大学物理学 孙厚谦 第8章电磁感应VIP

第八章 电磁感应 主要内容 1 电磁感应定律 2 动生电动势和感生电动势 3 自感和互感 4 磁场能量 5 普遍的安培环路定理麦克斯韦方程组 6 电磁波 回路不动 变化 引起磁通量变化 不变 回路的面积变化 引起磁通量变化 8 1 1法拉第电磁感应定律 当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时 不论这种变化是由什么原因引起的 在导体回路中就有电流产生 这种现象称为电磁感应现象 回路中所产生的电流称为感应电流 相应的电动势则称为感应电动势 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时 回路中产生的感应电动势正比于磁通量对时间的变化率的负值 法拉第电磁感应定律 负号表示感应电动势的方向 如果回路由N匝线圈串联而成 如果穿过各匝线圈的磁通量相等 磁链 8 1 2感应电动势方向的决定 回路绕行正方向与回路所围面积的正法线方向之间满足右手螺旋法则 当 则其方向与回路的绕行正方向相反 当 则其方向与回路的绕行正方向相同 1 应用法拉第电磁感应定律 为法线方向单位矢量 2 由椤次定律 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时 在回路中就会有感应电流产生 此感应电流的方向总是使它自己的磁场穿过回路的磁通量 去抵偿引起感应电流的磁通量的改变 或闭合导体回路中所出现的感应电流 总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因 反抗相对运动 磁场变化或线圈变形等 结合上面两图 注意 1 感应电流所产生的磁通量要阻碍的是磁通量的变化 而不是磁通量本身 2 阻碍并不意味抵消 如果磁通量的变化完全被抵消了 则感应电流也就不存在了 感应电流的效果反抗引起感应电流的原因 磁通量变化 感应电流 1 由法拉第电磁感应定律 判断感应电动势方向的方法 确定回路正方向 通常正方向的选取使通过回路所围面积的磁通量为正 判断的正负 从而的正负 由的正负与回路正方向的关系确定的方向 2 由椤次定律 判断穿过闭合回路的磁通量沿什么方向 发生什么变化 增加或减少 根据椤次定律来确定感应电流所激发的磁场沿什么方向 与原来的磁场同向还是反向 根据右手螺旋法则 从感应电流产生的磁场方向确定感应电动势的方向 由果溯因 解回路的绕行方向为逆时针 在时刻t 杆AB离原点o为x 磁通为 的绕行方向与回路的绕行正方向相反 即为顺时针 例一均匀磁场与矩形导线回路面法线单位矢量的夹角磁感应强度与时间成正比 即 回路的AB边长为 以恒定速度向右运动 设t 0时 AB边在x 0处 求任意时刻回路中感应电势的大小和方向 例无限长直导线 是常数 矩形线圈与直导线平行且共面 求 解取回路正方向为顺时针绕向 为顺时针绕向 为逆时针绕向 例如图 有一弯成 角的金属架COD放在磁场中 磁感应强度的方向垂直于金属架COD所在平面 一导体杆MN垂直于OD边 并在金属架上以恒定速度向右滑动 与MN垂直 设t 0时 x 0 求框架内的感应电动势 解设三角形中回路绕行方向为ONMO 即逆时针绕向 取面元如图 若 则方向为ONMO 若 则方向为OMNO 决定方向 总结由法拉第电磁感应定律求感应电动势步骤 在例2 3中 在空间分布是不均匀的 则需要积分 在例1中 在空间分布是均匀的 则是与法线之间的夹角 讨论 感应电动势的非静电力实质 磁通变化有两种方式 其产生电动势的非静电力的实质是不同的 一是回路或回路的一部分相对磁场运动 使回路中磁通量变化而产生的感应电动势 谓之动生电动势 另一种情况是回路不动 磁场随时间变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势 谓之感生电动势 