2015南京二模卷数学

2015届高三模拟考试试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)20155参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中i.锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知复数z1，其中i为虚数单位，则z的模为_2. 经统计，某银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排除人数012345概率0.10.160.30.30.10.04(第4题)则该窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_3. 若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值是_4. 右图是一个算法流程图，则输出k的值是_5. 如下图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是_6. 记不等式x2x60)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是_12. 已知x，y为正实数，则的最大值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2(y1)29，直线l：ykx3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为_14. 已知a，t为正实数，函数f(x)x22xa，且对任意的x0，t，都有f(x)a，a对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知acosCccosA2bcosA.(1) 求角A的值；(2) 求sinBsinC的取值范围16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，BCAD，PAPD，AD2BC，ABPB，E为PA的中点求证：(1) BE平面PCD；(2) 平面PAB平面PCD.17. (本小题满分14分)如图，摩天轮的半径OA为50 m，它的最低点A距地面的高度忽略不计地面上有一长度为240 m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM60 m点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP，(0，)(1) 当时，求点P距地面的高度PQ；(2) 试确定的值，使得MPN取得最大值18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m.(1) 已知点在椭圆C上，求实数m的值；(2) 已知定点A(2，0) 若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围； 当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM、BM分别与椭圆C交于另一点P、Q，若，求证：为定值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)x2xt，t0，g(x)lnx.(1) 令h(x)f(x)g(x)，求证：h(x)是增函数；(2) 直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切对于确定的非负实数t，讨论直线l的条数，并说明理由20. (本小题满分16分)已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，nN*，都有(SmnS1)24a2ma2n.(1) 求的值；(2) 求证：an为等比数列；(3) 已知数列cn，dn满足|cn|dn|an，p(p3)是给定的正整数，数列cn，dn的前p项的和分别为Tp，Rp，且TpRp，求证：对任意的正整数k(1kp)，ckdk.2015届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB，AC是圆O的切线，ADE是圆O的割线，求证：BECDBDCE.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，直线l：xy40在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xy2a0.(1) 求实数a的值；(2) 求A2.C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设圆C：4cos与直线l：(R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程D. (选修45：不等式选讲)已知实数x，y满足xy，求证：2x2y3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC，AB1，BDPA2.(1) 求异面直线BD与PC所成角的余弦值；(2) 求二面角APDC的余弦值23. 已知集合A是集合Pn1，2，3，n(n3，nN*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数记符合上述条件的集合A的个数为f(n)(1) 求f(3)，f(4)；(2) 求f(n)(用含n的式子表示)2015届高三模拟考试试卷(一)(南京)数学参考答案及评分标准1. 2. 0.743. 44. 65. 甲6. (，37. 48. 129. 10. 911. 12. 13. 14. (0，1)215. 解：(1) 因为acosCccosA2bcosA，所以sinAcosCsinCcosA2sinBcosA，即sin(AC)2sinBcosA.因为ABC，所以sin(AC)sinB.从而sinB2sinBcosA.(4分)因为sinB0，所以cosA.因为0A，所以A.(7分)(2) sinBsinCsinBsinsinBsincosBcossinBsinBcosBsin.(11分)因为0B，所以B.所以sinBsinC的取值范围为.(14分)16. 证明：(1) 取PD的中点F，连结EF，CF.因为E为PA的中点，所以EFAD，EFAD.因为BCAD，BCAD，所以EFBC，EFBC.所以四边形BCFE为平行四边形所以BECF.(4分)因为BE 平面PCD，CF平面PCD，所以BE平面PCD.(6分)(2) 因为ABPB，E为PA的中点，所以PABE.因为BECF，所以PACF.(9分)因为PAPD，PD平面PCD，CF平面PCD，PDCFF，所以PA平面PCD.(12分)因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.(14分)17. 解：(1) 由题意，得PQ5050cos .从而，当 时，PQ5050cos75.即点P距地面的高度PQ为75 m(4分)(2) (方法1)由题意，得AQ50sin ，从而MQ6050sin ，NQ30050sin .又PQ5050cos ，所以tanNPQ ，tanMPQ .(6分)从而tanMPNtan(NPQMPQ) .(9分)令g() ， (0，)，则g() ， (0，)由g()0，得sin cos10，解得 .