2020届太原市第五中学高三11月阶段性考试数学（理）试题（解析版）

2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）.ABCD【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解法求得A集合，再求得A的补集，根据集合的运算可得选项.【详解】由A中不等式变形得:，解得或，即，.故选:B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交并补运算，属于基础题.2若，则A1B-1CiD-i【答案】C【解析】试题分析：，故选C【考点】复数的运算、共轭复数【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解3下列结论错误的是（ ）A命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题；B命题，命题则为真；C“若则”的逆命题为真命题；D若为假命题，则、均为假命题【答案】C【解析】试题分析：由原命题、逆否命题形式可知选项A正确，选项B中，命题为真命题，命题为假命题，所以为真，“若则”的逆命题为“若，则”，当时，不成立，所以为假命题，选项D为真命题故选C.【考点】四种命题之间的关系和真值表.4ABCD【答案】C【解析】由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.【详解】故选C【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向5已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足 ，则不等式的解集为（ ）.ABCD【答案】D【解析】由已知条件得出函数的单调性，再结合其奇偶性，建立不等式，解之可得解集.【详解】是定义在上的可导函数,且是偶函数，且满足，当时，单调递增；当时，单调递减.又，.不等式或.或.不等式的解集为:.故选:D.【点睛】本题综合考查运用导函数研究函数的单调性，结合奇偶性求解不等式的问题，关键在于由已知条件得出导函数的正负，得出原函数的单调性，属于中档题.6将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.7设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，不妨设a69t，a511t，则公差d2t，其中t0，因此a10t，a11t，即当n10时，Sn取得最大值8已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）.A11B12C13D14【答案】B【解析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，,解得，又前3项之积，解得，.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题.9已知中，三个内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于( )ABCD【答案】C【解析】根据面积公式，将变形为，又，两式结合化简可得，再利用二倍角公式化简得到，从而可求得.【详解】由得，即，则，又因为，所以，即，由，所以，即.故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，也考查了三角函数的二倍角公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键，属中档题.10在中，若，记，则下列结论正确的是（ ）.ABCD【答案】C【解析】作出图示如下图所示，根据向量的线性运算和平行四边形的性质可得出三角形的面积关系.【详解】如图，作，则，四边形是平行四边形，设的边上的高为，的边上的高为，则，即，.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性关系，关键在于由向量的线性关系转化为三角形的面积关系，属于中档题.11设不等式x2-2ax+a+20的解集为A，若A1，3，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由不等式的解集，不等式左边可看做二次函数，分和结合二次函数图像进行讨论即可.【详解】解：设，则不等式的解集，若，则，即，解得若，则 ，综上，故实数的取值范围是故选A【点睛】本题考查了一元二次不等式，二次函数零点分布，属于基础题.12一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）.ABCD【答案】C【解析】根据三视图得出几何体的直观图如下图所示，设现球心的坐标，根据球心到几何体上的每一点的距离相等，求得球心的坐标，得出球半径，利用球的表面积公式可求得几何体的外接球的表面积.【详解】由题意可知几何体的直观图如下图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，几何体的外接球的球心坐标为,，由，得，解得，所以外接球的半径为.该几何体外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查由三视图得出原几何体和几何体的外接球的表面积，关键在于由三视图正确还原几何体，求出几何体和外接球的球心和半径，属于中档题.二、填空题13若，则_.【答案】【解析】根据余弦的二倍角公式转化成关于正弦、余弦的齐次式，再运用弦化切转化为关于正切的表达式，代入可得值.【详解】，.故答案为:.【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，正弦、余弦的齐次式，同角三角函数的关系中的商数关系，属于基础题.14已知正数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】将等式两边同除以，得，再对“1”巧妙地运用，运用基本不等式可得最小值.