动生电动势的经典电子理论解释 则由知电子将向下运动 而a端将因缺少电子而带正电 8 2 1动生电动势 图中导线ab以向右切割磁力线 导体中自由电子也以速度向右运动 当与平衡时 即 ab两端形成稳定的电势差 洛仑兹力是非静电力 方向由决定 即由b a 导体棒ab所产生的动生电动势为 非静电力场强 一般情况下 磁场可以不均匀 导体可以是任意形状 各部分的速度也可以不同 和的夹角也可以是任意的 计算步骤 1 选取积分微元 各微元产生的动生电动势为 其中为和之间的夹角 为和之间的夹角 注 1 当导体回路为闭合回路 则可以用法拉第电磁感应定律计算动生电动势 2 在导体为非闭合回路时 有时也可通过增加辅助线 构成闭合回路 从而用法拉第电磁感应定律来计算 2 统一积分变量 确定积分上下限 积分 积分值为正值 说明指向与积分路径走向一致 为负 则相反 求出闭合回路的电动势后 必须分析其与欲求电动势之间的关系 均匀磁场平动 解 方向由a指向b 动生电动势的方向 由a指向o 例如图 长为L的铜棒在方向垂直于纸面向内的均匀磁场中 以角速度绕O轴做逆时针转动 求棒中动生电动势的大小和方向 与垂直 且 与方向相反 解法1离o点处取微元 解法二 作辅助线 oc是t 0时棒的位置 形成闭合回路oaco 且绕行正方向顺时针 负号表示方向沿ocao Oc ca段没有动生电动势 所以电动势 方向从由a指向o a b I 解方法一 方向 例一直导线CD在一无限长直电流磁场中作如图所示的切割磁力线运动 求动生电动势 方法二 作辅助线 形成闭合回路CDEF FE是 时棒的位置 作辅助线 形成闭合回路 ab是半圆的直径 方向沿圆周 解 对闭合回路 磁通量不变 如果半圆变成一段圆弧 问题8 4 例有一半径为的半圆形金属导线在垂直于匀强磁场的平面内以垂直于直径ab的速度作切割磁力线运动 求动生电动势 1 感生电场 8 2 2感生电动势 产生感生电动势的是什么非静电力 不是洛仑兹力 由于回路或导体未动 感生电场对电荷的作用力是非静电力 是感生电动势的起因 麦克斯韦提出了感生电场 涡旋电场 的概念 变化的磁场在其周围激发了一种电场 这种电场称为感生电场或涡旋电场 回路不动 磁场随时间变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势 谓之感生电动势 2 感生电动势的计算 1 闭合回路 由 而感生电动势只是磁场的变化引起的 所以 产生感生电动势的非静电力是感生电场力 感生电场的场强沿任意闭合曲线的线积分等于以该曲线为边界的任意曲面的磁通量对时间的变化率的负值 感生电场或感生电动势的存在并不取决于空间有无导体回路存在 变化的磁场总是在空间激发电场 注意 方向也可以由椤次定律判断 式中的负号给出线的绕行方向即感生电动势的绕行方向和所围的的方向成左螺旋关系 感生电场电力线 2 非闭合回路 添加辅助线构成闭合回路 由计算 若磁场在空间分布具有对称性 由求出的空间分布 再由计算 使用 注意 首先必须选择回路正方向 一般使通过回路所围面积的磁通量为正 结果的正负与法拉第电磁感应定律类似 均是相对于回路正方向的 3 静电场与感生电场的性质比较 4感应电动势的两种计算公式 1 法拉第电磁感应定律 结合动生电动势和感生电动势的计算方法 例在半径为的无限长螺线管内部的磁场随时间变化 设 求管内外的感生电场 解由场的对称性 变化磁场所激发的感生电场的电场线在管内外都位于螺线管横截面内 且以截面与螺线管轴线交点为圆心的圆 与圆相切 在同一条电场线上大小相等 取顺时针圆形回路为闭合回路 的方向沿圆周切线 式中负号表示线绕向与回路正方向相反 这与线与成左旋关系是一致的 解法1由定义 电动势的方向由C指向D 例有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内 方向平行于圆柱轴线 如图为圆柱的一横截面 