20.第二十讲：反证法与数学归纳法.doc

第二十讲 反证法与数学归纳法一、引言反证法与数学归纳法是数学证明的基本方法（一）知识框架：（二）考试大纲要求：1了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点；2了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（三）考情分析：在高考中，一方面出现在小题中，以判断一些命题的真假、充要条件之间的关系为主；另一方面出现在大题当中，以证明的形式出现，可以是代数方面的，也可以是几何方面的，特别是代数推理题越来越受重视数学归纳法常与数列、函数、不等式等知识相结合，是近几年高考考查的重点内容之一二、考点梳理1反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设，时命题成立，证明当时命题也成立只要完成上面两个步骤，即可断定命题对从开始的所有正整数都成立上述的证明方法叫做数学归纳法三、典型例题选讲考点一、反证法例1 已知，求证：，中至少有一个不大于证明：假设，都大于，则，即因为，同理，以上三个不等式相乘可得，这与假设矛盾，所以原命题成立归纳小结：凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）分清命题“”的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假定；（3）由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真第三步所说的矛盾结果通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、条件或临时假定矛盾以及自相矛盾等考点二、数学归纳法例2 （2007上海）设是定义在正整数集上的函数，对于定义域内任意的，若成立” 那么，下列命题成立的是（ ）A若成立，则成立B若成立，则成立C若成立，则当时，均有成立D若成立，则当时，均有成立答案：选D. 归纳小结：本题是对数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推的考查，解决此类问题，关键是归纳递推中要把假设用上，即寻找和之间的关系例3 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（ ）A假设正确，再推正确B假设正确，再推正确C假设正确，再推正确D假设正确，再推正确解：首先为正奇数，其次还要能取到最小的正奇数1，因此选B归纳小结：本题为数学归纳法解决整除问题，对于整除性问题关键是凑假设，用数学归纳法证明有关问题的难点在第二步，即当时为什么成立，对于具体的问题，要根据具体情况对进行取值例4 平面上有个圆，其中任何两圆都相交，任何三个圆不相交于同一点，个圆把平面分成个部分，则 （用表示）解：平面内个圆把平面分成个部分，第个圆与前个圆中的每一个圆有两个交点，又无三个圆相交于同一点，这个交点把第个圆分成条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以把平面分成的区域增加个，即，所以归纳小结：本题是用数学归纳法解决几何问题，解决此类问题关键是弄清由到的图形变化例5 (2009山东)等比数列的前n项和为， 已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上（1）求的值；（2）当时，记 ，证明：对任意的 ，不等式成立解：（1）因为对任意的,点均在函数的图象上所以，当时，当时，又因为为等比数列，所以，公比为，通项公式为（2）当时，则，所以 下面用数学归纳法证明不等式成立当时，左边，右边，因为，所以不等式成立假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边，所以当+1时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立归纳小结：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，已知求的基本方法，并运用数学归纳法证明与正整数有关的命题，以及放缩法证明不等式用数学归纳法还可以解决数列中的归纳猜想问题，基本步骤是：观察、归纳、猜想、证明，一般要根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，猜想结论，再利用数学归纳法证明猜想是证明的前提和对象，因此务必保持猜想的正确性，同时注意数学归纳法的书写步骤例6 （2008全国）设函数数列满足，（1）证明：函数在区间上是增函数；（2）证明：；（3）设，整数证明：证明：（1），故函数在区间(0,1)上是增函数；（2）（用数学归纳法）当时，由函数在区间上是增函数，且函数在处连续，则在区间上是增函数，即成立；假设当时，成立，即，那么当时，由在区间是增函数，得而，则，也就是说当时，也成立由上面证明知对任意的正整数，不等式恒成立（3）由,可得若存在某满足，则由（2）知：若对任意都有，则，即成立归纳小结：本题是用数学归纳法解决不等式问题，解决此类问题的重点在第二步，关键是要正确合理地运用归纳假设，选择恰当的不等式放缩法四、本专题总结1反正法和数学归纳法都是证明数学问题的重要方法，反证法适用于“正难则反” 的证明题，数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法2用数学归纳法证明命题时，需注意：（1）第一步是基础，首先要验证(N)时成立，注意不一定为1；第二步是依据，在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由到的变化，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；（2）常用数学归