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例说构造法在解题中的应用226001 江苏省南通第一中学 陈跃辉“构造”是一种沟通条件与结论的创新性的数学方法，是一种灵活且不墨守成规的思维方式.构造思想在发展学生的创造思维能力方面的作用远远超过了常规方法.应用构造法解题，常常不拘泥于常规方法，透过题设或结论的表面形式，弄清问题本质的一致性，用特定的视角寻求统一的解题模式或专属的化归方法，从而构建条件到结论之间的“中转站”. 教学中，应引导学生学会在知识交汇点处观察、思考问题，实现问题同构、逻辑重组、等价化归，这对于发展学生的创造性思维的能力十分重要.用构造法解题的关键是：弄清题意、在相去较远的条件和结论之间架设“桥梁”.下面举例说明构造法在解题中的应用.1、构造辅助不等式 例1.对于任意实数x、y满足：x2 -3xy4y29，则xy的最大值为 ，最小值为 .解：由(x- 2y)20得 x24y24xy, x2 -3xy4y24xy-3xy，即xy9 所以当x- 2y0x2-3xy4y29，即x32y322或x-32y-322时，(x y) max9； 由(x2y)20得x2y2-4xy， x2 -3xyy2-4 xy-3xy，即xy- 97 所以当x 2y0x2-3xy4y29，即x3147y-31414或x-3147y31414时，(x y)min- 97.评注：这道题目是条件最值问题，直接用基本不等式求x y的最大值是常规解法.而求x y的最小值似乎难以入手.在教学中，若引导学生对基本不等式：“若a、b是任意实数，则a2b22ab(当且仅当ab时，a2b22ab)”的背景知识进行深入的挖掘，学生不难想到：若a、b是任意实数，则a2b2-2ab(当且仅当a-b时，a2b2-2ab).交给学生推理的方法，就是授人于“渔”.2、构造辅助图形 例2.已知x、y是任意实数，求证：x2+y2(x-2)2+y2x2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)242证明：在平面直角坐标系xOy下，所要证明的不等式的左边的几何意义是：y xOABCP 点P (x, y)到边长为2的正方形OABC的各个顶点的距离的和： POPAPBPC，其中O (0, 0) , A (2, 0) , B (2, 2) , C (0, 2) . 连结OB、AC，由平面几何知识容易知道： POPBOB22 (当且仅当点P在线段OB上时取等号) PAPC AC22 (当且仅当点P在线段OB上时取等号) 两式相加，得POPAPBPC42 即x2+y2(x-2)2+y2x2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)242 (当且仅当xy1时取等号) 评注：这道证明不等式的题目，通过建立平面直角坐标系，可利用不等式的数字结构特点及其几何意义，构造图形，利用数形结合的思想和平面几何的有关知识证得.3、构造辅助数列 例3. 在数列an中，a11，an13an+23n，nN.求数列an的通项公式. 解：由an13an+23n，nN，两边同除以3n+1，得 an13n+1=an3n23，令bnan3n，则bn1-bn=23，所以，数列bn成等差数列，且首项 b113，公差d23所以，bnan3n13(n- 1) 23所以，数列an的通项公式为：an(2n- 1) 3n-1 .评注：数列an既不是等差数列也不是等比数列，将递推公式的两边同除以3n+1后，利用换元法构造出等差数列bn，问题也就迎刃而解了.4、构造辅助平面例4已知：在ABC与A1B1C1中,直线AB直线A1B1点P, 直线BC直线B1 C1点Q, 直线AC直线A1C1点R. 求证：P、Q、R三点共线.A1baABCB1C1PQR证明：因ABC的三个顶点A、B、C不共线， 由公理3得 经过点A、B、C可作平面a. 同理：经过点A1、B1、C1可作平面b. 因为直线AB直线A1B1点P, 所以，P直线AB，P直线A1B1， 又ABa，A1B1b， 所以，Pa，Pb，即点P是平面a与平面b的公共点. 同理：点Q、点R也是平面a与平面b的公共点. 由公理2得 P、Q、R三点共线于平面a与平面b的交线. 评注：证空间三点共线，常常将这三点归结为两个相交平面的公共点.由题意，自然想到构造辅助平面.5、构造辅助方程 例5.已知：实数x、y、z满足x2-yz-8x 70 y2+z2yz-6x+60，求x的取值范围. 解：由，得 yz =x2-8 x7， 由，得 y2z2yz =6x-6，得 (yz)2x2-2x1(x- 1)2，所以，yz (x- 1) 利用、构造关于t的一元二次方程：t2 (x- 1)tx2-8 x70.此方程有实数根y、z的充要条件是： (x- 1)2-4(x2-8 x7)= -3(x2-10 x9) 0解得，实数x的取值范围是：1，9. 评注：由关于实数x、y、z的方程组求x的取值范围，关键是：消去y、z，寻找关于x的约束条件.用x表示y、z较难，但注意到可以用x表示yz和yz，联想到根与系数的关系，“逆用”韦达定理构造辅助方程，用整体的思想解得.6、构造辅助函数 例6.已知：x、y、z是同一三角形的三边. 求证：xx1yy1zz1 证明：构造函数f (x)xx11- 1x1，x (0，). 当x 0时，f (x) 1（x1）20恒成立. 