求函数的极限论文.doc

求函数极限的几种特殊方法摘要：求解函数极限为高等数学研究的基本内容之一，但由于函数种类之多，所以求解函数极限的方法也很多，下面主要是通过举例介绍求解函数极限的几种特殊方法.关键词：函数 极限 特殊求法函数是高等数学研究的基本对象之一,可是极限是其研究的重要工具，所以是大家所必须掌握的内容之一,但由于函数的种类繁多，因而在如何求解函数的极限问题上尤为困难，故掌握一定的求解函数极限的方法是十分必要的.下面是通过举例来介绍几种求解函数极限的特殊方法，试图扩大大家对求解函数极限进一步的认识.一、利用洛必达法则求解函数极限定理一 若函数和满足：（1）；（2）在内两者都可导，且；（3）（为任意的实数，包括或）则 ：.定理二 若函数和满足：（1）；（2）在内两者都可导，且；（3）（为任意的实数，包括或）则： .洛必达法则常用来求不定式的极限，上面两个定理分别介绍了用洛达法则求关于型和型不定式极限，对于其他形式的不定式极限，可以由这两种形式通过取对数或取倒数进行转化而得到，在此不对其他形式的定理进行详述.但是在利用洛必达法则求解函数极限时要注意，洛必达法则是用来求解不定式的函数极限，对于不是不定式形式的函数极限，我们则不能采用洛必达法则进行求解.例1：求下列函数的极限 ; ; .解： 本题为型的不定式的极限，根据洛必达法则可以求得. . 本题为型的不定式极限，可以通过取对数进行转化为型的极限来求解，以便使此问题得到简化.因为所以 因此得 故 . 本题为型的不定式极限，因此可以通过取倒进行转化为型的函数极限，进而简化问题.所以得.例2：求.分析：洛必达法则是求极限的一种有效方法，但有时计算过程较为麻烦，要注意及时化简并与求极限的其他方法相结合（如等价无穷小代换等），以便简化运算.解：此题是一个型的不定式，可以先进行等价无穷小代换因为 所以,又因为 ,所以所以.例3： 如果函数在点处具有连续的二阶导数，证明：分析：这是一个型的不定式极限，可以先运用洛必达法则进行求解，再运用导数的定义求导.解： 原式=.二、 利用泰勒公式求解函数极限泰勒定理: 如果函数在点处存在直到阶的导数，则有，即上式则称为函数在点处的泰勒公式.当0时，泰勒公式又称为麦克劳林公式.我们把叫做函数在点处的泰勒多项式.泰勒公式的意义：泰勒公式给出了函数关于的一个次多项式，它与函数的差是比高阶无穷小，用它可以将一些特殊的函数展成一个形如的多项式的形式.例4：求下列函数的极限 ; .解：为了比较简单的来求解此题的函数极限，我们可以运用泰勒公式进行求解，可是又因为考虑到极限的分母为，所以说在运用麦克劳林公式表示极限的分子时应让.因为 ,又因为 , 所以,故.本题主要运用到了两个初等函数的麦克劳林公式：当时，则，又因为函数满足泰勒定理的条件，所以有： 又由于因为所以.三、利用定积分的定义及其性质来求解函数极限定义：设为定义在上的一个函数，为一个确定的实数，如果对于任意的正数，总是存在着这样的一个正数，使得对的任何分割，以及在其上的任意选取的点集,只要满足，就有则称为函数在区间上可积，数称为在上的定积分，记作上式通常也写作 运用定积分的定义求函数极限，关键在于将极限式转化为积分和的形式，从中判断出被积函数及其积分区间.例5：求.分析：可以转化成某种积分和的形式，即：=.解：由于取分割，（其中）由此我们可以看出来该和式为函数在区间上的一个积分和，所以 .例6：求，其中函数在上连续，且.分析：直接求很难求其极限，我们采用转化法，想法运用定积分来求解.解：令 ，则有：取分割，由此我们可以看出该和式为函数在区间上的一个积分和. 即.四、利用积分中值定理求解函数极限积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得： 推广的积分第一中值定理：若和都在上连续，且在上不变则至少存在一点使得：在这里我主要是探讨了运用积分第一中值定理来求函数极限.例7：求.分析：常规思路是先求出的值，再求极限,但在此题中，运用求积分的方法很难求出的值.解：令、，可以知道和在区间上是连续的，且在区间上是不变号的. 根据第一积分中值定理，存在这样的一点使得， 即 .例8：设在上连续，且，证明 .分析：本题是一道综合性很强的题目，考查的知识点范围广，难度较高，但只要认真分析，解决起来也是很简单的，运用积分中值定理是解决本题的关键.证明：由积分区域可加性有：又 在上连续，根据连续函数的有界性我们可以知道（为常数），又由定积分的性质，有，而对于，因为在上连续，利用积分第一中值定理可以知道，存在这样的（）有而当时，又 .命题得证.五、用欧拉常数求解函数极限已知 （1）我们把叫做欧拉常数.它最早是由瑞士数学家昂哈德欧拉在1735年所定义的，其数值约等于0.57721.欧拉常数是一类特殊的常数，有着许多应用，在此运用欧拉常数来求一些特殊的极限.例9：求.分析：由极限的定义，根据（1）式可以知道，其中，由此可以对本题进行变形求解.解：由于，有，其中 例10：已知，其中，求.分析：本题从表面上看起来比较复杂，无从下手，可是只要仔细的分析，还是可以做出来的.解：由于有，其中 .本文通过举例介绍了用五种特殊方法求函数极限，但求函数极限的方法并不止此五种，希望大家不要拘泥于此，应继续深化研究，扩大知识面.参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析M.三版.北京：高等教育出版社，2001.2刘敏思，何穗.数学分析选讲M.武汉：华中师范大学出版社，2007.3刘玉琏等.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，1992.4涂荣豹.数学教学认识论M.南京：南京师范大学出版社，2003.5张学元.高等数学能力解题M.武汉：华中理工大学出版社，2001.6吴炯圻.数学专业英语M.北京：高等教育出版社，2005.7张敏捷.函数极限的几种特殊求法J.黄石理工学院学报，2008，24(2):56-58.8储庆.例说求解极限的几种特殊方法J.武汉电力职业技术学院学报，2008，6(4):3-4.9司清亮.极限求法分析J.新乡师范高等专科学校学报，2002，16(4):3-4.10杨建荣.谈求极限的主要方法J.科技信息，2007，30:533-561.Getting Function Limit Of Some Special MethodsName:Liangrui Student Number:200729010119 Advisor:LiujingAbstract Getting function limit is one of basic content in researching of mathematical analysis. there are many methods to get the limit of function