已知 求 解法2用法拉第电磁感应定律求解作辅助线OC OD 构成闭合回路CODC 由椤次定律或与的左手螺旋关系 回路中为逆时针绕向 OC OD都与垂直 仅存在于CD之中 方向 答 由前例结果 故知应选 B 问题在圆柱形空间内有一磁感应强度为的均匀磁场 大小以速率dB dt变化 如图为圆柱的一横截面 有一长度为的金属棒先后放在截面内的两个不同的位置1 ab 和2 a b 则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 h为圆心到杆的距离 例在半径为的圆柱形体积内充满磁感应强度为的均匀磁场 方向平行于圆柱的轴线 有一长为的金属棒位于圆柱的横截面内 一半在磁场内 另一半在磁场外 如图所示 设 求棒两端的电势差 解取闭合回路obcao 在oa bo段上 回路内的磁通量仅在和扇形内变化 棒中电动势 由于回路自身电流 回路的形状 或回路周围的磁介质发生变化时 穿过该回路自身的磁通量随之改变 从而在回路中产生感应电动势的现象 相应的感应电动势为自感电动势 1 自感现象 2 自感L如果回路的几何形状不变 周围空间没有铁磁性物质 L 自感系数 自感 单位 亨利 H 8 3 1自感 自感在数值上等于回路中通过单位电流时 通过自身回路所包围面积的磁通链 3 自感电动势 若回路几何形状 尺寸不变 周围介质的磁导率不变 体现回路产生自感电动势来反抗电流改变的能力 注L取决于回路几何形状 尺寸 线圈的匝数以及周围磁介质的分布 与是否通有电流无关 4 自感的计算 假设通有电流I 计算磁场 计算 例试计算长直螺线管的自感 已知 匝数N 横截面积S 长度 磁导率 为螺线管的体积 解设通以电流I 例由两个 无限长 的同轴薄壁金属管所组成的电缆 其间充满磁导率为的磁介质 电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流大小相等而方向相反 设为 设内外圆筒的半径分别为和 求电缆单位长度的自感 解由安培环路定理 单位长度 这种电缆可视为单匝回路 其磁通量为通过任一截面的磁通量 管的轴线位于截面内 截面宽度为R2 R1 取长为宽为R2 R1的面元 解设通以电流I 取如图截面 例求螺绕环的自感 已知 R1 R2 h N 取面元dS 例求一长为的双长传输线的自感 两传输线截面半径都为r 两线中心距离为d 处磁场 通以电流I 解可视为长为 宽为的单匝矩形回路 单位长度的自感 2 互感M 设有两个邻近的回路 因其中任意一个回路中的电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的现象为互感现象 1 互感现象 8 3 2互感 所产生的感应电动势称为互感电动势 21 M21I1 若两回路几何形状 尺寸及相对位置不变 周围无铁磁性物质 12 M12I2 实验与理论均证明 M两线圈的互感系数 互感 单位 亨利 H 互感在数值上等于当第二个回路电流为一安培时 在第一个回路所围面积所产生的磁通链数 注在不存在铁磁质情形下 M由两只线圈的几何形状 大小 匝数 相对位置以及周围的磁介质的分布决定 3 互感电动势 互感的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度 4 互感的确定不易计算 一般常用实验测定 对于一些简单情形 1 假设某一线圈中通有电流I1 然后计算I1产生的磁场 2 计算I1的磁场通过另一线圈2的全磁通 3 由 21 MI1计算M 解设匝数为N1的螺线管有电流为I1通过 通过另一线圈每匝的磁通量为 例两个长度均为 截面积均为S 匝数分别为 匝的长直密绕螺线管 试计算这两个线圈的互感 在一般情况下 k称为耦合系数 k的取值为0 k 1 例一长直螺线管处于空气中 单位长度上的匝数为n 另一半径为r的圆环放在螺线管内 圆环平面与管轴垂直 求螺线管与圆环的互感 