所以, 函数f (x)在区间(0，)上是增函数. 又x、y、z是同一三角形的三边 所以，xy z0,且x 0, y 0 所以，f (xy) f (z ) ，即xyxy1zz1 所以，xx1yy1xxy1yxy1 = xyxy1zz1评注：这道条件不等式的证明题，若用常规思路与方法，很难“走通”.若能构造适当的函数f (x)xx1, x (0，),利用函数的单调性和放缩法即可证得. 例7.已知：定义在R上的函数f (x)满足f (0)-1，其导数f (x)满足f (x) k 1. 求证： f (1k-1) 1k-1 证明：构造函数g (x)f (x) - kx1，则g (x)f (x) - k 0， 所以，函数g (x) 在R上是增函数. 所以，当x 0时，g (x) g (0)= f (0) -01=0 所以，f (x) kx-1 （） 令x1k-1，因为k 1，所以x 0， 由（）得f (1k-1) k1k-1 -11k-1评注：构造函数的过程，有时不是一蹴而就的，需要在解题、推理的过程中，不断调整、改进、完善.这就要求我们在分析问题和解决问题的实践中，不断学习，不断总结经验和教训，进而不断发展创新性思维能力.7、构造辅助问题 例8. (1)方程xyzw10的自然数解共有 个. 解：方程xyzw10的自然数解的个数.将10个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子里，共有多少种不同的放法.将10个相同的“0”，和3个相同的“1”排一排，共有多少种不同的排法.由此容易得到，方程xyzw10共有C133131211321286个自然数解. (2)以正方体的8个顶点中的任意两个所连结的直线可以组成 对异面直线. 解：因为一个三棱锥对6条棱可以组成3对异面直线，所以原问题以正方体的8个顶点中的任4个为顶点可以组成多少个三棱锥？ (3)有10级台阶，某人从地面上一步1级或2级攀登，则登上第10级台阶共有 种不同的走法. 解：设此人从地面上登上第n级台阶共有an种不同的走法.则原问题已知数列an：a11，a22，an2 = an+ an1.求a10？评注：这些辅助问题与原问题表面上结构、内容不同，但本质上具有同构或一致性，也可能辅助问题与原问题具有从属关系，通过对一般性问题的求解或若干个子问题的求解来解决原问题.8、构造辅助模型例9. 求函数y3sin+12cos3的最值.解：（思路一） 将函数解析式y3sin+12cos3看成是关于q的方程，将y看成是参数： 整理，得 2ycosq-3sinq1-3y 利用正弦函数的有界性，得(2 y) 2321-3y 两边平方，整理得 5y2-6 y -80 解得 - 45 y 2 所以，此函数的最大值为2，最小值为- 45.（思路二）将函数解析式y3sin+12cos3中的y看成动点P(2cosq，3sinq )与A(-3，-1)连线的斜率.原问题求过定点A(-3，-1)与椭圆9x24y236上的动点P所连直线的斜率. 求k的取值范围，使直线y1k(x3)与椭圆9x24y236有公共点.将直线方程y1k(x3)与椭圆9x24y236方程联立，消去y整理得 (4k29) x28(3k2- k) x4(9k2-6 k-8)0直线与椭圆有公共点8(3k2- k)2-16(4k29) (9k2-6 k-8)0 5k 2-6 k-80 所以，此函数的最大值为2，最小值为- 45. 评注：将函数解析式y3sin+12cos3看成关于y与q的二元方程，若换个角度看问题：选择一个适当的参数，利用参数所具有的特定的数量关系和几何意义，促使这个参数成为联系代数与几何的桥梁、数形转化的媒介. 例10.已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为e=33.分别过原点O和右焦点F (1，0)的两条弦AB、CD相交于点E (异于A、C两点)，且OEEF.AxyOBCDFE求证：直线AC、BD的斜率之和为定值. 证明：设直线AC：A1xB1yC10， (其中A1、B1不全为0) 直线BD：A2xB2yC20， (其中A2、B2不全为0) 所以，AC与BD两条直线方程为：(A1xB1yC1) (A2xB2yC2)0 且kACkBD - A1 B1 - A2 B2 = - A1B2+A2B1 B1B2 由题意易求得椭圆C的方程为：x23y221 . 因为OEEF，所以直线AB与CD的斜率互为相反数.设直线AB： ykx 则直线CD： y-k( x -1) 所以，AB与CD两条直线方程为：(y-kx) (yk x - k)0构造过点A、C、B、D的二次曲线系方程为： (y-kx) (yk x - k)l (x23y22-1)=0, (lR). 因为方程所表示的曲线也过点A、C、B、D，所以存在l0R使二次曲线也可表示为： (y-kx) (yk x - k)l0 (x23y22-1)=0, 因为方程与都表示AC与BD两条直线所以，比较方程与中的 xy项的系数，得A1B2+A2B10 所以，kACkBD - A1 B1 - A2 B2 = - A1B2+A2B1 B1B20为定值. 评注：本题运用模型一：二次方程(A1xB1yC1) (A2xB2yC2)0统一表示两条直线AC：A1xB1yC10与直线BD：A2xB2yC20;模型二：过点A、C、B、D的二次曲线系方程为： (y-kx) (yk x - k)l (x23y22-1)=0