数值分析实验报告一.docVIP

数值分析课程实验报告 实验名称 数值计算的基本概念 班级动力实1201姓名李凯学号201202000511序号教师赵美玲地点数学实验中心评分一、 实验目的（1）、了解计算机中浮点数的有效数字；（2）、了解舍入误差产生的原因，知道截断误差和舍入误差的区别；（3）、了解算法“稳定性”的概念。二、用文字或图表记录实验过程和结果1、关于浮点数（1）令 在计算机中分别将它们定义成单精度型和双精度型，输出观察结果，并对结果进行分析。#include#includevoid main()float ff;double df;ff=0.1234567890123456789;df=0.1234567890123456789;coutsetiosflags(ios:fixed)setprecision(8)ffendlsetiosflags(ios:fixed)setprecision(16)dfendl;结果分析：Float内存中占4个字节，有效数位是7位；double占8个字节，有效数位是16位。所以输出结果不一样。（2）设，在单精度的变量环境下做以下操作：1）按以下两种算法计算a1与100个a3相加的结果。方法一：将100个a3逐个加到a1上；方法二：先将100个a3相加，再加到a1上；观察所得到的结果，写出你得到的结论。解:#includevoid main()float a1,a2,a3,y1,y2;int i;a1=1.000001;a2=1.000000;a3=0.0000001;y1=a1;y2=0;for(i=1;i=100;i+)y1=y1+a3;for(i=1;i=100;i+)y2=y2+a3;y2=y2+a1;cout方法一：y1endl;cout方法二：y2endl; 结果分析：由于单精度有效位数是7位，所以两种算法所得结果一样。2）计算，观察结果，并分析原因。3）计算a1-a2,观察有效数字的位数，从中你可以得到什么启示？ 解：#includevoid main()float a1,a2,a3;a1=1.000001;a2=1.000000;a3=0.0000001;float a,b;a=a1/a3+a2;b=a1-a2;coutaendlbendl;结果分析：两个结果有效位数都是7位，可见单精度环境下有效位数为7位。2、舍入误差考虑计算一元可微函数f(x)在x0处导数的近似方法， (1） （2）取，分别用（1）、（2）计算f(x)在处的一阶导数的近似值，令h依次取值，观察所得结果并与精确值进行比较，结合本例叙述你对于截断误差和舍入误差的认识。方法一：#includefloat f(float x)float a;a=x*x*x;return a;void main()float h=1,b,f1,f2;int i;for(i=1;i=15;i+)f1=f(1+h);f2=f(1);b=(f1-f2)/h;h=h/10;couth=h时，f(x)=bendl;方法二：#includefloat f(float x)float a;a=x*x*x;return a;void main()float h=1,b,f1,f2;int i;for(i=1;i=15;i+)f1=f(1+h);f2=f(1-h);b=(f1-f2)/(2*h);h=h/10;couth=h时，f(x)=bendl;结果分析：因为=,所以随着h越来越小，倒数值越来越接近0，但不等于0，实验中两种方法中，当h为1e-008时，导数值就近似为0了，说明当数很小时，阶段误差和舍入误差还是有影响的。3、算法的稳定性考虑积分易见，且计算得到，从而可得如下递推算法： （1）对上述积分有估计式，我们取，可得另一个递推算法： （2）（已知 ）分析算法（1）和（2），哪一个算法稳定，并编程验证你的结论！解：算法（2）稳定。方法一:#includevoid main()int i;float a=0.1823;coutI0=aendl;for(i=1;i=100;i+)a=1.0/i-5.0*a;coutIi=aendl;方法二:#includevoid main()int i;float a100;a100=0.001815;for(i=100;i=0;i-)ai-1=(1.0/i-ai)/5.0;for(i=0;i=100;i+)coutIi=aiendl;结果分析：由实验结果可见，迭代方法二要稳定的多。这是因为，对于迭代方法一，由于舍入误差引起的弟n步误差为，它随n的增加指数级增长的，所以算法不稳定。对于迭代方法二，因舍入误差引起的第n步误差为，随的减少而迅速减少，所以该算法稳定。三、练习与思考题分析解答在迭代法里，是从一个初值由迭代公式一步步迭代过来的，每步迭代都有一个近似的过程，都存在一定的误差。数值稳定是指某一步迭代有微小的扰动对后面的步骤影响很小；或者是舍入误差和截断误差不会积累到很大。反之则数值不稳定。四、本次实验的重点难点分析 本次实验主要是为了验