高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1课件 新人教A版必修4.ppt

2 3 1平面向量基本定理 一 二 一 平面向量基本定理问题思考1 对于平面内的任意向量a 是否可以用平面内的一个非零向量e1线性表示 是否可以用平面内的两个非零向量e1 e2线性表示 当向量a可以用两个非零向量e1 e2线性表示时 表示方法是唯一的吗 提示当e1与a共线时 a可用e1线性表示 否则不可以 当非零向量e1 e2共线时 向量a不一定能用e1 e2线性表示 若非零向量e1 e2不共线 则任意向量a一定可以用e1 e2线性表示 且表示方法是唯一的 思维辨析 一 二 2 填空 平面向量基本定理 思维辨析 一 二 3 做一做 下列说法正确的是 a 平面内的任一向量a 都可以用平面内的两个非零向量e1 e2线性表示b 当a与两个不共线的非零向量e1 e2之一平行时 a不能用e1 e2线性表示c 零向量可以作为基底中的向量d 平面内的基底是不唯一的解析根据平面向量基本定理可知 只要是不共线的两个向量就可以作为基底 因此基底是不唯一的 答案d 思维辨析 一 二 思维辨析 二 两个向量的夹角与垂直问题思考1 不共线向量有不同的方向 怎样来表示它们的位置关系呢 提示运用向量的夹角来表示它们之间的位置关系 2 填空 两向量的夹角与垂直 一 二 思维辨析 答案a 一 二 思维辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 只有非零向量才能用平面内的一组基底e1 e2线性表示 2 同一向量用两组不同的基底表示时 表示方法是相同的 3 若ae1 be2 ce1 de2 a b c d r 则必有a c b d 4 若两个向量的夹角为 则当 cos 1时 两个向量共线 5 若向量a与b的夹角为60 则向量 a与 b的夹角是60 6 等腰直角三角形abc中 ab ac 则的夹角是45 7 e1 e2是非零的不共线向量 a ke1 e2 b e1 k2e2 且a b共线 则k 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对平面向量基本定理的理解 例1 给出下列命题 若向量e1 e2不共线 则空间中的任一向量a均可表示为a 1e1 2e2 1 2 r 若向量e1 e2不共线 则平面内的零向量不能用e1 e2线性表示 若向量e1 e2共线 则平面内任一向量a都不能用e1 e2表示为a 1e1 2e2 1 2 r 的形式 若向量e1 e2是一组基底 则e1 e2与e1 e2也可以作为一组基底 其中正确命题的序号是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 错误 当e1 e2不共线时 平面向量可用e1 e2唯一地线性表示 但空间中的向量则不一定 错误 零向量也可以用一组基底来线性表示 错误 当e1 e2共线时 平面内的有些向量可以表示为 1e1 2e2 1 2 r 的形式 有些向量则不可以 正确 当e1 e2不共线时 e1 e2与e1 e2一定不共线 可以作为基底 答案 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面向量基本定理的四个要点 不共线的向量e1 e2 平面内的任意向量a 存在唯一一对实数 1 2 a 1e1 2e2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面向量基本定理的应用 例2 在 abc中 分析根据平面向量基本定理 结合向量的三种线性运算进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量 基本方法有两种 一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化 直至用基底表示为止 另一种是通过列向量方程或方程组的形式 利用基底表示向量的唯一性求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明如图 设d是ab边的中点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面向量的夹角问题 例3 已知 a b 2 且a与b的夹角为60 则a b与a的夹角是 a b与a的夹角是 答案30 60 探究一 探究二 探究三 思维辨析 两个向量夹角的实质及求解的关键 1 实质 两个向量的夹角 实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角 2 关键 求两个向量的夹角 关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合 然后按照 一作二证三算 的步骤 并结合平面几何知识求出两个向量的夹角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知两非零向量a与b的夹角为80 则a与 b的夹角是 2a与3b的夹角是 解析如图 向量a与 b的夹角为100 如图 向量2a与3b的夹角为80 答案100 80 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对两向量夹角的定义理解不清致误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 在一个平面图形中求两个向量的夹角时 切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角 必须根据向量的方向 通过平移得出向量的夹角 1 2 3 4 5 1 设e1 e2是平面内一组基底 则 a 零向量不能用e1 e2表示b 对实数 1 2 1e1 2e2不一定在该平面内c 对平面内任一向量a 使a 1e1 2e2的实数 1 2有无数对d 若实数 1 2使 1e1 2e2 0 则 1 2 0解析由平面向量基本定理可知d项正确 这是由于0 0e1 0e2 而 1 2是唯一的 所以 1 2 0 答案d 6 1 2 3 4 5 答案a 6 1 2 3 4 5 3 若向量a与b的夹角为60 则向量 a与 b的夹角是 a 60 b 120 c 30 d 150 解析平移向量a b使它们有公共起点o 如图所示 则由对顶角相等可得向量 a与 b的夹角也是60 答案a