个圆相交 那么就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 因此 增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n个 即f n 1 f n 2n 有了上述关系 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 题型一 题型二 题型三 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以当n 1时命题成立 2 假设当n k k n k 1 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 则当n k 1时 从 k 1 个圆中任取一个圆o 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆o与k个圆有2k个交点 这2k个交点将圆o分成2k段弧 每段弧将原平面一分为二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以当n k 1时 命题也成立 综合 1 2 可知 对一切n n 命题成立 题型一 题型二 题型三 反思对于几何问题的证明 可以从有限情形中归纳出一个变化的过程 或者说体会出是怎样变化的 然后再去证明 也可以用 递推 的办法 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 1用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4答案 c 1 2 3 4 答