高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用 1.1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件 北师大版选修23.ppt

第一章计数原理 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 1 2 1 分类加法计数原理完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有n m1 m2 mn种方法 也称加法原理 分类时 首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准 然后在这个标准下进行分类 最后 分类时要注意满足两条基本原理 1 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 2 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法 前者保证完成这件事的方法不遗漏 后者保证不重复 即分类要做到不重不漏 1 2 做一做1 一个口袋里有15封信 另一个口袋里有4封信 每封信的内容均不相同 从两个口袋中任取一封信 有种不同的取法 答案 19 1 2 2 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有n m1 m2 mn种方法 也称乘法原理 做一件事需要经过n个步骤 是说完成这件事的任何一种方法 都要分成n个步骤 分步时 首先要根据问题的特点 确定一个可行的分步标准 最后 步骤的设置要满足 只有连续完成这n个步骤后 这件事才算最终完成 的要求 1 2 做一做2 1 某演唱会场馆共有4个门 若观众从一个门进 从另一个门出 则不同的走法种数是 a 8b 7c 11d 12答案 d 1 2 做一做2 2 已知集合a 1 2 1 2 3 b 0 2 4 6 8 从a b中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标 则在第二象限中不同点的个数有 a 10b 8c 6d 2解析 在第二象限中的点p x y 满足x0 则x只能从a中取 有2种取法 y从b中取 有4种取法 故满足题意的点的个数为n 2 4 8 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 高三 一班有学生50人 男30人 女20人 高三 二班有学生60人 男30人 女30人 高三 三班有学生55人 男35人 女20人 1 从这三个班中选一名学生任校学生会主席 有多少种不同的选法 2 从高三 一班 二班男生中 或从高三 三班女生中选一名学生任校学生会体育部长 有多少种不同的选法 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 1 选一名校学生会主席分三类 从高三 一班中选一名 有50种选法 从高三 二班中选一名 有60种选法 从高三 三班中选一名 有55种选法 然后利用分类加法计数原理求解 2 选一名校学生会体育部长分三类 从高三 一班男生中选 有30种选法 从高三 二班男生中选 有30种选法 从高三 三班女生中选 有20种选法 然后利用分类加法计数原理求解 解 1 50 60 55 165 即所求选法有165种 2 30 30 20 80 即所求选法有80种 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 中的分类标准是 班级 2 中的分类标准是班级和题目中要求的 性别 在同一个问题中分类标准要统一 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 1 有三个袋子 分别装有不同编号的红色小球6个 白色小球5个 黄色小球4个 若从三个袋子中任取1个小球 有种不同的取法 2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 1 解析 有3类不同方案 第1类 从第1个袋子中任取1个红色小球 有6种不同的取法 第2类 从第2个袋子中任取1个白色小球 有5种不同的取法 第3类 从第3个袋子中任取1个黄色小球 有4种不同的取法 其中 从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成 任取1个小球 这件事 根据分类加法计数原理 不同的取法共有6 5 4 15种 答案 15 题型一 题型二 题型三 题型四 2 解 方法一 按十位上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36个 方法二 按个位上的数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理 满足条件的两位数共有1 2 3 4 5 6 7 8 36个 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 有三个盒子 分别装有不同编号的红色小球6个 白色小球5个 黄色小球4个 现从盒子里任取红 白 黄小球各一个 有多少种不同取法 分析 要从盒子里任取红 白 黄小球各一个 应分三个步骤 并且这三个步骤均完成时 才完成这件事 故需采用分步乘法计数原理 解 完成这件事可分三步 第一步 取红球 有6种不同的取法 第二步 取白球 有5种不同的取法 第三步 取黄球 有4种不同的取法 根据分步乘法计数原理 共有n 6 5 4 120种不同的取法 题型一 题型二 题型三 题型四 反思先分析每种方法是否完成了这件事 找出每一步中的方法种数 再根据分步乘法计数原理 将各步中的方法种数相乘 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 从1 2 3 4中选三个数字 组成无重复数字的整数 则满足下列条件的数有多少个 1 三位数 2 三位偶数 解 1 三位数有三个数位 故可分三个步骤完成 第1步 排个位 从1 2 3 4中选1个数字 有4种方法 第2步 排十位 从剩下的3个数字中选1个 有3种方法 第3步 排百位 从剩下的2个数字中选1个 有2种方法 根据分步乘法计数原理 共有4 3 2 24个满足要求的三位数 题型一 题型二 题型三 题型四 2 分三个步骤完成 第1步 排个位 从2 4中选1个 有2种方法 第2步 排十位 从余下的3个数字中选1个 有3种方法 第3步 排百位 只能从余下的2个数字中选1个 