(11分)当时，g( )0，g( )为增函数；当 时，g( )0，g()为减函数，所以，当 时，g( )有极大值，也为最大值因为0MPQNPQ，所以0MPN，从而当g()tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值即当 时，MPN取得最大值(14分)(方法2)以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为 x2(y50)2502，即x2y2100y0，点M(60，0)，N(300，0)设点P的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且xy100y00.从而tanNPQ ，tanMPQ .(6分)从而tanMPNtan(NPQMPQ) .由题意知，x050sin ，y05050cos ，所以tanMPN .(9分)(下同方法1)18. (1) 解：设椭圆C的方程为 1(ab0)由题意，得解得 所以椭圆的方程为1.因为椭圆C过点，所以1，解得m2或m (舍去)所以m2.(4分)(2) 解：设点T(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22.(6分)由得y2m2m.因此0m2mm，解得1m2.所以椭圆C的离心率e.(10分) 证明：(方法1)设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(x02，y0)，(x12，y1)由， 得 从而(12分)因为y1，所以(y1)21.即22(1)x12(1)210.因为 y1，代入得2(1)x132410.由题意知，1，故x1，所以x0.同理可得x0.(14分)因此，所以6.(16分)(方法2)设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)直线AM的方程为y(x2)将y(x2)代入y21，得x24yx4y(x02)2 0(*)因为y1，所以(*)可化为(2x03)x24yx3x4x00.因为x0x1，所以x1.同理x2.(14分)因为，所以6.即为定值6.(16分)19. (1) 证明：由h(x)f(x)g(x)x2xtlnx，得h (x)2x1，x0.因为2x22，所以h(x)0, 从而函数h(x)是增函数(3分)(2) 解：记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，xx1t)，(x2，lnx2)，由f(x)2x1，得l的方程为y(xx1t)(2x11)(xx1)，即y(2x11)xxt.由g(x)，得l的方程为ylnx2(xx2)，即yxlnx21.所以(*) 消去x1得lnx2(t1)0 (*)(7分)令F(x)lnx(t1)，则F(x)，x0.由F(x)0，解得x1.当0x1时，F(x)0，当x1时，F(x)0，所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而F(x)minF(1)t.(9分)当t0时，方程(*)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；(11分)当t0时，F(1)0，由于F(et1)ln(et1)(t1)0，故方程(*)在(1，)上存在唯一解；(13分)令k(x)lnx1(x1)，由于k (x)0，故k (x)在(0，1上单调递减，故当0x1时，k (x)k (1)0，即lnx1，从而lnx (t1)t.所以Ft0.又01，故方程(*)在(0，1)上存在唯一解所以当t0时，方程(*)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解即存在两条满足题意的直线综上，当t0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2.(16分)20. (1) 解：由(SmnS1)24a2na2m，得(S2S1)24a，即(a22a1)24a.因为a10，a20，所以a22a1a2，即2.(3分)(2) 证明：(方法1)令m1，n2，得(S3S1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得S4S12a4，即2a1a2a3a4.所以a44a28a1.因为2，所以a34a1.(6分)由(SmnS1)24a2na2m，得(Sn1S1)24a2na2，(Sn2S1)24a2na4.两式相除，得，所以2.即Sn2S12(Sn1S1)，从而Sn3S12(Sn2S1)所以an32an2，故当n3时，an是公比为2的等比数列因为a32a24a1，从而ana12n1，nN*.显然，ana12n1满足题设，因此an是首项为a1，公比为2的等比数列(10分)(方法2)在(SmnS1)24a2na2m中，令mn，得S2nS12a2n.令mn1，得S2n1S12 ，在中，用n1代n得，S2n2S12a2n2.，得a2n122a2n2()，得a2n22a2n222()，由得a2n1.(8分)代入，得a2n12a2n；代入得a2n22a2n1，所以2.又2，从而ana12n1，nN*.显然，ana12n1满足题设，因此an是首项为a1，公比为2的等比数列(10分)(3) 证明：由(2)知，ana12n1.因为|cp|dp|a12p1，所以cpdp或cpdp.若cpdp，不妨设cp0，dp0，则Tpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10.Rpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10.这与TpRp矛盾，所以cpdp.从而Tp1Rp1.由上证明，同理可得cp1dp1.如此下去，可得cp2dp2，cp3dp3.，c1d1.即对任意正整数k(1kp)，ckdk.(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：因为AB是圆O的切线，所以ABDAEB.因为BADEAB，所以BADEAB.所以.(5分)同理，. 因为AB，AC是圆O的切线，所以ABAC.因此，即BE CDBD CE.(10分)B. 解：(1) 设直线l上一点M0(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l上点M(x，y)，则， 所以(3分)代入l方程得(ax0y0)(x0ay0)2a0，即(a1)x0(a1)y02a0.因为(x0，y0)满足x0y040，所以4，解得a2.(6分)(2) 由A，得A2.(10分)C. 解： 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C的直角坐标方程为x2y24x0，直线l的直角坐标方程为yx.(4分)由 解得或 所以A(0，0)，B(2，2)从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，即x2y22x2y.(7分)将其化为极坐标方程为22(cossin)0，即2(cossin)(10分)D. 证明：因为xy，所以xy0，从而左边(xy)(xy)2y32y2y3右边即原不等式成立(10分)22. 解：(1) 因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD. 又ADAB，故分别以AB，AD，AP所在