解设螺线管内通有电流I1 通过圆环的全磁通为 注如果假设圆环中通有电流I 则计算难以进行 例如图所示 在磁导率为 的均匀无限大磁介质中 一无限长直载流导线与共面的矩形线圈一边相距为a 线圈共N匝 其尺寸见图示 求它们的互感 解设直导线中通有自下而上的电流I 它通过矩形线圈的磁通链为 互感为 互感仅取决于两回路的形状 相对位置 磁介质的磁导率 8 4 1自感磁能 设闭合K1 电路接通后回路中某瞬时的电流为 自感电动势为 在dt时间内电源克服自感电动势做的功为 电流从0增大到稳定值I 由功能原理 电源克服自感电动势做的功等于线圈中磁场的能量 电流为I时线圈的自感磁能 这表明磁场能存在于整个磁场空间 8 4 2磁场的能量 磁场能量密度 对一长直通电螺线管 磁场分布在整个螺线管内的空间 讨论 3 在整个磁场中 磁场的总能量为 1 上面从特例引入的磁场能量密度表达式 对一般情况也成立 2 在真空中 4 如果空间既有电场 又有磁场 则电磁场的总能量为 问题8 13 例有一截面为长方形的螺绕环 通电流I 共有N匝 尺寸如图 内有磁导率为 的磁介质 求其存储的磁能和自感 解取内半径为r 宽度为dr的圆柱壳为体积元 解金属芯线内的磁场可忽略 电缆外部的磁场为零 磁场仅存在于区域 取内半径为r 外半径为r dr高为1的圆柱壳为体积元 例同轴电缆中金属芯线的半径为R1 共轴金属薄壁圆筒的半径为R2 中间充满磁导率为的均匀电介质 若芯线与圆筒分别与电池两极相接 两者电流大小相等 I 方向相反 设可略去金属芯线内的磁场 求此系统单位长度中储存的能量和自感 J C Maxwell 1831 1879 麦克斯韦简介 8 5 1安培环路定理用于非稳恒电流所遇到的困难 对于稳恒电流始终成立 合上K1 断开K2对电容器充电 断开K1 合上K2 电容器放电 图中S1是以L为边界 与导线相交的曲面 S2是以L为边界 但不与导线相交的曲面 对S1 电流穿过 对S2 电流不穿过 同一个回路 磁场的环流不同 8 5 2普遍的安培环路定理 电容器无论是充电还是放电 电容器极板间 电场是变化的 麦克斯韦认为电场的变化与磁场相联系 在没有传导电流的情况下 和变化电场的相联系的磁场沿闭合路径L的环流等于以该路径为边线的任意曲面的电通量对时间的变化率的 即1 c2 倍 变化的电场产生磁场 普遍的安培环路定理 位移电流 如果一个面上有传导电流通过 同时还有变化的电场存在 全电流 讨论 1 变化的电场与所激发的涡旋磁场间的关系遵从右手螺旋法则 而变化的磁场与所激发的涡旋电场间的关系遵从左手螺旋法则 2 位移电流与传导电流之异同 在一般情况下 位移电流产生的磁场很弱不易被人们所觉察 但在超高频情况下 位移电流激发的磁场是很强的 电场变化引起电偶极矩的变化 食物中的分子电矩在外电场力矩的作用下不断地改变方向 在变向旋转的过程中 分子间不断地的碰撞 摩擦 将电能转变成物质的内能 微波炉中对食物加热的基本原理 例图示为一充电后的平行板电容器 A板带正电 B板带负电 将开关K合上时 A B之间的电场方为 位移电流方向为 按图上所标X轴正方向回答 X轴正向 X轴负向 所以 P点的方向垂直向里 解充电时 上极板带正电 所以竖直向下 又电容器板间均匀分布 从而均匀分布 具有圆柱形对称 线是圆心在电容器轴线上的同心圆 方向由按右手螺旋法则决定 例半径为R的两块圆板构成的平行板电容器放在真空中 今对电容器匀速充电 使两板间电场大小的变化率为dE dt 求两板间的位移电流 并计算电容器内离两板中心连线r R处的磁感应强度B 解 在离两板中心连线r r R 处作一半径为r的回路 由于磁场对称分布 即在环周上各点值相等 所以 两极板之间 和方向如图 证 平行板电容器 8 5 3麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦总结了库仑 高斯 安培 法拉第 诺埃曼