有2种方法 根据分步乘法计数原理 共有2 3 2 12个满足要求的三位偶数 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 现有高一四个班的学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选一名组长 有多少种不同的选法 3 推选两人做发言 这两人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 分析 对于 1 由于负责人可以是这四个班中的任何一个学生 故用加法原理 对于 2 由于每班都要选一名班长 要分步进行 故用乘法原理解决 对于 3 由于两个人来自于不同的班级 可以是一 二班 也可以是 故要用加法原理和乘法原理 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 由分类加法计数原理知共有n 7 8 9 10 34种不同的选法 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 由分步乘法计数原理知共有n 7 8 9 10 5040种不同的选法 题型一 题型二 题型三 题型四 3 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以 共有n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431种不同的选法 题型一 题型二 题型三 题型四 反思按元素的性质进行分类 按事件发生的过程分步 正确使用两个基本计数原理的前提是要清楚两个基本计数原理的使用条件 合理进行分类和分步 一定要做到分类明确 层次清楚 不重不漏 在分步时要按逻辑分步 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 5这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同直线共有多少条 分析 因为有特殊数字0 应对它进行讨论 解 分两类完成 第1类 当a或b中有一个为0时 表示的直线为x 0或y 0 共2条 第2类 当a b都不为0时 确定直线ax by 0需分两步完成 第1步 确定a的值 有4种不同的方法 第2步 确定b的值 有3种不同的方法 由分步乘法计数原理 共可确定4 3 12条直线 由分类加法计数原理 方程所表示的不同直线共有2 12 14条 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点1选错对象致误 例4 4名同学去争夺3项冠军 不允许并列 则共有多少种不同的获奖情形 错解 分步做 第1步 第一位同学去夺三项冠军 有可能一个不得 也有可能夺得1个或2个或全部 因此共有4种不同情形 以下3步分别让剩下的三位同学去夺这三项冠军 均各有4种不同情形 由乘法原理可知 一共有4 4 4 4 44种夺得冠军的情形 错因分析 错解对 完成一件事 选错了对象 如第1步中 若3项冠军都给第一位同学 则这件事就算做完了 不需要以下各步 又如四步做法中4位同学均一项冠军未获得 则四步全做完了 而这件事还没完成 错误的主要原因在于选择的方法不当 错选了对象 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 从每个冠军被夺得的情形进行分步处理 第1步 第一项冠军被4名同学去夺 它一定被其中一名且只能是一名同学获得 因此 共有4种不同的获奖情况 第2步 第3步是其余两项冠军分别被4名同学中的一名去获得 各有4种不同的获奖情形 由分步乘法计数原理可知 一共有4 4 4 43 种 获奖情形 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点2计数时重复或遗漏致误 例5 某天上午四节课要排数学 物理 英语 化学四门不同的学科 若第一节排数学或第四节排物理 问一共有多少种不同的排法 错解1 分两类 第一类 数学排第一节 分三步完成 首先排第二节 从物理 英语 化学中选一门 有3种选法 再排第三节 从剩余的两门中选一门 有2种选法 最后排第四节 有1种排法 所以第一类共有3 2 1 6种不同的排法 第二类 物理排第四节 同样也有3 2 1 6种不同的排法 根据分类加法计数原理 共有6 6 12种不同的排法 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 当数学排第一节时物理有可能排第四节 同样 当物理排第四节时数学有可能排第一节 可见 数学排第一节且物理排第四节的情况进行了重复计算 考虑到英语 化学的先后顺序 则多计算了2种 错解2 分两类 第一类 数学排第一节 物理排第二节或第三节 有2种排法 剩余的两节排英语 化学 有2种排法 所以第一类有2 2 4种排法 第二类 物理排第四节 数学排第二节或第三节 有2种排法 剩余的两节排英语 化学 有2种排法 所以第二类有2 2 4种排法 根据分类加法计算原理 共有4 4 8种不同的排法 错因分析 本解法遗漏了数学排第一节 物理排第四节的情况 即少计算了2种 正解 一共有6 6 2 10或4 4 2 10种不同的排法 1 2 3 4 5 6 1 两个书橱 一个书橱内有7本不同的小说 另一个书橱内有5本不同的教科书 现从两个书橱内任取一本书的取法有 a 7种b 5种c 12种d 35种解析 根据分类加法计数原理 不同的取法有7 5 12种 答案 c 1 2 3 4 5 6 2 a1 a2 b1 b2 c1 c2 c3 完全展开后的项数为 a 9b 12c 18d 24解析由分步乘法计数原理得 完全展开后的项数为2 2 3 12 答案b 1 2 3 4 5 6 3 已知x 2 3 7 y 31 24 4 则x y可表示不同的值的个数是 a 2b 3c 6d 9解析 用分步乘法计数原理 第一步选x有3个值 第二步选y也有3个值 共有3 3 9个值 答案 d 1 2 3 4 5 6 4 已知集合a 1 2 3 4 5 b x y x a y a x y a 则b中所含元素的个数为 a 3b 6c 8d 10解析 第一类 当x 5时 y可以取1 2 3 4 第二类 当x 4时 y可以取1 2 3 第三类 当x 3时 y可以取1 2 第四类 当x 2时 y可以取1 根据分类加法计数原理可得集合b中共有4 3 2 1 10个元素 答案 d 1 2 3 4 5 6 5 为了对某农作物新品种选择最佳生产条件 在分别有3种不同的土质 2种不同的施肥量 4种不同的种植密度 3种不同的种植时间的因素