【详解】将等式两边同除以，得，且，当且仅当时，即时，与联立得，时，等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式的运用，关键在于将所给的已知条件转化为“1”的形式，构造成基本不等式所需的形式，属于基础题.15设数列的通项公式为，且，数列的前项和为，则_.【答案】【解析】代入数列的通项公式，对数列的通项公式裂项，运用裂项求和法，可求得值.【详解】由，可得，则.故答案为:.【点睛】本题考查对数列的通项裂项，运用裂项求和法求数列的和，解决的关键在于正确地裂项，运用时注意项的脚标，属于中档题.16已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】对求导，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而得其值域，再设，由已知得需，解之求得的范围.【详解】由已知得函数的定义域为，且,，在上单调递增，在上单调递减；在上的值域为；根据题意有； 的解集为，则设，当时，；在上的值域与函数在上的值域相同；即在上的值域为；只需，即，得.故答案为:.【点睛】本题考查运用导函数分析原函数的单调性、值域，关键在于根据已知的值域间的关系建立关于的不等式，属于难度题.三、解答题17在中，角，的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理将已知进行边角互化得，再根据余弦定理求得 ，由三角形的角的范围可求得角；（2）根据三角形的面积公式得出，又根据，和余弦定理可求得边.【详解】（1）根据正弦定理由， 得，所以，所以，所以.（2），又，所以，所以.【点睛】本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，关键在于熟悉公式的结构，合理选择公式运用边角互化，属于中档题.18已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，利用错位相减法即可求得答案；解析：（1），是以为首项，以4为公比的等比数列，（2），-得.19如图，在三棱柱中，为的中点，点在平面内的射影在线段上. (1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；(2) 【解析】（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。（2）法一：计算，结合和，即可。法二 :计算，结合，计算体积，即可。法三：结合，计算结果，即可。【详解】(1)证明：设点在平面内的射影为，则，且，因，所以.在中，则，在中，则，故，故.因，故.(2)法一、，由(1)得，故是三棱锥的高，是正三角形，故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为. 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，由(1)得，故是四棱柱的高，故， 故，故三棱柱的体积为.法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，为的中点，故到平面的距离为， .故三棱柱的体积为.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大。20已知为偶函数，.（1）求实数的值；（2）若时，函数的图象恒在图象的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）-1（2）【解析】（1）根据函数是偶函数得，代入可求得实数的值；（2）根据已知转化为不等式在时恒成立，对进行参变分离在恒成立，再由函数在上单调递增，可得实数的取值范围.【详解】（1）为偶函数，即，.（2）由题意可得时，恒成立，即，即恒成立，所以恒成立，且，即在恒成立，因为在上单调递增，所以，所以，所以.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数的值，将两个函数的图象关系转化为建立两函数的恒成立的不等式，运用参变分离和恒等式的思想，从函数的最值方面求解是解决此类问题的常用方法，属于难度题.21已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式在时恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)本题首先可以对函数进行求导，然后通过对以及两种情况进行分类讨论，分别求出每一种情况下函数的单调性，即可得出结果；(2)本题首先可以将不等式在时恒成立转化为在时恒成立，然后令，再对函数的导函数的性质进行分类讨论，即可得出结果【详解】（1），若，在上单调递增；若,当时，当时，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；若，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 若，当时，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，【点睛】本题考查了函数以及导函数的相关性质，主要考查通过导函数性质来求出函数单调性以及通过构造函数并判断函数性质来求不等式恒成立问题，考查推理能力，考查函数方程思想以及化归与转化思想，体现了综合性，是难题22在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若曲线上的动点到直线的最大距离为，求的值.【答案】（1），直线的普通方程为：（2）【解析】试题分析：（1）因为，故可得曲线，直线的普通方程为：；（2）由点到直线的距离公式可得： ，.试题解析：（1）由得，因为，故可得曲线，由消去参数可得直线的普通方程为：；（2）由（1）可得曲线的参数方程为：（为参数），由点到直线的距离公式可得： 据条件可知，由于，分如下情况：时，由得；时，由得；综上，.23已知，且.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）)若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）